Che cos'è il fattoriale di un numero?

Il prodotto di tutti i numeri interi da 1 fino al numero che dai. Il fattoriale di 5 è 1 × 2 × 3 × 4 × 5, cioè 120. Conta in quanti modi si può ordinare un insieme di altrettanti oggetti distinti, ed è per questo che compare nel calcolo delle probabilità e nei problemi di conteggio invece che nelle misure.

Perché il fattoriale di 0 è uguale a 1?

Perché è un prodotto vuoto: non c'è nulla da moltiplicare, e il valore che lascia un prodotto invariato è 1. La convenzione non è arbitraria: è ciò che fa funzionare l'interpretazione come conteggio (c'è esattamente un modo di ordinare il nulla) ed è ciò che mantiene vera la ricorrenza n! = n × (n−1)! quando n vale 1.

Perché la calcolatrice si ferma al fattoriale di 170?

Perché il fattoriale di 171 è più grande del numero più grande che un numero in virgola mobile a doppia precisione possa rappresentare, quindi il calcolo restituisce infinito. Il limite non è una scelta di visualizzazione: ogni ingresso sopra 170 non ha una risposta rappresentabile. Il fattoriale di 170 è già circa 7,26 × 10³⁰⁶, un numero di 307 cifre.

Come si contano gli zeri finali?

Contando i fattori cinque presenti nel fattoriale. Uno zero finale ha bisogno di un 10, e un 10 ha bisogno di un 2 e di un 5; i due abbondano, quindi sono i cinque a decidere. Ogni multiplo di 5 contribuisce con uno, ogni multiplo di 25 con un secondo, ogni multiplo di 125 con un terzo, e così via. Per il fattoriale di 100 sono 20 + 4 = 24 zeri.

Perché il fattoriale viene stampato in notazione scientifica?

Perché oltre 21 il valore ha più cifre di quante un pannello dei risultati possa mostrarne in modo utile: il fattoriale di 100 ne ha 158. La notazione scientifica tiene leggibile l'ordine di grandezza. L'intero esatto resta comunque quello che le altre due letture descrivono: il numero di cifre dice quanto è lungo, e gli zeri finali dicono come finisce.

Quante cifre ha un fattoriale molto grande?

La lettura delle cifre risponde esattamente a questa domanda, per ogni ingresso che la pagina accetta. Viene dalla somma di logaritmi e non dalla misura di una stringa stampata, quindi non perde precisione quando il valore stampato è un'approssimazione. Nei fattoriali grandi è spesso l'unica lettura che resti affidabile, e il conteggio è sempre almeno uno in più rispetto agli zeri finali.

Calcolatrice del fattoriale

Risultato

120,000000

Fattoriale

Cifre: 3
Zeri finali: 1

La calcolatrice del fattoriale moltiplica tutti i numeri interi da 1 fino a n e riporta il prodotto insieme a due letture che dicono quanto è diventato grande: il numero di cifre della risposta e in quanti zeri finali termina. Il fattoriale di 5 è 120 — tre cifre, uno zero finale. Il risultato esce presto dall'intervallo leggibile, e oltre 21 la lettura principale passa alla notazione scientifica, ma il numero di cifre e gli zeri finali restano esatti, perché entrambi vengono da formule e non dal contare i caratteri di un valore stampato. Il fattoriale di 0 è 1, cioè il prodotto vuoto, e 170 è il valore più grande accettato qui: il fattoriale di 171 supera quello che un double riesce a contenere e viene rifiutato invece di ricevere per risposta un infinito.

I fattoriali da 0 a 12

n	Fattoriale	Cifre	Zeri finali
0	1	1	0
1	1	1	0
2	2	1	0
3	6	1	0
4	24	2	0
5	120	3	1
6	720	3	1
7	5040	4	1
8	40320	5	1
9	362880	6	1
10	3628800	7	2
11	39916800	8	2
12	479001600	9	2

I primi tredici fattoriali, con le due letture accanto a ciascuno. Le righe servono a rendere visibile la crescita: il valore supera il migliaio già alla settima riga e il centinaio di milioni alla dodicesima, mentre il numero di cifre sale di uno alla volta e gli zeri finali restano a zero finché il numero non contiene un 5. Leggendo l'ultima colonna dall'alto si capisce perché contano 5, 10 e 12 e non 11. Ogni cella è un numero semplice, quindi la tabella è identica nelle dieci lingue servite dal sito.

