Calcolatrice delle combinazioni

combinazioni C(n, r) = n! / (r!(n − r)!) · permutazioni P(n, r) = n! / (n − r)! · con ripetizione: C = (n + r − 1)! / (r!(n − 1)!) e P = nʳ

n

Quanti elementi diversi ci sono fra cui scegliere — la dimensione dell'insieme, non il numero di scelte

r

Quanti elementi vengono scelti. Quando la ripetizione è disattivata, r non può superare n; quando è attiva, r può essere maggiore di n, perché lo stesso elemento può uscire due volte

ripetizione

Se lo stesso elemento può essere scelto più di una volta. Non è una preferenza di formato: seleziona una formula diversa, ed è l'impostazione che decide se un r maggiore di n è legale o impossibile

C(n, r)

Il numero di combinazioni, letto come nCr: i modi di scegliere r elementi quando l'ordine delle scelte è ignorato, così che ABC e CBA contino una volta sola. È anche il coefficiente binomiale che compare nella formula della distribuzione binomiale

P(n, r)

Il numero di permutazioni: i modi di scegliere e poi ordinare r elementi, così che ABC e CBA siano due risultati diversi. È sempre il numero di combinazioni moltiplicato per r!

Usala ogni volta che una domanda è in realtà «in quanti modi», cioè quasi sempre che una probabilità venga calcolata contando invece che con una formula. Mani di carte, estrazioni del lotto, scelta di un comitato e disposizioni a sedere sono tutti questo calcolo, e l'unica decisione da prendere prima di ciascuno è se l'ordine conti — una mano di poker è una combinazione, un podio è una permutazione. L'interruttore della ripetizione conta nei casi in cui la stessa scelta si può fare due volte: prendere tre palline di gelato da un menù di gusti, dove l'ordine continua a non contare ma i gusti possono ripetersi, è un conteggio di combinazioni con ripetizione e non uno ordinario. La pagina non calcola probabilità, solo i conteggi con cui le probabilità si costruiscono.

1. Dieci elementi, scegline tre: 120 combinazioni o 720 permutazioni

   1. Con l'ordine ignorato, C(10,3) = 10! / (3! × 7!) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 120
   2. Con l'ordine contato, P(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720
   3. I due differiscono di 3! = 6, che è il numero di modi di ordinare tre elementi scelti
   4. Verifica: 120 × 6 = 720

   È la coppia che questa pagina esiste per tenere separata. Gli stessi tre elementi hanno una combinazione e sei permutazioni, quindi un conteggio citato senza dire quale dei due sia può sbagliare di un fattore sei qui — e di un fattore 120 con cinque scelte, che è il punto in cui gli errori smettono di essere abbastanza piccoli da passare inosservati. L'ultimo passaggio è la relazione da ricordare: il numero di permutazioni è sempre il numero di combinazioni moltiplicato per il fattoriale di r, perché ogni scelta non ordinata si può disporre esattamente in r! modi.

2. Gli stessi dieci e tre, con la ripetizione ammessa

   1. Con la ripetizione e l'ordine ignorato, C = (10 + 3 − 1)! / (3! × 9!) = C(12,3) = 220
   2. Con la ripetizione e l'ordine contato, P = 10³ = 1000
   3. L'insieme è di fatto più grande per il conteggio delle combinazioni — la formula aggiunge r − 1 a n — mentre il conteggio delle permutazioni è semplicemente una scelta per casella
   4. Verifica: 220 non è 120, e 1000 non è 720 — spostare l'interruttore ha mosso entrambe le righe

   Entrambe le righe sono cambiate, ed è il senso dell'interruttore, non un suo dettaglio. Un'implementazione che correggesse solo il conteggio delle combinazioni stamperebbe 220 e 720 uno accanto all'altro, ed entrambi i numeri sembrerebbero plausibili pur descrivendo regole diverse. Nota anche che il conteggio delle permutazioni ora è una potenza invece di un prodotto decrescente: con la ripetizione ci sono n scelte in ognuna delle r caselle, quindi il conteggio si moltiplica fino a nʳ invece di calare di uno ogni volta.

