Calcolatrice distribuzione binomiale

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^(n − k) where C(n, k) = n! / (k! (n − k)!)

n

Il numero di prove, fino a 1000 — ripetizioni indipendenti dello stesso evento sì o no. Il limite è una soglia di prestazioni, non un limite matematico: la binomiale è perfettamente definita per n molto più grandi, ma i coefficienti che compaiono in questa pagina crescono con n e una pagina che si blocca è peggio di una che rifiuta

k

Il numero di successi su cui stai chiedendo. Non può superare n, perché più successi che prove non è un esito improbabile ma una richiesta impossibile

p

La probabilità di successo di una singola prova, inserita come percentuale da 0 a 100. È la stessa per ogni prova, ed è questo che rende le prove scambiabili e il conteggio binomiale

C(n, k)

Il coefficiente binomiale: in quanti modi k successi si possono disporre fra n prove. È la ragione per cui i conteggi centrali sono quelli probabili — un conteggio vicino al centro si può disporre in molti più modi di uno estremo

p^k · (1 − p)^(n − k)

La probabilità di una particolare disposizione di k successi e n − k insuccessi. Moltiplicarla per il numero di disposizioni trasforma «una disposizione» in «una qualunque disposizione»

np

Il numero medio di successi. La varianza è np(1 − p) e la deviazione standard è la sua radice quadrata: sono le ultime tre righe del pannello

Usala quando le prove si contano invece di misurarsi: quanti componenti su 20 superano il controllo, quanti tiri liberi su 12 entrano, quanto è probabile una striscia di almeno 8 teste in 10 lanci. Le due righe cumulative sono quelle da usare in pratica, perché un obiettivo è quasi sempre una soglia — almeno k per superare un controllo di qualità, al massimo k per restare dentro un budget — e leggere una soglia sulla riga del conteggio esatto significa sommare i conteggi a mano. Scegli un altro strumento quando il numero di prove non è fissato in anticipo (quella è un'altra distribuzione), quando la probabilità di successo cambia da prova a prova, o quando le prove si influenzano a vicenda; il terzo caso è quello che nella pratica manda più spesso in crisi l'ipotesi.

1. Dieci prove, tre successi, una probabilità del 50% ogni volta

   1. Ci sono C(10, 3) = 120 modi di collocare tre successi fra dieci prove
   2. Una singola disposizione ha probabilità 0,5³ × 0,5⁷ = 1/1024
   3. 120 / 1024 = 0,1171875, quindi esattamente tre successi capita nell'11,72% dei casi
   4. Sommando i conteggi da 0 a 3 si ottiene il 17,19% al massimo; la media è np = 10 × 0,5 = 5

   Il divario fra le due righe cumulative è il punto di questo esempio: 17,19% al massimo e 94,53% almeno lasciano fra loro l'11,72%, e quella fetta mancante è esattamente la probabilità di tre — il conteggio che avevi chiesto. È l'aritmetica che smaschera l'errore comune di leggere «almeno» come uno meno «al massimo», che qui direbbe 82,81%. La media di 5 con una deviazione standard di 1,58 dice anche che 3 non è niente di speciale per questa configurazione: sta poco più di una deviazione standard sotto la media.

2. Venti prove con una probabilità del 25% ogni volta

   1. La media è np = 20 × 0,25 = 5 successi
   2. La varianza è np(1 − p) = 20 × 0,25 × 0,75 = 3,75, e la sua radice quadrata è circa 1,94
   3. Esattamente quattro successi ha probabilità 18,97%, il conteggio singolarmente più probabile qui
   4. Al massimo quattro è 41,48%, e almeno quattro è 77,48%

   Quattro successi è sia il conteggio vicino alla media sia quello singolarmente più probabile, ed è per questo che le due cifre cumulative gli stanno ai lati in modo così asimmetrico: il 41,48% della distribuzione sta al di sotto o esattamente sul conteggio più probabile. Quell'asimmetria è generale e vale la pena ricordarla — per qualunque conteggio pari o inferiore alla media, la probabilità di stare al massimo a quel conteggio è più grande di quanto suggerisca l'intuito, perché quando p è piccolo la distribuzione ha una coda superiore lunga. Le righe di riepilogo sono ciò che permette di vederlo senza sommare i termini: una deviazione standard di 1,94 attorno a una media di 5 mette 4 ben dentro l'intervallo ordinario.

