Calcolatrice della somma dei quadrati

SS = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² / n

x

Ogni valore della lista, uno alla volta. Ogni valore contribuisce con il proprio scarto al quadrato, quindi nessun valore si può togliere senza cambiare il totale

x̄

La media dei valori. È il punto da cui si misurano gli scarti, ed è scelta proprio perché gli scarti semplici attorno a essa si annullano

SS

La somma degli scarti al quadrato — il risultato principale. È zero esattamente quando tutti i valori sono identici, e cresce sia con l'ampiezza degli scarti sia con quanti sono

Σx²

La somma dei valori al quadrato, stampata anche come somma dei quadrati grezza. È il primo termine a destra dell'identità ed è il più facile dei due da confondere con la risposta, visto che entrambi si chiamano somma dei quadrati

Σx

La somma semplice dei valori, prima di elevare al quadrato. Elevarla al quadrato e dividerla per n dà il termine di correzione che trasforma Σx² nella somma degli scarti al quadrato

n

Quanti valori sono entrati, qui fino a 200. Compare due volte — come divisore nel termine di correzione e come numerosità stampata per il controllo

Ricorri a essa quando vuoi vedere il passaggio invece della misura finita: quando verifichi a mano una varianza o una deviazione standard, quando spieghi perché quelle due grandezze elevano i loro scarti al quadrato, o quando confronti quanta parte della variazione di un totale un modello riesce a spiegare. È anche il modo naturale di esprimere la dispersione quando lavori con somme invece che con medie, come in un'analisi della varianza, dove l'intero metodo è tenuta dei conti su somme di quadrati. In una regressione con intercetta questa stessa grandezza è quella che si chiama somma dei quadrati totale, e la bontà del modello si misura da quanta parte di essa la retta interpolante riesce a togliere. L'identità a destra vale la pena di conoscerla per una seconda ragione: è così che il numero si calcolava prima delle macchine, ed è ancora così che molte formule sono scritte, anche se calcolarlo per quella via perde precisione quando i valori sono grandi e la loro dispersione è piccola. È per questo che la calcolatrice qui sopra usa la via definitoria e stampa i termini dell'identità solo perché tu possa verificare che le due concordino.

1. Otto valori: 32 per entrambe le strade

   1. La media è 40 / 8 = 5
   2. Gli scarti sono −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 e 4, e sommano a 0 — come sempre
   3. Elevandoli al quadrato si ottiene 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4 e 16, che sommano a 32
   4. L'altra strada: Σx² = 232 e (Σx)² / n = 1600 / 8 = 200, quindi 232 − 200 = 32

   Entrambe le strade arrivano a 32, e vedere questo è buona parte del senso della pagina. I primi tre scarti sono negativi e gli ultimi due positivi, ed è esattamente per questo che i quadrati servono: gli scarti grezzi sommano a zero e non saprebbero distinguere un insieme di dati da un altro.

2. Due valori con una media frazionaria

   1. La media è 3 / 2 = 1,5, quindi gli scarti sono −0,5 e +0,5
   2. Elevando al quadrato si ottiene 0,25 e 0,25, quindi la somma dei quadrati è 0,5 — non 1
   3. L'altra strada: 5 − 3² / 2 = 5 − 4,5 = 0,5, dove la parte frazionaria compare nella sottrazione

   Due valori non possono mai produrre una somma dei quadrati più grande di metà del loro scarto al quadrato, e questo è il caso più piccolo: ciascuno dei due scarti porta metà della distanza. Un errore frequente è elevare al quadrato la distanza stessa, il che qui darebbe 1 invece di 0,5 — la distanza è già la differenza di due scarti, quindi viene contata due volte.

3. Un solo valore: 0 contro 1764

   1. La media di un solo valore è quel valore, quindi la media è 42
   2. Lo scarto è 42 − 42 = 0, e 0² è 0, quindi la somma dei quadrati è 0
   3. La somma dei quadrati grezza è tutt'altra cosa: 42² = 1764

   Due cose chiamate somma dei quadrati, a tre ordini di grandezza di distanza, nello stesso pannello. È il caso che le tiene separate: con una lista più lunga i due numeri sono di solito dello stesso ordine di grandezza ed è facile prendere quello sbagliato. La somma degli scarti al quadrato è 0 perché un solo valore non può scartare da se stesso — è una risposta vera, non un fallimento, ed è il motivo per cui questa pagina non richiede due valori come fa la varianza.

4. Quattro valori identici

   1. La media è 12 / 4 = 3, quindi ogni scarto è 0
   2. La somma dei quadrati è 0
   3. La somma dei quadrati grezza è 3² + 3² + 3² + 3² = 36, che non è 0 e non lo sarà mai

   Zero qui significa che i dati non hanno alcuna dispersione, ed è una situazione diversa dal caso a valore singolo qui sopra anche se entrambi stampano 0: qui ci sono quattro osservazioni e concordano esattamente, lì esiste una sola osservazione. La somma dei quadrati grezza si muove nella direzione opposta, crescendo a ogni valore aggiunto indipendentemente dalla dispersione.

