Calcolatrice della distribuzione normale

z = (valore − media) / deviazione standard → sotto = Φ(z), sopra = 1 − Φ(z), entro = 2Φ(|z|) − 1

valore

La misura di cui stai chiedendo — una singola osservazione, non la media di parecchie. Viene confrontata con la media e la deviazione standard della distribuzione rispetto a cui la si legge

media

Il centro della distribuzione normale, scritto μ. Ogni probabilità sul pannello è dichiarata rispetto a essa, quindi una media di 0 trasforma il valore stesso nel punteggio z ogni volta che la dispersione è 1

deviazione standard

La dispersione della distribuzione, scritta σ, e deve essere maggiore di zero. È l'unità in cui la distanza si misura, ed è questo che permette a un'unica tavola z di servire distribuzioni di qualunque ampiezza

z

Quante deviazioni standard il valore dista dalla media. Positivo sopra la media, negativo sotto, e zero quando il valore è la media stessa

Φ

La funzione di ripartizione della distribuzione normale standard: la quota di curva che sta a sinistra di un dato z. Non ha una forma chiusa elementare, quindi viene calcolata invece che consultata su una tavola

Usala ogni volta che la domanda riguarda la posizione invece del numero grezzo: quanto è insolita una misura per il processo che l'ha prodotta, quale quota di una popolazione cade sopra una soglia, o quale proporzione di una finestra di specifica copre un processo centrato. È anche la via standard per entrare in una tavola normale: convertire prima in un punteggio z è ciò che rende una sola tavola applicabile a ogni distribuzione. Ricorri invece alla calcolatrice del punteggio z qui accanto quando è il punteggio z stesso il punto e le probabilità non servono; ricorri a questa quando ti servono le aree, perché un punteggio z da solo dice quanto è lontano un valore ma non quanta parte della curva stia là fuori con lui.

1. Una deviazione standard sopra la media

   1. Sottrai la media: 115 − 100 = 15
   2. Dividi per la deviazione standard: 15 / 15 = 1, quindi il punteggio z è 1
   3. La quota di una curva normale sotto z = 1 è circa 84,13%, il che lascia 15,87% sopra
   4. La quota entro una deviazione standard da entrambi i lati è circa 68,27%, e le due cifre unilaterali sono semplicemente quello che avanza a ciascun estremo

   I tre numeri sono lo stesso fatto detto in tre modi, e quello centrale è il più frainteso: 84,13% sotto significa che un valore a una deviazione standard sopra la media batte circa cinque sesti della distribuzione, mentre il 15,87% di essa sta ancora sopra. Nota anche che la quota entro non è la somma delle due probabilità unilaterali: è solo la fascia centrale, quindi per un valore vicino alla media è sempre la più piccola delle tre e cresce verso il 100% man mano che il valore si sposta verso la coda.

2. Un valore esattamente sulla media

   1. Sottrai la media: 100 − 100 = 0
   2. Dividere per una dispersione positiva qualsiasi lascia 0, quindi il punteggio z è 0
   3. Una curva normale è simmetrica, quindi esattamente metà sta sotto la media e metà sopra
   4. Una fascia di ampiezza zero attorno alla media non contiene nessuna parte della distribuzione, quindi la quota entro è 0%

   La cifra entro dello 0% non è l'arrotondamento di qualcosa di piccolo: è esatta, ed è l'unico caso in cui l'ampiezza della fascia è davvero nulla. Questo rende l'esempio il controllo più pulito sulla direzione della fascia: la quota entro misura la distanza dal valore su entrambi i lati, quindi sulla media non c'è distanza alcuna. È anche il caso che mostra la simmetria su cui si regge il resto del pannello, dato che le due probabilità unilaterali si dividono esattamente a metà.

3. Un valore molto in alto nella coda

   1. Sottrai la media: 200 − 100 = 100
   2. Dividi per la deviazione standard: 100 / 15 ≈ 6,67 deviazioni standard sopra la media
   3. La quota sopra z = 6,67 è circa 1.3 × 10⁻¹¹ — uno su decine di miliardi
   4. A due decimali quella quota è 0,00%, e la quota sotto è 100,00%

   Lo 0,00% sopra è l'unico numero di questa pagina che sembra un difetto e non lo è: la quota vera è circa 1,3 su cento miliardi, che due decimali di percentuale non riescono a stampare. Ne seguono due cose. Leggi 0,00% come «più piccolo della precisione mostrata» e non come impossibile, e ricorda che il pannello porta più informazione delle cifre stampate: la coda è calcolata su un percorso suo proprio esattamente perché questo caso dia uno zero pulito invece dello 0,01 o 0,02 che una sottrazione dalla coda inferiore produrrebbe. Nota anche che la quota entro ha raggiunto il 100%, dato che una fascia che arriva a 6,67 deviazioni standard per lato copre ormai essenzialmente tutta la curva.

4. Una deviazione standard sotto la media

   1. Sottrai la media: 85 − 100 = −15
   2. Dividi per la deviazione standard: −15 / 15 = −1, quindi il punteggio z è negativo
   3. La quota sotto z = −1 è circa 15,87%, e la quota sopra è circa 84,13%
   4. La fascia entro una deviazione standard è lo stesso 68,27% del caso z = +1, perché la fascia è simmetrica

   Confrontare questo esempio con il primo è il modo più rapido di vedere che cosa fa e che cosa non fa il segno: le due probabilità unilaterali si scambiano, e la cifra entro non si muove affatto. È perché la quota entro misura una distanza dalla media in entrambe le direzioni, quindi non può dire da che lato stia il valore — che è esattamente quello che vuoi quando la domanda è quanta parte di una distribuzione sta vicina al suo centro, ed è esattamente il motivo per cui il pannello stampa anche le cifre unilaterali invece della sola fascia.