3. Cento prove, nessun successo, una probabilità del 2% ogni volta

   1. Con k = 0 c'è esattamente una disposizione — nessun successo — quindi C(100, 0) = 1
   2. La sua probabilità è 0,98¹⁰⁰ ≈ 0,1326, quindi non ottenerne nessuno è il 13,26%
   3. Al massimo zero successi è lo stesso evento, quindi quella riga coincide esattamente
   4. «Almeno zero successi» comprende ogni esito possibile, quindi è 100%

   È il caso che fissa la riga «almeno». Almeno zero successi non è un bordo privo di informazione ma una certezza — ogni esito ha zero o più successi — quindi 100% è la risposta corretta e non un segnaposto. Leggi le tre righe insieme e l'errore di uno diventa visibile: al massimo 13,26% più almeno 100% supera il 100% perché il conteggio di esattamente zero sta dentro entrambe, e la quantità in cui si sovrappongono è proprio quel 13,26%. L'altra metà dell'esempio è la media: due successi attesi su cento sembrano rassicuranti, eppure non ottenerne nessuno è ancora circa una volta su otto.

4. Mille prove con una probabilità del 50% ogni volta

   1. La media è 1000 × 0,5 = 500 successi e la varianza è 250, quindi la deviazione standard è circa 15,81
   2. Esattamente 500 successi — il conteggio singolarmente più probabile — ha probabilità 2,52%
   3. Al massimo 500 è 51,26%, e almeno 500 è 51,26% pure, perché 500 è il centro
   4. Le due cifre cumulative qui sono uguali, cosa che accade solo sulla media

   Due cose meritano di essere portate via. La prima è che il conteggio singolarmente più probabile non è un evento probabile: 500 è il picco della distribuzione e capita comunque circa una volta su quaranta, perché ci sono mille conteggi diversi fra cui spalmare la probabilità. La seconda è che le due righe cumulative sono uguali esattamente a 51,26% — un autocheck utile, perché sulla media la distribuzione è simmetrica e qualunque scostamento dall'uguaglianza significa che il conteggio è fuori centro. Nota anche che qui una probabilità del 2,52% viene calcolata da coefficienti binomiali con centinaia di cifre, ed è il motivo per cui lo strumento limita il numero di prove invece di provare a fare l'eroe.

Il modello binomiale poggia su tre ipotesi, e quando una di esse salta i numeri restano plausibili mentre sono sbagliati. Il numero di prove deve essere fissato in anticipo invece che deciso strada facendo, la probabilità di successo deve essere la stessa per ogni prova, e le prove devono essere indipendenti l'una dall'altra: è il terzo punto a cedere più spesso nella pratica, perché prove prese dallo stesso lotto, dalla stessa persona o dalla stessa giornata tendono a muoversi insieme. Quando i successi si raggruppano, la dispersione reale è più ampia di quella che riporta questa pagina. Vale la pena dichiarare altri due limiti. Il numero di prove è limitato a 1000, che è una soglia di prestazioni e non un limite matematico: il modello è definito ben oltre, ma i coefficienti crescono con il numero di prove e una pagina che si blocca non aiuta nessuno. E in questa pagina non c'è alcuna tabella delle probabilità per conteggio: la tabella che si vorrebbe ha una riga per ogni numero di successi possibile, dipende dalle prove e dalla probabilità che inserisci, e una tabella di riferimento qui non può vedere quei valori — le tre righe del pannello sono la forma di quella tabella per i numeri che hai scelto.

