Calcolatrice della deviazione standard

Deviazione standard = √( Σ (xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1) ) per un campione, oppure la stessa somma divisa per n per una popolazione

xᵢ

Un valore dell'insieme di dati. Ogni valore entra come la sua distanza dalla media, ed è l'elevamento al quadrato di quella distanza a impedire che le distanze sopra la media annullino quelle sotto

x̄

La media dei dati: la somma di tutti i valori divisa per quanti sono. È stampata accanto alla risposta perché il calcolo si possa verificare

n

Quanti valori contiene l'insieme di dati, qui fino a 200. Il divisore è n − 1 per un campione e n per una popolazione, ed è l'unica differenza fra le due deviazioni standard

Σ (xᵢ − x̄)²

La somma degli scarti al quadrato: la distanza di ogni valore dalla media viene elevata al quadrato, poi i quadrati si sommano. È in unità al quadrato, ed è esattamente per questo che il passaggio finale estrae una radice quadrata

s

La deviazione standard, nelle unità originali dei dati. Sommare la stessa costante a ogni valore la lascia invariata; raddoppiare ogni valore la raddoppia

Usala quando un solo numero deve rappresentare quanto è disperso un insieme di misure: letture ripetute della stessa grandezza, voti di un esame, incassi giornalieri, i pesi di un lotto di pezzi. Riporta la deviazione standard campionaria quando i numeri che hai sono un campione di qualcosa di più grande, e passa alla versione della popolazione solo quando la lista è davvero l'intero gruppo. È anche il numero che trasforma un valore grezzo in un punteggio z, e quello su cui si costruiscono quasi tutte le regole sui valori anomali. Nota che cosa ti compra la radice quadrata: la somma degli scarti al quadrato porta unità al quadrato, e estrarre la radice è ciò che, nelle parole della sezione Measures of Scale del NIST, riporta le unità della dispersione alle unità originali dei dati, mentre la varianza le eleva al quadrato. Due cose che non ti dirà: se la dispersione è simmetrica, e se un valore estremo è un refuso. Un insieme di dati asimmetrico è descritto meglio dai suoi quartili e dalla mediana che da una deviazione standard.

1. Otto valori, campione e popolazione a confronto

   1. Numerosità: 8 valori; somma: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40
   2. Media: 40 ÷ 8 = 5
   3. Scarti dalla media: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
   4. Scarti al quadrato: 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
   5. Varianza campionaria: 32 ÷ (8 − 1) = 4,5714
   6. Deviazione standard campionaria: √4,5714 = 2,1381

   Gli stessi otto valori trattati come popolazione danno una varianza di 32 ÷ 8 = 4 e una deviazione standard esattamente di 2. Scegliere il divisore sbagliato è la ragione più comune per cui una deviazione standard non concorda con un'altra calcolatrice, e qui cambia la risposta di circa il 7% — di più quando n è piccolo, di meno quando n è grande.

2. Cinque voti di un esame

   1. Somma: 85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433, su 5 voti
   2. Media: 433 ÷ 5 = 86,6
   3. Scarti al quadrato: 2,56 + 11,56 + 73,96 + 29,16 + 1,96 = 119,2
   4. Varianza campionaria: 119,2 ÷ 4 = 29,8
   5. Deviazione standard campionaria: √29,8 = 5,4589

   Leggi gli scarti e gli scarti al quadrato uno accanto all'altro: il 78 sta 8,6 punti sotto la media e contribuisce per 73,96 alla somma, più di tutti gli altri quattro voti messi insieme. Elevare al quadrato una distanza è ciò che dà il loro peso ai valori lontani, ed è anche il motivo per cui una sola giornata storta sposta la deviazione standard più di quanto sposti la media.

3. Una popolazione di tre valori, dove i due divisori sono lontani

   1. Somma: 4 + 8 + 6 = 18, su 3 valori, quindi la media è 6
   2. Scarti: −2, 2, 0; al quadrato: 4, 4, 0, per una somma dei quadrati di 8
   3. Varianza della popolazione: 8 ÷ 3 = 2,6667
   4. Deviazione standard della popolazione: √2,6667 = 1,633

   Tre valori sono la lista più corta che questa pagina tratti come campione, ed è qui che il divisore mostra i denti: la versione campionaria divide lo stesso 8 per 2 e riporta 2 invece di 1,633 — una differenza di oltre il 20%. La deviazione standard campionaria è sempre la più grande delle due, e il divario si stringe man mano che l'insieme di dati cresce.