Ogni numero qui è una proprietà di una distribuzione normale, non dei tuoi dati. Un punteggio z si può calcolare per qualunque insieme di valori, qualunque sia la sua forma, ma le probabilità sono quelle sopra solo se la distribuzione è davvero normale: con una dispersione asimmetrica o a coda lunga, i valori molto lontani sono più comuni di quanto dica la curva normale, e le stime sulle code sono le prime a farne le spese. Una media e una deviazione standard non rendono normale una distribuzione, e non possono dirti se lo è. Altre due avvertenze. Le probabilità molto piccole non si possono stampare a due decimali, quindi un valore molto dentro la coda mostra 0,00% dove la verità è un piccolo numero positivo. E il valore inserito è trattato come una singola osservazione letta rispetto a una media e a una dispersione note, quindi i numeri non tengono conto dell'incertezza sulla media o sulla deviazione standard, il che conta quando quelle sono state stimate da un campione piccolo.

Che cosa aggiunge il punteggio z se ho già la probabilità?

È l'unico dei quattro numeri che viaggia fra le distribuzioni. Una probabilità è legata alla particolare curva che hai inserito, mentre un punteggio z di 1 significa la stessa distanza dal centro in ogni distribuzione normale: voti con una dispersione di 15, pezzi meccanici misurati in centesimi di millimetro, o una misura in un'unità arbitraria. È questo che rende utilizzabile ovunque un'unica tavola z: converti prima in un punteggio z, poi leggi l'area sulla curva standard.

Perché la probabilità sopra mostra 0,00% per un valore molto grande?

Perché due decimali di percentuale non riescono a stampare quanto è piccolo davvero il numero. Un valore a 6,67 deviazioni standard sopra la media ha circa 1,3 × 10⁻¹¹ di curva sopra di sé — all'incirca uno su decine di miliardi — che è una quota reale e positiva, solo molto sotto la precisione mostrata. Leggi 0,00% come «più piccolo di quanto questo display possa mostrare» e non come impossibile. Il pannello calcola quella coda su un percorso suo proprio invece che sottraendo dalla coda inferiore, ed è per questo che dà uno zero pulito invece del piccolo valore diverso da zero che la sottrazione produrrebbe.

È la stessa cosa della regola empirica?

Sì, e la tabella di questa pagina è quella regola scritta come distanze invece che come percentuali. La regola empirica dice che circa il 68% di una distribuzione normale sta entro una deviazione standard dalla media, circa il 95% entro due e circa il 99,7% entro tre; trasformare ciascuna di queste in una distanza dal centro è esattamente quello che fanno le righe. Vale la pena notare una differenza: la regola si cita di solito come un insieme arrotondato di tre percentuali, mentre le quote qui sono calcolate dalla stessa funzione di ripartizione che usa la calcolatrice, quindi un valore che cade esattamente su un confine riceve una risposta coerente da entrambe.

Che cosa succede se la deviazione standard è zero?

Viene rifiutata invece che calcolata. Dividere per una dispersione zero non è una probabilità che vale 1 per caso: descrive una distribuzione senza alcuna dispersione, in cui ogni osservazione è la media e la nozione di distanza dal centro smette di significare qualcosa. Il pannello segnala un errore invece di restituire uno 0% o un 100% dall'aria plausibile. Le dispersioni negative vengono rifiutate per lo stesso motivo: una deviazione standard è una distanza, quindi non può essere negativa, e usarne in silenzio il valore assoluto nasconderebbe un errore nei dati.

Posso usarla su dati che non sono normali?

Puoi calcolare il punteggio z per qualunque insieme di valori, perché una media e una deviazione standard esistono per qualunque dato. Le probabilità sono la parte che ha bisogno dell'ipotesi: sono aree sotto una curva normale, e una distribuzione asimmetrica o a coda lunga non vi corrisponderà. Il disallineamento si vede prima sulle code, dove la quota vera oltre una grande distanza è di solito maggiore di quanto la curva normale dichiari; ed è per questo che lo 0,3% oltre tre deviazioni standard della regola empirica va trattato come una proprietà del modello normale e non come una promessa sulle tue misure.

Perché il valore è trattato come una sola osservazione e non come la media di un campione?

Perché è quello che sono le tre probabilità: la quota della distribuzione sotto, sopra e attorno a un singolo valore. Leggere la media di un campione rispetto alla stessa media e alla stessa dispersione è un calcolo diverso, e la dispersione che servirebbe è l'errore standard della media, non la dispersione delle singole osservazioni: i due differiscono di un fattore pari alla radice quadrata della dimensione del campione, quindi usarne uno al posto dell'altro dà una risposta che sembra ragionevole ed è sbagliata. Se il tuo valore è già una media, inserisci l'errore standard come deviazione standard.

• 1.3.6.6.1. Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the density, the role of the mean and standard deviation, and the standard normal as the reference case) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the cumulative function behind every probability on this page, and the z-table it is read from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 6.1 The Standard Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (the z-score as a standardised value, and the areas a normal table records) — OpenStax, Rice University
• 6.2 Using the Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (reading probabilities off a normal curve, including the complements this page reports as below and above) — OpenStax, Rice University