3. Una mano di cinque carte da un mazzo di 52

   1. Una mano non è ordinata, quindi il conteggio è C(52,5) = 52! / (5! × 47!)
   2. Moltiplica i cinque termini decrescenti: 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311.875.200
   3. Dividi per 5! = 120: 311875200 / 120 = 2.598.960
   4. La seconda riga è il passaggio intermedio della prima — è questo che significa dire che una mano è la distribuzione ordinata divisa per le disposizioni

   2.598.960 è il numero per cui si divide ogni probabilità del poker, ed è la cella più visitata di questa pagina. Le due righe qui vanno lette insieme perché la riga delle permutazioni è letteralmente il numeratore prima della divisione per 5!: una mano di cinque carte si può distribuire in 311.875.200 modi ordinati, e ogni mano ne conta 120. Vedere che il conteggio non ordinato è il conteggio ordinato diviso per le disposizioni è il modo più rapido per smettere di confondere i due.

4. Sei elementi, prendili tutti e sei: una combinazione, 720 permutazioni

   1. C'è un solo modo di prendere tutto, quindi C(6,6) = 1
   2. Le permutazioni sono le disposizioni di tutti e sei gli elementi: P(6,6) = 6! = 720
   3. Il fattore fra le righe è 720 = 6!, che è la regola r! con r = n

   Quando r = n le due righe sono il più lontane possibile, e la riga delle combinazioni collassa a 1 — non resta nessuna scelta da fare quando si prende tutto. È un estremo utile da tenere accanto alla mano di poker: là il divario era un fattore 120, qui è un fattore 720, e l'unica cosa cambiata è quante disposizioni ammette ogni scelta. Se la riga delle permutazioni è mai quella che volevi, questa è la forma dell'errore al suo massimo.

5. Tre gusti, cinque palline: r maggiore di n

   1. Cinque palline da tre gusti, ordine ignorato, ripetizioni ammesse: C = C(3 + 5 − 1, 5) = C(7,5) = 21
   2. Contando anche l'ordine, P = 3⁵ = 243
   3. Entrambi sono legali solo perché la ripetizione è attiva — con essa disattivata, scegliere cinque da tre è impossibile e la pagina rifiuta l'input

   È il caso che rende l'interruttore un requisito di correttezza invece di una preferenza. Scegliere cinque cose da un insieme di tre non si può fare senza ripetizioni, quindi con la ripetizione disattivata la pagina lo respinge del tutto, e con essa attiva gli stessi input danno due numeri perfettamente ordinari. La riga delle combinazioni mostra anche perché la formula aggiunge r − 1 all'insieme: ammettere le ripetizioni fa comportare l'insieme come se fosse più grande di uno in meno del numero di scelte, quindi tre gusti presi cinque volte alla volta contano come sette cose scelte cinque alla volta.

Entrambi i conteggi sono interi esatti fino a un certo punto, e oltre quel punto la pagina rifiuta invece di arrotondare. I conteggi crescono in fretta — cento elementi scelti cinquanta alla volta hanno una trentina di cifre — e i numeri in virgola mobile di un computer smettono di contenere esattamente ogni intero intorno alla sedicesima cifra, quindi un conteggio così grande tornerebbe con le ultime cifre sbagliate e con un aspetto del tutto ordinario. Invece di stampare un numero sbagliato in un modo che nessuno noterebbe, la pagina solleva un errore per i conteggi oltre il range esatto; lo stesso rifiuto copre gli insiemi con più di mille elementi e qualunque conteggio negativo. Altri due limiti: la pagina conta e basta — non elenca le combinazioni, non le enumera e non calcola la probabilità di estrarne una, che è il conteggio diviso il totale. E l'interruttore della ripetizione significa una cosa sola, cioè che lo stesso elemento può essere preso più di una volta; non modella l'estrazione senza reimmissione contrapposta a quella con reimmissione nel senso di un mazzo di carte, dove l'insieme si riduce man mano che le carte escono.

Che differenza c'è fra una combinazione e una permutazione?

Una combinazione ignora l'ordine delle scelte e una permutazione lo conta. Scegliere tre persone per un comitato fra dieci è una combinazione, perché il comitato ABC è lo stesso comitato di CBA; assegnare a quelle tre un primo, un secondo e un terzo premio è una permutazione, perché le assegnazioni sono diverse. I due conteggi non sono mai vicini: il numero di permutazioni è il numero di combinazioni moltiplicato per r!, il numero di modi di ordinare gli r elementi scelti. Entrambe le righe sono stampate su questa pagina proprio perché il fattore non vada mai indovinato — con r = 3 è 6, con r = 5 è 120.