Questa è la deviazione standard aritmetica semplice di una lista di numeri. Non ha modo di usare pesi, quindi un valore inserito una volta conta una volta — una tabella di frequenze o un sondaggio ponderato richiedono un calcolo diverso. Descrive la dispersione, non la forma: un insieme di dati asimmetrico ha un lato corto e una coda lunga, e la sezione Measures of the Spread of the Data di OpenStax dice esplicitamente che in una distribuzione asimmetrica la deviazione standard può non essere di grande aiuto, e che è preferibile ricorrere ai quartili e alla mediana. Ogni valore conta, quindi un solo valore anomalo digitato male gonfia la risposta. La lista è limitata a 200 valori. Un token come 1.500 viene rifiutato invece che interpretato — scrivi 1500 oppure 1,5 — perché tre cifre dopo il separatore sono un separatore delle migliaia in alcuni paesi e un separatore decimale in altri. Infine, i numeri vengono letti esattamente come li digiti, in ogni lingua: il separatore che usi non cambia mai il significato della lista.

Qual è la differenza fra la deviazione standard campionaria e quella della popolazione?

Un divisore. Entrambe partono dalla stessa somma degli scarti al quadrato, poi la versione campionaria divide per n − 1 e quella della popolazione per n. Per gli otto valori 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 la somma dei quadrati è 32, quindi la deviazione standard campionaria è √(32 ÷ 7) = 2,1381 e quella della popolazione è √(32 ÷ 8) = 2. La risposta campionaria è sempre la più grande delle due, e le due si avvicinano man mano che l'insieme di dati cresce.

Come si calcola la deviazione standard a mano?

Cinque passaggi. Somma i valori e dividi per quanti sono, per ottenere la media. Sottrai la media da ogni valore per ottenere il suo scarto. Eleva al quadrato ogni scarto — è l'elevamento al quadrato a impedire che quelli sopra la media annullino quelli sotto. Somma i quadrati. Dividi per n − 1 se è un campione o per n se è una popolazione, ed estrai la radice quadrata. La formula è la stessa in entrambi i casi; cambia solo il divisore. Il pannello qui sopra stampa numerosità, somma, media e somma degli scarti al quadrato, così ogni singolo passaggio si può verificare da solo.

Perché la versione campionaria divide per n − 1 invece che per n?

Perché la media che sottrai è stata misurata sugli stessi valori, e ogni valore ha tirato quella media verso di sé. Gli scarti misurati da una media che i dati hanno scelto sono in media un po' più piccoli della dispersione vera, quindi dividere per n la sottostimerebbe. Dividere per n − 1 corregge questo effetto. La correzione conta soprattutto per le liste corte — con tre valori è una differenza del 22% — e diventa trascurabile quando i valori sono qualche centinaio.

Posso incollare una colonna presa direttamente da un foglio di calcolo?

Sì. A capo, tabulazioni, punti e virgola, spazi e una virgola seguita da uno spazio separano tutti i valori, quindi sia una colonna incollata sia una riga digitata con i punti e virgola funzionano. I segmenti vuoti vengono saltati invece che rifiutati, il che significa che un a capo finale è innocuo. Si leggono fino a 200 valori. Una forma viene rifiutata di proposito: un token come 1.500 o 1,500, dove al separatore seguono tre cifre — quello è un separatore delle migliaia in alcuni paesi e un separatore decimale in altri, quindi scrivi 1500 oppure 1,5.

In quali unità viene la deviazione standard?

Nelle stesse unità dei dati. Pesa un lotto di pezzi in grammi e la deviazione standard è in grammi: è proprio questo il senso dell'estrarre la radice quadrata alla fine, perché la somma degli scarti al quadrato è in grammi al quadrato e anche la varianza è in grammi al quadrato. Il NIST lo dice in modo piano: la deviazione standard riporta le unità della dispersione alle unità originali dei dati, mentre la varianza eleva le unità al quadrato. È per questo che una deviazione standard si può leggere accanto ai valori che descrive e una varianza no.

Perché la mia risposta è diversa da quella di un'altra calcolatrice?

Nove volte su dieci, per il divisore. Molte calcolatrici restituiscono solo la deviazione standard della popolazione, o solo quella campionaria, senza dire quale. Controlla nella dicitura dell'altro strumento se c'è n − 1 oppure n. Altre due cause da escludere: un valore digitato con la virgola decimale che l'altro strumento ha letto come separatore, e un valore anomalo che uno dei due ha incluso e l'altro no — una deviazione standard è sensibile a ogni singolo valore, quindi un numero in più la cambia.

• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7 — OpenStax, Rice University
• Detection of Outliers — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.17 — National Institute of Standards and Technology (NIST)