Formula

n! = 1 × 2 × … × n cifre = ⌊log₁₀(n!)⌋ + 1 zeri finali = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …

n: Il numero di cui si vuole il fattoriale: un intero da 0 a 170. È anche il numero dei fattori, dato che il prodotto va da 1 fino a n. Il limite superiore non è una scelta di visualizzazione: il fattoriale di 171 supera il valore più grande che un double può rappresentare, quindi sopra 170 non c'è nessuna risposta da dare.
n!: Il fattoriale stesso, il prodotto di tutti i numeri interi da 1 a n. Cresce più in fretta di una curva esponenziale: il fattoriale di 5 è 120 mentre quello di 10 è già 3.628.800. Una volta che il valore supera un milione, la risposta stampata diventa notazione scientifica, che tiene leggibile l'ordine di grandezza senza stampare cento cifre.
cifre: Quante cifre decimali ha il fattoriale. Si calcola sommando logaritmi invece di contare i caratteri di un valore stampato, quindi resta corretto anche in cima all'intervallo, dove il fattoriale stampato porta soltanto sette cifre significative.
zeri finali: Quanti zeri stanno in fondo al fattoriale. Ogni zero finale ha bisogno di un fattore 10, che ha bisogno di un 2 e di un 5; in un fattoriale i due sono molto più frequenti dei cinque, quindi il conteggio è deciso interamente dai cinque: ogni multiplo di 5, di 25, di 125 e così via ne aggiunge uno.

Ricorri a questa pagina quando è il valore stesso a essere la risposta: il numero di modi di ordinare un insieme, un termine di una successione, o la dimensione di un prodotto. Per scegliere r elementi fra n, le pagine delle combinazioni e delle permutazioni dividono un fattoriale per un altro invece di moltiplicare. E nei fattoriali grandi il numero di cifre diventa la lettura più utile, perché il valore non è più stampabile per intero.

Esempi svolti

Il fattoriale di 5
1. Si moltiplica verso l'alto: 1 × 2 = 2
2. 2 × 3 = 6
3. 6 × 4 = 24
4. 24 × 5 = 120
5. 120 ha tre caratteri e termina con uno zero, quindi le due letture sono 3 e 1
Il caso più piccolo in cui tutte e tre le letture si controllano a occhio. Il prodotto è abbastanza corto da leggere per intero, e sia il numero di cifre sia gli zeri finali si vedono guardandolo: è esattamente per questo che la pagina si apre su questo valore.
Dove la lettura diventa notazione scientifica
1. Si moltiplica da 1 fino a 20, che dà esattamente 2.432.902.008.176.640.000
2. Sono diciannove cifre, quindi la lettura delle cifre è 19
3. Quattro di quelle cifre sono zeri in fondo, e a farli sono i cinque contenuti in 5, 10, 15 e 20
4. Il pannello stampa il prodotto come 2,432902 × 10¹⁸ invece che come il numero completo di diciannove cifre
Il punto in cui il valore stampato smette di essere il valore esatto. Le cifre mostrate sono le prime sette cifre significative dello stesso numero che le due letture descrivono, quindi le tre uscite concordano anche se soltanto una è abbastanza corta da stampare. Sotto 21 il prodotto stampato è esatto.
In quanti zeri termina il fattoriale di 100
1. Si contano i multipli di 5 fino a 100: sono 20
2. Si aggiungono i multipli di 25, che portano un secondo cinque: sono 4
3. Si aggiungono i multipli di 125 — nessuno, perché 125 è oltre 100
4. 20 + 4 = 24 zeri finali
5. Il fattoriale è lungo 158 cifre, stampato come 9,332622 × 10¹⁵⁷
Qui il dato leggibile è il conteggio degli zeri, e si ricava soltanto dai cinque e non dal numero. Il fattoriale di 100 ha 158 cifre, quindi la sua coda non si potrebbe ispezionare a occhio nemmeno se fosse stampata tutta.

