Calcolatrice della mediana

Mediana = il valore centrale della lista ordinata; con una numerosità pari, la media dei due valori centrali

xᵢ

Un valore dell'insieme di dati. Conta solo la sua posizione nella lista ordinata: quanto dista dagli altri valori non entra mai nel calcolo, ed è proprio per questo che una lettura estrema lascia la risposta in pace

n

Quanti valori contiene la lista, fino a 200 in questa pagina. Una numerosità dispari dà un solo valore centrale; una pari ne dà due, e la loro media è la mediana

Y₍ₖ₎

Il k-esimo valore dopo che la lista è stata ordinata dal più piccolo al più grande. NIST scrive il caso pari come (Y(N/2) + Y(N/2+1)) / 2, che è la stessa coppia di osservazioni che questa pagina stampa sotto la risposta

Y₍ₙ/₂₎ e Y₍ₙ/₂₊₁₎

I due valori centrali. Sono stampati perché la divisione si possa controllare a occhio, e con una numerosità dispari sono lo stesso numero due volte: al centro c'è davvero un solo valore

M

La mediana. Porta le unità di misura originali dei dati, e aggiungere la stessa costante a ogni valore la sposta di quella costante e di nient'altro

Ricorri alla mediana ogni volta che una lettura potrebbe essere molto sbagliata e vuoi comunque un valore tipico: prezzi delle case, redditi, tempi di attesa, qualsiasi cosa con una coda lunga. Poiché conta posizioni e non grandezze, il numero più grande della lista potrebbe essere enorme e la mediana non si sposterebbe, e quella resistenza è tutta la ragione per cui esiste accanto alla media. È anche il centro naturale per le etichette ordinate — una scala di giudizio, una taglia — dove la distanza fra due categorie vicine non ha significato e non si può fare una media. Due cose non te le dirà: nulla sulla dispersione e nulla sui valori lontani dal centro. Affiancale i quartili quando la forma dei dati conta, e nota che su un insieme simmetrico mediana e media finiscono quasi una sopra l'altra, quindi uno scarto visibile fra le due è già di per sé una lettura sull'asimmetria.

1. Numerosità pari: i due valori centrali sono 4 e 5

   1. Ordina: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9
   2. Numerosità: 8 valori, quindi non c'è un solo valore centrale — la coppia centrale è la quarta e la quinta
   3. Il quarto valore è 4 e il quinto è 5
   4. Mediana: (4 + 5) ÷ 2 = 4,5

   4,5 non è uno dei numeri della lista, ed è normale con una numerosità pari. Il pannello stampa 4 e 5 accanto proprio per questo: senza di essi non ci sarebbe modo di sapere se lo strumento ha fatto la media della coppia giusta o se ne ha scelto uno in silenzio.

2. Numerosità dispari, con un valore molto lontano dagli altri

   1. Ordina: 3, 7, 9, 12, 40
   2. Numerosità: 5 valori, quindi quello centrale è il terzo
   3. Mediana: 9 — senza nessuna divisione, perché al centro c'è un solo valore

   La media di questi cinque numeri è 14,2, tirata su dal 40; la mediana è 9 e non se ne cura. Sostituisci 40 con 4000 e la media diventa 806,2 mentre la mediana è sempre 9. È tutto l'argomento a favore di riportare una mediana su dati asimmetrici, e non costa nulla calcolarla.

3. Quattro valori, dove il centro non è un valore

   1. Ordina: 1, 2, 3, 4
   2. La coppia centrale è il secondo e il terzo valore: 2 e 3
   3. Mediana: (2 + 3) ÷ 2 = 2,5

   Per questo caso esistono altre due convenzioni — prendere il minore della coppia (2) o il maggiore (3) — e tutte e tre compaiono sui manuali. Questa pagina prende la media, come fanno NIST e la norma lessicale GB/T. È la stessa regola che seguono le pagine dei quartili e dei percentili, ed è per questo che il 2,5 di qui è anche il secondo quartile di là.

