Calcolatrice della varianza

Varianza = Σ (xᵢ − x̄)² ÷ (n − 1) per un campione, oppure la stessa somma divisa per n per una popolazione

xᵢ

Un valore dell'insieme di dati. Entra come la sua distanza dalla media, e quella distanza viene elevata al quadrato prima che si sommi qualcosa

x̄

La media dei dati: la somma di tutti i valori divisa per quanti sono. È stampata accanto al risultato perché l'aritmetica si possa verificare

n

Quanti valori contiene l'insieme di dati, qui fino a 200. Il divisore è n − 1 per un campione e n per una popolazione — l'unica differenza fra le due varianze

Σ (xᵢ − x̄)²

La somma degli scarti al quadrato: ogni distanza dalla media, elevata al quadrato, poi sommata. L'elevamento al quadrato dà molto più peso ai valori lontani dalla media — un punto a 10 unità di distanza aggiunge 100 a questa somma, mentre un punto a 2 unità ne aggiunge 4

σ²

La varianza stessa. È in unità al quadrato, il che la rende la grandezza giusta da sommare e quella sbagliata da leggere

Usa la varianza quando la grandezza al quadrato è proprio ciò che ti serve: le varianze di sorgenti indipendenti si sommano, quindi la varianza di un totale è la somma delle varianze, mentre le deviazioni standard non si sommano; l'analisi della varianza, la regressione e gran parte della macchina costruita su di esse prendono in ingresso una varianza, non una deviazione standard. Usa invece la deviazione standard ogni volta che il numero lo deve leggere una persona — una dispersione di 4,5714 punti al quadrato non significa nulla, mentre 2,1381 punti si può confrontare con i voti stessi. Il pannello le dà entrambe, quindi la scelta riguarda quale delle due citi. Nota che la varianza è molto più sensibile di una deviazione standard a un singolo valore estremo, perché la distanza di quel valore viene elevata al quadrato prima di contare.

1. Otto valori, varianza campionaria

   1. Somma: 2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 40 su 8 valori, quindi la media è 5
   2. Scarti: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
   3. Scarti al quadrato: 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32
   4. Varianza campionaria: 32 ÷ (8 − 1) = 4,5714
   5. Deviazione standard, per confronto: √4,5714 = 2,1381

   La varianza è 4,5714 e la deviazione standard è 2,1381, e non è una coincidenza: una è il quadrato dell'altra. Leggi i due passaggi centrali prima di credere alla risposta — la somma degli scarti al quadrato è l'unico numero del calcolo che è difficile giudicare a occhio, e il pannello la stampa proprio perché tu non debba mai prenderla sulla fiducia.

2. Gli stessi otto valori come popolazione

   1. Stessa somma degli scarti al quadrato: 32
   2. Varianza della popolazione: 32 ÷ 8 = 4
   3. Deviazione standard della popolazione: √4 = 2

   Due varianze da un solo insieme di dati, 4,5714 e 4, che differiscono soltanto nel divisore. Vale la pena cambiare il menu a tendina una volta sui tuoi numeri: se un foglio di calcolo e questa pagina non concordano, il divisore è quasi sempre la ragione. La varianza è la più sensibile delle due a quella scelta, perché non è stata rimpicciolita da una radice quadrata.

3. Quattro letture identiche, dove la dispersione è esattamente zero

   1. Tutti i valori sono 3, quindi la media è 3 e ogni scarto è 0
   2. Somma degli scarti al quadrato: 0
   3. Varianza della popolazione: 0 ÷ 4 = 0
   4. Deviazione standard della popolazione: √0 = 0

   Varianza zero significa che i valori non portano alcuna dispersione, ed è l'unico caso in cui una varianza di zero è una risposta vera invece del segno che qualcosa è andato storto. È anche la ragione per cui il coefficiente di variazione ha come condizione una media positiva invece di una varianza diversa da zero: una dispersione nulla divisa per una media positiva è uno 0% del tutto legittimo.

Questa è la varianza semplice non ponderata di una lista di numeri: un valore inserito una volta conta una volta, quindi una tabella di frequenze o un sondaggio ponderato richiedono un calcolo diverso. Le sue unità sono al quadrato — i grammi diventano grammi al quadrato — quindi il numero non si può confrontare con i dati da cui viene, ed è per questo che accanto c'è la deviazione standard. Siccome ogni scarto viene elevato al quadrato, un singolo valore estremo domina: una lettura dieci volte troppo grande contribuisce cento volte tanto rispetto a una lettura due volte più lontana del solito. Un insieme di dati asimmetrico è descritto meglio dai quartili che da una varianza o da una deviazione standard. La lista è limitata a 200 valori e un token come 1.500 viene rifiutato invece che interpretato — scrivi 1500 oppure 1,5 — perché tre cifre dopo il separatore sono un separatore delle migliaia in alcuni paesi e un separatore decimale in altri.

Come calcolare la varianza?

Quattro passaggi. Trova la media sommando i valori e dividendo per quanti sono. Sottrai la media da ogni valore. Eleva al quadrato ognuna di quelle differenze e sommale — quel totale è la somma degli scarti al quadrato. Dividi per n − 1 se è un campione o per n se è una popolazione. Per i valori 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 la somma dei quadrati è 32, quindi la varianza campionaria è 32 ÷ 7 = 4,5714 e quella della popolazione è 32 ÷ 8 = 4.

Qual è la differenza fra varianza e deviazione standard?

Una radice quadrata. La deviazione standard è la radice quadrata della varianza, quindi ciascuna è il quadrato dell'altra: qui la varianza è 4,5714 e la deviazione standard è 2,1381. La varianza è quella che ha senso sommare, perché le varianze di sorgenti indipendenti si sommano mentre le deviazioni standard no. La deviazione standard è quella che ha senso leggere, perché torna nelle unità dei dati invece che in unità al quadrato.

Perché la varianza resta la stessa se aggiungo una costante a tutti i valori?

Perché la varianza guarda solo le distanze dalla media, e spostare ogni valore sposta la media della stessa quantità. Aggiungi 100 a ciascuno di 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 e la media sale da 5 a 105 mentre ogni scarto resta invariato, quindi la somma degli scarti al quadrato è ancora 32. Moltiplicare ogni valore per una costante è il caso opposto: la varianza viene moltiplicata per il quadrato di quella costante, e la deviazione standard per la costante stessa.

Una varianza può essere negativa?

No. Ogni termine della somma degli scarti al quadrato è un quadrato, quindi la somma non è mai negativa, e il divisore è una numerosità positiva. La varianza più piccola possibile è zero, e si ha solo quando tutti i valori sono identici — quattro letture esattamente di 3 danno una varianza di 0. Una varianza negativa sullo schermo significa che un calcolo è andato storto, non che i dati siano strani.

Posso incollare una colonna presa direttamente da un foglio di calcolo?

Sì. A capo, tabulazioni, punti e virgola, spazi e una virgola seguita da uno spazio separano tutti i valori, quindi una colonna incollata funziona così com'è e i segmenti vuoti vengono saltati invece che rifiutati. Si leggono fino a 200 valori. Un token come 1.500 o 1,500 viene rifiutato di proposito: tre cifre dopo il separatore significano un separatore delle migliaia in alcuni paesi e un separatore decimale in altri, quindi scrivi 1500 oppure 1,5.

• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Spread of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.7 — OpenStax, Rice University