Perché «almeno k» non è semplicemente 100% meno «al massimo k»?

Perché i due eventi non sono complementari. «Al massimo k successi» significa da zero a k successi; «almeno k successi» significa da k a n. Il conteggio di esattamente k sta in entrambi, quindi sottrarre uno dal 100% lascia fuori proprio quella fetta condivisa, che è la probabilità che avevi chiesto. Usa la riga «al massimo k − 1» se vuoi il complementare di «almeno k», oppure leggi le tre righe insieme: esattamente k è sempre il divario fra le altre due, e quel divario è un controllo utile su tutte e tre.

La probabilità di successo può essere 0% o 100%?

Sì, ed entrambe sono risposte sensate e non casi limite. Una probabilità dello 0% significa che l'evento non accade mai, quindi il numero di successi è 0 con certezza; una del 100% significa che accade sempre, quindi il conteggio è n con certezza. Il pannello riporta senza storie le righe 0% e 100% che ne derivano. Se ti trovi davanti a uno 0% piatto per un conteggio che ti aspettavi piccolo ma possibile, controlla il campo della probabilità: uno 0 inserito dove volevi 10 produce esattamente questo.

Perché non c'è una tabella con la probabilità di ogni numero di successi?

Perché una tabella del genere dipende dalle prove e dalla probabilità di successo che inserisci, e una tabella di riferimento in questa pagina non può vedere quei valori: è calcolata da costanti, quindi mostrerebbe i numeri di un'altra configurazione sotto un'intestazione che sembra la tua. Le tre righe del pannello danno invece la forma di quella tabella nel conteggio che hai chiesto: il conteggio esatto, tutto ciò che sta sotto, tutto ciò che sta sopra. Per vedere l'intera distribuzione cambia il numero di successi e rileggi la riga esatta: quei valori sono la tabella, una riga alla volta.

Che cosa mi dice la media che la probabilità non dice?

Ti dice dove sta la distribuzione, ed è questo che rende interpretabile un conteggio. Una media di 5 successi con una deviazione standard di 1,58 rende 3 un risultato ordinario, mentre lo stesso conteggio di 3 contro una media di 12 sarebbe molto lontano. La media è np, la varianza è np(1 − p) e la deviazione standard è la radice quadrata di quella: le tre righe di riepilogo sono la distribuzione raccontata dal suo centro e dalla sua dispersione invece che una probabilità alla volta.

Che cosa succede se chiedo più successi che prove?

La richiesta viene rifiutata invece che liquidata con uno 0%. Più successi che prove non è un esito improbabile: non è un esito affatto, e riportare 0% suggerirebbe che il modello l'abbia considerato e scartato. Il pannello segnala un errore, e lo stesso vale per un numero di prove superiore a 1000, che viene rifiutato come limite di prestazioni e non perché la matematica smetta di funzionare.

Le prove devono davvero essere indipendenti?

Devono, ed è l'ipotesi che nei dati reali salta più spesso. Se i successi si raggruppano — componenti dello stesso lotto di produzione, tiri dello stesso giocatore nella stessa giornata, pazienti dello stesso ambulatorio — allora le prove portano informazione l'una sull'altra, e la dispersione vera del conteggio è più ampia di quanto dica la binomiale. La media resta all'incirca giusta in presenza di raggruppamento, mentre la deviazione standard e le probabilità delle code no: sono le tre righe di riepilogo quelle di cui fidarsi meno. Quando sai che le prove si raggruppano, lo strumento giusto è un modello che preveda una variabilità in più.

• 1.3.6.6.18. Binomial Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the binomial probability function, its mean np and variance np(1 − p), and the assumptions the model rests on) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 4.3 Binomial Distribution — Introductory Statistics 2e (the fixed number of independent trials with a constant success probability, and the cumulative form used by the at most and at least rows) — OpenStax, Rice University
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (what it means for a count to have a distribution, and how probabilities are read off the outcomes it assigns them to) — National Institute of Standards and Technology (NIST)