La mediana è una sola posizione, quindi butta via quasi tutto il resto dei dati. Due liste possono avere la stessa mediana e non somigliarsi per niente — una stretta attorno a essa, una distesa da un capo all'altro — ed è per questo che una mediana si riporta di solito insieme ai quartili invece che da sola. Richiede che la lista sia ordinata, il che vuol dire che ogni valore va letto prima che la risposta esista. Non dice nulla sui valori in sé: una mediana di 9 ti dice che al centro sta un numero attorno al 9, non che il 9 compaia da qualche parte. Per le etichette ordinate, come le taglie o i giudizi, l'aritmetica funziona lo stesso, ma la risposta è l'etichetta centrale e non un numero che si possa sommare. La lista è limitata a 200 valori. Un numero come 1,500 viene rifiutato invece di essere interpretato, perché una virgola fra le cifre significa un segno decimale in gran parte del mondo e un separatore di migliaia altrove: scrivi 1500 oppure 1,5. Le regole sui separatori sono le stesse in ogni lingua di questo sito: i numeri vengono letti esattamente come sono scritti.

Come si calcola la mediana di una lista di numeri?

Ordina i numeri dal più piccolo al più grande e contali. Una numerosità dispari ha un solo valore centrale: con sette numeri è il quarto. Una numerosità pari ne ha due, e la mediana è la loro media: per 1, 2, 3, 4 la coppia centrale è 2 e 3, quindi la mediana è 2,5. Il metodo è tutto qui. Il pannello qui sopra stampa la numerosità, i due valori centrali e la risposta, così ogni passaggio si controlla senza riordinare nulla.

Perché la mediana a volte è un numero che non è nella mia lista?

Perché una numerosità pari non ha un solo valore centrale, quindi la mediana è la media dei due che affiancano il centro. Il 4,5 dell'esempio non è uno degli otto numeri, ed è comunque la risposta corretta: metà dei valori sta sotto di esso e metà sopra. I due valori centrali sono stampati accanto al risultato proprio perché questo non sembri un errore.

Quando conviene usare la mediana invece della media?

Quando una singola lettura estrema potrebbe distorcere il quadro: redditi, prezzi delle case, tempi di attesa, qualsiasi cosa con una coda lunga da un lato. La media somma ogni valore, quindi un numero lontano dagli altri la tira; la mediana conta solo quanti valori stanno da ciascun lato, quindi quello stesso numero non cambia nulla. Su un insieme simmetrico le due risposte quasi coincidono, quindi uno scarto fra loro è già un indizio che i dati sono asimmetrici.

Posso incollare una colonna presa da un foglio di calcolo?

Sì. Le interruzioni di riga, le tabulazioni, i punti e virgola, gli spazi e una virgola seguita da uno spazio separano tutti i valori, quindi funziona sia una colonna incollata sia una riga scritta con i punti e virgola, e i segmenti vuoti vengono saltati invece di essere rifiutati. Si leggono fino a 200 valori. Una forma viene rifiutata apposta: un numero come 1,500 oppure 1.500, dove al separatore seguono tre cifre, perché in alcuni paesi è un separatore di migliaia e in altri un segno decimale; scrivi 1500 oppure 1,5.

La mediana ha una versione campionaria e una di popolazione?

No, e in questa pagina non c'è nessun interruttore per sceglierle. La correzione n − 1 appartiene alle misure di dispersione, che dividono una somma di scarti al quadrato per una numerosità; la mediana non divide nulla, prende una posizione. Che la tua lista sia un campione o il gruppo intero, il valore centrale è il valore centrale. Le pagine che hanno davvero bisogno di quella scelta sono quelle della deviazione standard e della varianza, e lì il divisore cambia la risposta sul serio.

Perché la stessa lista dà una mediana diversa in un altro strumento?

Quasi sempre è la regola del caso pari. Circolano tre convenzioni: fare la media dei due valori centrali, prendere il minore oppure prendere il maggiore. Per 1, 2, 3, 4 danno 2,5, 2 e 3. Questa pagina fa la media, seguendo la definizione di NIST e la norma lessicale GB/T, e stampa i due valori centrali perché si veda quale coppia è stata usata. Una seconda causa, più rara, è un valore digitato con la virgola decimale che l'altro strumento ha letto come separatore.

• Measures of Location — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.1 — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 — OpenStax, Rice University
• GB/T 3358.1-2009, Statistics — Vocabulary and symbols, Part 1 (the Chinese national vocabulary standard covering the median and the other measures of location; the record page notes that no online full text is offered) — State Administration for Market Regulation, China