Calcolatrice dei quartili

Q1 = valore alla posizione (n − 1) × 0,25, Q2 a (n − 1) × 0,5, Q3 a (n − 1) × 0,75 (interpolando fra i valori vicini); IQR = Q3 − Q1

xᵢ

Un valore dell'insieme di dati. I quartili sono posizioni nella lista ordinata, quindi conta l'ordine dei valori e non la loro grandezza: una lettura estrema sposta un po' i marcatori esterni ma lascia la metà centrale quasi intatta

n

Quanti valori contiene la lista, qui fino a 200. Le posizioni si contano da 0 e l'ultima è n − 1, ed è per questo che le tre posizioni dei quartili si distribuiscono su quell'intervallo

Q1

Il primo quartile, con circa il 25% dei dati pari o inferiore. Segna dove finisce il quarto inferiore della lista ordinata, e non è necessariamente un valore presente nei tuoi dati

Q2

Il secondo quartile, che è esattamente la mediana: metà dei dati pari o inferiore. È stampato qui per confronto, e la pagina dedicata alla mediana calcola lo stesso numero con la stessa regola

Q3

Il terzo quartile, con circa il 75% dei dati pari o inferiore. Insieme a Q1 delimita la metà centrale dei dati, la parte che un diagramma a scatola disegna come una scatola

IQR

Lo scarto interquartile, Q3 − Q1: l'ampiezza della metà centrale. Ha le unità dei dati e, a differenza della deviazione standard, è appena toccato dai valori anomali, perché ignora del tutto i quarti esterni

I quartili sono il riassunto giusto quando i dati sono asimmetrici, contengono valori anomali o non sono misurati su una scala in cui sommare abbia un senso: redditi, prezzi delle case, tempi di risposta, voti di un esame. Dove una media e una deviazione standard descrivono una campana simmetrica, il riassunto in cinque numeri descrive una distribuzione di qualsiasi forma: la mediana dice dov'è il centro, Q1 e Q3 dicono quanto si allunga la metà centrale, e il valore più piccolo e il più grande delimitano tutto il resto. Lo scarto interquartile è il compagno abituale della mediana per la stessa ragione per cui la deviazione standard accompagna la media, ed è il numero che si cita quando serve una dispersione che una singola lettura impazzita non possa gonfiare. È anche la base del diagramma a scatola e della regola di 1,5 × IQR per segnalare i possibili valori anomali: qui la soglia si calcola, ma la segnalazione è un lavoro a parte. Quando puoi, affianca i quartili a un istogramma: quattro punti di taglio non possono mostrare se i dati hanno due gobbe, e un insieme di dati bimodale produrrà tranquillamente un riassunto in cinque numeri dall'aria del tutto normale.

1. Otto valori: Q1 = 4, Q3 = 5,5, IQR = 1,5

   1. Ordina: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 — otto valori, quindi n − 1 = 7
   2. Q1: posizione 7 × 0,25 = 1,75, che sta fra il 4 in posizione 1 e il 4 in posizione 2, quindi Q1 = 4
   3. Q2: posizione 7 × 0,50 = 3,5, fra 4 e 5, quindi Q2 = 4,5 — la stessa mediana che riporta la pagina della mediana
   4. Q3: posizione 7 × 0,75 = 5,25, fra il 5 in posizione 5 e il 7 in posizione 6: 5 + 0,25 × 2 = 5,5
   5. IQR: 5,5 − 4 = 1,5, quindi la metà centrale dei dati copre un'ampiezza di 1,5

   La metà centrale qui sono i quattro valori da 4 a 5,5, e lo scarto interquartile è quanto è larga quella fascia. Nota che Q1 è caduto esattamente su un punto dei dati mentre Q3 no: quali quartili coincidano con valori osservati dipende interamente dalla numerosità, e il riassunto in cinque numeri è una descrizione di posizioni, non un sottoinsieme dei dati.

2. Quattro valori, dove ogni quartile è interpolato

   1. Ordina: 1, 2, 3, 4 — quattro valori, quindi n − 1 = 3
   2. Q1: posizione 3 × 0,25 = 0,75, tre quarti di strada da 1 a 2, quindi Q1 = 1,75
   3. Q2: posizione 3 × 0,50 = 1,5, a metà fra 2 e 3, quindi Q2 = 2,5
   4. Q3: posizione 3 × 0,75 = 2,25, un quarto di strada da 3 a 4, quindi Q3 = 3,25
   5. IQR: 3,25 − 1,75 = 1,5

   È il caso che separa le convenzioni, quindi vale la pena sapere che cosa dà l'alternativa. Il metodo usato da OpenStax e da molti manuali divide i dati alla mediana e prende il centro di ciascuna metà: la metà inferiore è 1 e 2, quindi Q1 = 1,5; la metà superiore è 3 e 4, quindi Q3 = 3,5, e lo scarto interquartile diventa 2. Questa pagina interpola invece fra i valori vicini, come fa R per impostazione predefinita e come fa NumPy, e stampa Q1 e Q3 proprio perché tu veda quale convenzione li ha prodotti.