Che cosa significa nCr sulla mia calcolatrice?

nCr è la funzione di calcolo delle combinazioni: n è la dimensione dell'insieme e r è quanti elementi si prendono, e il risultato è il numero di modi di sceglierli con l'ordine ignorato. È lo stesso numero che questa pagina stampa nella riga delle combinazioni. Il tasto compagno, nPr, è il conteggio delle permutazioni con l'ordine contato, ed è la riga sotto. Un modo rapido per capire quale dei due vuole un problema è chiedersi se scambiare due degli elementi scelti produrrebbe un esito diverso: se non lo produrrebbe, la risposta è nCr.

Che cosa cambia quando ammetto la ripetizione?

Cambiano entrambe le formule, e cambia anche quali input sono legali. Con la ripetizione disattivata il conteggio delle permutazioni è un prodotto decrescente — n × (n − 1) × … — e il conteggio delle combinazioni lo divide per r!; con la ripetizione attiva il conteggio delle permutazioni è semplicemente n elevato a r, e il conteggio delle combinazioni diventa quello dei multinsiemi, che per n elementi presi r alla volta vale C(n + r − 1, r). Il punto della legalità è quello che coglie la gente: con la ripetizione disattivata, un r maggiore di n non si può fare affatto e viene rifiutato, mentre con la ripetizione attiva è una richiesta ordinaria, come cinque palline da tre gusti.

Perché la pagina rifiuta alcuni input grandi invece di dare una risposta?

Perché la risposta sarebbe sbagliata nelle ultime cifre e non sembrerebbe sbagliata. Questi conteggi crescono estremamente in fretta — cinquanta scelte da cento elementi arrivano a una trentina di cifre — e i numeri che un computer usa per l'aritmetica smettono di contenere esattamente ogni intero intorno alla sedicesima cifra. Oltre quella linea il risultato è un numero vicino, con un inizio che sembra giusto e una fine sbagliata, il che è peggio di nessuna risposta se il conteggio deve finire in una probabilità o in un rapporto. Così la pagina solleva un errore per i conteggi che non può rappresentare esattamente, allo stesso modo in cui lo solleva per un insieme di più di mille elementi o per un conteggio negativo.

L'interruttore della ripetizione significa estrazione con reimmissione?

Non nel senso in cui lo usa un mazzo di carte. L'interruttore dice soltanto che lo stesso elemento può essere scelto più di una volta, che è quello che dà l'estrazione con reimmissione in un insieme di scelte indipendenti. In un problema di carte l'insieme si riduce anche man mano che le carte escono, e i conteggi qui sopra ne tengono già conto attraverso il prodotto decrescente delle formule senza ripetizione: una mano di cinque carte è C(52,5), non 52 alla quinta. Quindi l'interruttore riguarda se una ripetizione è ammessa, mentre l'assottigliarsi dell'insieme è gestito dalla formula e non dall'interruttore.

Perché non c'è una tabella di consultazione sotto la calcolatrice?

Perché una tabella dovrebbe contraddire il pannello. La tabella che una pagina così vorrebbe è una griglia con n su un lato e r sull'altro, ma la risposta nel pannello è calcolata dagli n e r che hai scritto, quindi una griglia fissa mostrerebbe numeri diversi per gli stessi input. Le pagine di questo sito che portano davvero una tabella di riferimento sono quelle le cui tabelle descrivono un insieme fisso di valori — un confine di categoria o una scala standard — e non un calcolo sugli input. Qui le due righe del pannello sono la risposta, e si muovono a ogni tasto.

• Combination — from Wolfram MathWorld (the number of ways of picking unordered outcomes from a set, also called the binomial coefficient and read "n choose k") — Wolfram MathWorld
• Permutation — from Wolfram MathWorld (a rearrangement of the elements of an ordered list, and the count of them for a set of a given size) — Wolfram MathWorld
• Multichoose — from Wolfram MathWorld (the number of multisets of a given length on a given number of symbols, which is the combinations with repetition count this page switches to) — Wolfram MathWorld