Il nome è il pericolo principale. Due grandezze diverse si chiamano entrambe somma dei quadrati e compaiono entrambe su questa pagina: la somma degli scarti al quadrato Σ(x − x̄)², che è la risposta, e la somma dei quadrati grezza Σx², che è soltanto un termine dell'identità. Su un valore singolo differiscono di tre ordini di grandezza. Leggi l'etichetta della riga prima di citare un numero. Il secondo limite è quello che questa pagina non fa: una regressione scompone la somma dei quadrati totale in una parte spiegata dalla retta interpolante e una parte residua, e quella scomposizione qui non è disponibile. Richiede una seconda variabile e una retta interpolata sui dati, e nessuna pagina di questa sezione ne interpola una — la pagina della covarianza si ferma al coefficiente di correlazione. Quel che è vero, e vale la pena sapere, è che la somma dei quadrati totale in una regressione con intercetta è questa stessa grandezza applicata alla variabile di esito; è solo la scomposizione che manca. C'è anche una ragione pratica per cui la calcolatrice usa la via definitoria invece dell'identità: sottrarre due numeri grandi e quasi uguali perde precisione, quindi su una lista di valori grandi con una dispersione piccola la via di destra può dare una risposta visibilmente sbagliata. L'identità è stampata per il controllo, non per la velocità. La lista è limitata a 200 valori e un token come 12.345 viene rifiutato invece che interpretato, perché tre cifre dopo il separatore sono un separatore delle migliaia in alcuni paesi e un separatore decimale in altri.

Come si calcola la somma dei quadrati?

Trova la media, sottraila da ogni valore, eleva al quadrato ogni risultato e sommali. Per 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7 e 9 la media è 5, gli scarti sono −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2 e 4, e i loro quadrati sommano a 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32. Ogni valore prende parte al calcolo, compresi quelli che stanno proprio sulla media, che contribuiscono per 0.

Perché elevare gli scarti al quadrato invece di sommarli e basta?

Perché gli scarti semplici sommano sempre esattamente a zero. I valori sotto la media annullano quelli sopra, per qualunque lista, quindi la somma degli scarti non porta alcuna informazione sulla dispersione. L'elevamento al quadrato fa due cose insieme: rende positivo ogni termine, così nulla si annulla, e dà ai valori lontani dalla media un peso proporzionalmente maggiore — un valore a due unità di distanza contribuisce per 4, uno a venti unità per 400. Quel secondo effetto è voluto. È anche il motivo per cui la somma dei quadrati, e la varianza che ne deriva, reagiscono con forza a un singolo valore estremo.

Perché su questa pagina ci sono due numeri diversi chiamati somma dei quadrati?

Perché in statistica due grandezze condividono il nome, e questa pagina le stampa entrambe. La somma degli scarti al quadrato, Σ(x − x̄)², è la risposta qui ed è il numeratore della varianza. La somma dei quadrati grezza, Σx², è la somma dei valori elevati ciascuno al quadrato prima di sottrarre qualsiasi media. Sono legate dall'identità Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)² / n, ed è per questo che la versione grezza è sullo schermo, ma non sono intercambiabili. Con il solo valore 42 la somma degli scarti al quadrato è 0 mentre quella grezza è 1764.

La scelta fra campione e popolazione cambia la risposta?

No, ed è per questo che su questa pagina non c'è nessun selettore. Le formule del campione e della popolazione differiscono solo nel divisore — n − 1 contro n — e la somma dei quadrati non divide per nulla. È un solo numero per una data lista. La scelta compare nelle pagine della varianza e della deviazione standard perché è lì che avviene la divisione, ed è esattamente il motivo per cui lo stesso insieme di dati può produrre due varianze ma una sola somma dei quadrati.

Qual è il legame con la varianza e la deviazione standard?

La varianza è questo numero diviso per i gradi di libertà: n − 1 per un campione o n per una popolazione. La deviazione standard è la radice quadrata della varianza. Quindi la somma dei quadrati è la materia prima, e la divisione è ciò che la rende confrontabile fra insiemi di dati di dimensioni diverse — una somma su otto valori è naturalmente più grande di una somma su quattro, anche a parità di dispersione. Dividere per n − 1 invece che per n corregge anche una leggera sottostima che nasce dal misurare gli scarti attorno alla media campionaria invece che a quella vera.

La somma dei quadrati può essere negativa?

Mai. Ogni termine è un quadrato, quindi ogni termine è zero o positivo e il totale pure. È zero esattamente quando ogni valore è uguale alla media, il che significa che ogni valore è uguale a ogni altro — o perché la lista è un valore singolo, o perché tutti i valori sono identici. Un totale di zero è un risultato vero che significa che i dati non hanno dispersione, non il segno che qualcosa è andato storto. Se vedi un numero negativo, quello che stai guardando è la somma dei quadrati grezza Σx² con un errore di segno, oppure una differenza di quadrati calcolata a mano.

• Measures of Scale — NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (defines the variance as the sum of squared deviations divided by n − 1, and explains that squaring the distance from the mean gives greater weight to values far from it) — National Institute of Standards and Technology
• Measures of the Spread of the Data — OpenStax, Introductory Statistics 2e, section 2.7 (states that the variance is the average of the squares of the deviations, the x − x̄ values for a sample, which is the quantity this page computes before the division) — OpenStax, Rice University
• GB/T 3358.1-2009, Statistics — Vocabulary and symbols, Part 1 (the Chinese national vocabulary standard covering the variance and the sums of squares it is built from; the record page notes that no online full text is offered) — State Administration for Market Regulation, China