Calcolatrice di media, mediana e moda

Media = Σ xᵢ ÷ n Mediana = il valore centrale una volta ordinati i dati Moda = il valore con la frequenza più alta

xᵢ

Un valore dell'insieme di dati. Ogni valore conta una volta, sia che stia vicino al centro sia che stia a un estremo

n

Quanti valori ci sono, fino a 200 in questa pagina. Tutti e tre questi centri dividono per la numerosità e non per n − 1, quindi in questa pagina non c'è nessuna scelta fra campione e popolazione da fare

x̄

La media. È l'unico dei tre che ogni singolo valore riesce a spostare, ed è per questo che un valore estremo la trascina e lascia fermi gli altri due

M

La mediana: ordina i valori e prendi quello centrale, oppure la media dei due centrali quando la numerosità è pari. Metà dei dati sta sotto di essa e metà sopra

f

La frequenza della moda: quante volte compare il valore più comune. Una frequenza di 1 significa che nessun valore si ripete, e allora tutti i valori sono a pari merito per il titolo

Cita la mediana quando l'insieme ha valori anomali o una coda lunga: prezzi delle case, redditi, tempi di attesa, qualsiasi cosa in cui un valore possa essere enorme. La mediana non si muove se un estremo va molto lontano, ma solo se cambia quanti valori stanno da ciascun lato. Cita la media quando ogni valore deve pesare allo stesso modo e il totale conta: un voto medio, una spesa media per cliente, un tasso. Cita la moda quando la domanda riguarda ciò che è tipico nel senso di più frequente: il numero di scarpe più venduto da tenere a magazzino, il numero di passeggeri più comune. Se i tre concordano, i dati sono più o meno simmetrici e la scelta non conta. Se non concordano, riporta la mediana e spiega perché: un insieme asimmetrico a destra ha la moda sotto la mediana e la media sopra, ed è la media quella che viene tirata.

1. Una settimana asimmetrica: i tre centri si separano

   1. Ordinati: 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 — sette valori, quindi quello centrale è il quarto
   2. Mediana: 3
   3. Somma: 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 7 + 9 = 28, quindi la media è 28 ÷ 7 = 4
   4. Moda: 2 compare due volte e nessun valore compare tre volte, quindi la moda è 2 con frequenza 2

   Leggi le tre risposte come una forma, non come tre stime della stessa cosa: moda 2, mediana 3, media 4, in quest'ordine, è la firma di un insieme asimmetrico a destra — il 7 e il 9 hanno tirato la media oltre la mediana, mentre la moda è rimasta ferma. Se il 9 fosse 90 la media salirebbe a 15,6 e la mediana non si sposterebbe affatto.

2. Due mode, e nessun centro evidente

   1. Ordinati: 2, 2, 5, 5, 9 — il valore centrale è 5
   2. Somma: 23, quindi la media è 23 ÷ 5 = 4,6
   3. Due valori compaiono due volte ciascuno, 2 e 5, quindi ci sono due mode e il pannello riporta la più piccola

   Questo insieme di dati è bimodale — due valori sono a pari merito per la frequenza più alta — e un insieme così è spesso due gruppi raggruppati per sbaglio, in questo caso un grappolo di 2 e uno di 5. La pagina riporta la più piccola delle mode a pari merito e accanto il numero di mode, che è la lettura onesta: il singolo numero 2 non è più moda di 5, è semplicemente il primo in ordine.

3. Nessun valore si ripete

   1. Ogni valore compare esattamente una volta, quindi nulla è più frequente di altro
   2. Frequenza della moda: 1; numero di mode: 3, cioè tutti i valori dell'insieme
   3. Media e mediana: entrambe 2

   Una frequenza di 1 insieme a un numero di mode pari al numero dei valori è il modo in cui questa pagina dice che non c'è nessuna moda, ed è un'affermazione più utile di una risposta vuota, perché tre numeri distinti messi insieme dicono che tutti i valori sono a pari merito. La riga della moda mostra comunque un valore, il più piccolo, solo perché la riga non resti bianca.

Tutti e tre questi descrivono il centro, e l'intervallo stampato accanto dice soltanto quanto distano fra loro i due valori più esterni, il che non è la stessa cosa di come i dati sono distribuiti in mezzo: due insiemi possono avere la stessa media, la stessa mediana e lo stesso intervallo ed essere completamente diversi, uno addensato al centro e uno disteso da un capo all'altro. Un insieme asimmetrico è descritto meglio dalla mediana e dai quartili che dalla media, perché la media è trascinata verso la coda mentre la mediana no. La moda è la meno stabile delle tre: può saltare a un altro valore quando cambia una sola voce, e con le misure continue spesso non ha alcuna moda utile, quindi quella che sembra una moda può essere solo l'arrotondamento. Questa pagina legge numeri semplici, quindi una tabella di frequenze va espansa nei suoi valori prima di poterla usare qui, e l'elenco è limitato a 200 valori.

Come si trovano la media, la mediana e la moda?

Somma i valori e dividi per quanti sono, e ottieni la media. Ordinali e prendi quello centrale, e ottieni la mediana: con una numerosità pari fai la media dei due centrali. Conta quante volte compare ogni valore, e ottieni la moda. Per 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 la somma è 28 su 7 valori, quindi la media è 4; il quarto di sette valori ordinati è 3, quindi la mediana è 3; e 2 compare due volte, quindi la moda è 2. Sono i tre modi di trovare il centro di un unico elenco: somma e divisione per la media, posizione per la mediana, conteggio per la moda.

Quale dei tre conviene usare?

Usa la mediana quando ci sono valori anomali o una coda lunga, perché non le importa quanto sia lontano un valore estremo: conta solo quanti valori stanno da ciascun lato. Usa la media quando ogni valore deve contare allo stesso modo e quello che conta è il totale, come un voto medio o un tasso. Usa la moda quando vuoi il valore più comune invece di quello centrale, come nel decidere quale taglia tenere a magazzino. Che i tre concordino è già un'informazione utile: significa che i dati sono quasi simmetrici e che la scelta conta poco.

Che cosa significa quando non c'è la moda?

Significa che ogni valore compare lo stesso numero di volte, quindi nessuno è più frequente degli altri. Questa pagina lo dice invece di lasciare la riga bianca: la frequenza della moda vale 1 e il numero di mode è uguale al numero dei valori, quindi 1, 2, 3 riporta tre mode. Non è un errore: con un elenco piccolo e senza ripetizioni è la risposta attesa, e con le misure continue è quella usuale.

Un insieme di dati può avere più di una moda?

Sì, ed è comune. Se due valori sono a pari merito per la frequenza più alta, entrambi sono mode e l'insieme si dice bimodale; il pannello riporta la più piccola delle due e accanto mostra il numero di mode. Due mode spesso significano che due gruppi sono stati uniti per sbaglio — un grappolo di una taglia e un grappolo di un'altra — cosa che vale la pena notare prima di citare un solo centro per tutta la lista.

Esiste una versione campionaria e una di popolazione di questi tre valori?

No, e questa pagina non ha di proposito il menu a tendina per sceglierle. Tutti e tre questi centri dividono per il numero dei valori; la correzione n − 1 appartiene alla dispersione, non al centro. Una media è una media sia che la lista sia un campione sia che sia il gruppo intero. Se ti serve la differenza fra campione e popolazione, quella sta nelle pagine della deviazione standard e della varianza, che hanno la scelta.

• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 — OpenStax, Rice University
• Skewness and the Mean, Median, and Mode — Introductory Statistics 2e, section 2.6 — OpenStax, Rice University