Limiti

Si accettano soltanto numeri interi da 0 a 170. Gli ingressi negativi vengono rifiutati perché il fattoriale non è definito su di essi: la funzione Gamma, che estende il fattoriale ad altri numeri, ha un polo in corrispondenza di ogni intero negativo. Le frazioni sono rifiutate per lo stesso motivo. Sopra 170 il prodotto va in overflow rispetto a un double e tornerebbe come infinito, quindi l'ingresso viene respinto per nome. Oltre 21 il fattoriale stampato è un'approssimazione in notazione scientifica e non l'intero esatto; il numero di cifre e gli zeri finali restano esatti in ogni caso, e insieme descrivono la dimensione di un numero le cui cifre non sono tutte mostrate. Questa pagina non calcola direttamente coefficienti binomiali né permutazioni: fornisce il fattoriale su cui quelle pagine sono costruite.

Domande frequenti

Che cos'è il fattoriale di un numero?: Il prodotto di tutti i numeri interi da 1 fino al numero che dai. Il fattoriale di 5 è 1 × 2 × 3 × 4 × 5, cioè 120. Conta in quanti modi si può ordinare un insieme di altrettanti oggetti distinti, ed è per questo che compare nel calcolo delle probabilità e nei problemi di conteggio invece che nelle misure.
Perché il fattoriale di 0 è uguale a 1?: Perché è un prodotto vuoto: non c'è nulla da moltiplicare, e il valore che lascia un prodotto invariato è 1. La convenzione non è arbitraria: è ciò che fa funzionare l'interpretazione come conteggio (c'è esattamente un modo di ordinare il nulla) ed è ciò che mantiene vera la ricorrenza n! = n × (n−1)! quando n vale 1.
Perché la calcolatrice si ferma al fattoriale di 170?: Perché il fattoriale di 171 è più grande del numero più grande che un numero in virgola mobile a doppia precisione possa rappresentare, quindi il calcolo restituisce infinito. Il limite non è una scelta di visualizzazione: ogni ingresso sopra 170 non ha una risposta rappresentabile. Il fattoriale di 170 è già circa 7,26 × 10³⁰⁶, un numero di 307 cifre.
Come si contano gli zeri finali?: Contando i fattori cinque presenti nel fattoriale. Uno zero finale ha bisogno di un 10, e un 10 ha bisogno di un 2 e di un 5; i due abbondano, quindi sono i cinque a decidere. Ogni multiplo di 5 contribuisce con uno, ogni multiplo di 25 con un secondo, ogni multiplo di 125 con un terzo, e così via. Per il fattoriale di 100 sono 20 + 4 = 24 zeri.
Perché il fattoriale viene stampato in notazione scientifica?: Perché oltre 21 il valore ha più cifre di quante un pannello dei risultati possa mostrarne in modo utile: il fattoriale di 100 ne ha 158. La notazione scientifica tiene leggibile l'ordine di grandezza. L'intero esatto resta comunque quello che le altre due letture descrivono: il numero di cifre dice quanto è lungo, e gli zeri finali dicono come finisce.
Quante cifre ha un fattoriale molto grande?: La lettura delle cifre risponde esattamente a questa domanda, per ogni ingresso che la pagina accetta. Viene dalla somma di logaritmi e non dalla misura di una stringa stampata, quindi non perde precisione quando il valore stampato è un'approssimazione. Nei fattoriali grandi è spesso l'unica lettura che resti affidabile, e il conteggio è sempre almeno uno in più rispetto agli zeri finali.

Riferimenti

Factorial — the definition, the empty product convention that makes 0! equal 1, and the rate at which the value grows — Wolfram MathWorld (United States)
A000142 — the factorial numbers 1, 1, 2, 6, 24, 120 … as a catalogued sequence, with exact values far beyond the range a double can hold — OEIS Foundation (United States)
Combination — the binomial coefficient, written as one factorial divided by two others, which is where factorials are most often needed — Wolfram MathWorld (United States)

Calcolatrici correlate

Calcolatrice delle combinazioniQuanti modi di scegliere r elementi da n, senza ordine.Calcolatrice delle permutazioniQuanti modi di ordinare r elementi da n, con l'ordine.Calcolatrice delle potenzeEleva un numero a qualsiasi esponente, anche negativo.