3. I quattordici valori del manuale, calcolati nell'altro modo

   1. Ordina: 1, 1, 2, 2, 4, 6, 6,8, 7,2, 8, 8,3, 9, 10, 10, 11,5 — quattordici valori, quindi n − 1 = 13
   2. Q2: posizione 13 × 0,50 = 6,5, a metà fra 6,8 e 7,2, quindi Q2 = 7 — esattamente la mediana che riporta il manuale
   3. Q1: posizione 13 × 0,25 = 3,25, un quarto di strada dal 2 in posizione 3 al 4 in posizione 4, quindi Q1 = 2,5
   4. Q3: posizione 13 × 0,75 = 9,75, tre quarti di strada da 8,3 a 9, quindi Q3 = 8,825
   5. IQR: 8,825 − 2,5 = 6,325

   Gli stessi quattordici numeri compaiono nella sezione sulle misure di posizione di OpenStax, che usa il metodo delle metà e riporta Q1 = 2 e Q3 = 9, con uno scarto interquartile di 7. Entrambe le risposte vengono da una regola documentata e insegnabile; differiscono perché interpolano in modo diverso fra le stesse osservazioni. La mediana coincide esattamente, ed è la parte rassicurante: qualunque sia la convenzione, il centro di un insieme di dati resta il centro di un insieme di dati.

Quattro punti di taglio non bastano a descrivere una distribuzione da soli. Due insiemi di dati possono avere tutti i quartili uguali e non assomigliarsi per niente — uno addensato, l'altro con due gobbe — quindi leggi il riassunto in cinque numeri accanto a un istogramma quando la forma conta. I quartili sono inoltre una convenzione, non un fatto: questa pagina interpola fra i valori vicini, seguendo la Hyndman–Fan di tipo 7, e il metodo delle metà usato da molti manuali darà numeri diversi ogni volta che la numerosità non è un multiplo di quattro. La numerosità conta anche in un altro modo: con meno di quattro valori ogni quartile è un'interpolazione, e con un solo valore tutti e cinque i numeri sono quel valore e lo scarto interquartile è zero, perché non c'è nessuna dispersione da misurare. La lista è limitata a 200 valori e un token come 12.345 viene rifiutato invece che interpretato, perché tre cifre dopo il separatore sono un separatore delle migliaia in alcuni paesi e un separatore decimale in altri. Nulla, su questa pagina, segnala i valori anomali: la soglia di 1,5 × IQR è la regola standard per farlo, e applicarla è il compito di uno strumento separato.

Come trovare i quartili di un insieme di dati?

Ordina la lista, poi leggi tre posizioni: (n − 1) × 0,25 per Q1, (n − 1) × 0,50 per Q2 e (n − 1) × 0,75 per Q3, interpolando quando una posizione cade fra due valori. Con otto valori le posizioni sono 1,75, 3,5 e 5,25, che danno Q1 = 4, Q2 = 4,5 e Q3 = 5,5. Lo scarto interquartile è poi Q3 − Q1, che qui vale 1,5. Tutti e tre i quartili, più il valore più piccolo e il più grande, sono stampati qui sopra, così l'intero riassunto sta in una schermata.

Perché il mio Q1 è diverso da quello di un'altra calcolatrice?

Perché i quartili sono una convenzione, non un fatto, e le due convenzioni più diffuse divergono ogni volta che la numerosità non è un multiplo di quattro. Questa pagina interpola fra i valori vicini, seguendo la Hyndman–Fan di tipo 7, che è il valore predefinito in R e in NumPy. Molti manuali, OpenStax compreso, dividono invece i dati alla mediana e prendono il centro di ciascuna metà: sui suoi stessi quattordici valori questo dà Q1 = 2 e Q3 = 9, mentre questa pagina restituisce 2,5 e 8,825. Entrambe sono regole documentate. Q2, la mediana, viene identica in tutti e due i modi.

Che cosa mi dice lo scarto interquartile?

È l'ampiezza della metà centrale dei dati: l'intervallo che contiene quel 50% di valori compreso fra Q1 e Q3. Porta le unità dei tuoi dati, quindi uno scarto interquartile di 1,5 significa che la metà centrale copre 1,5 di qualunque cosa tu abbia misurato. Siccome butta via il quarto superiore e quello inferiore, una lettura estrema lo sposta appena: è per questo che è la misura di dispersione che si cita abitualmente accanto a una mediana. Uno scarto interquartile pari a zero significa che la metà centrale è un unico valore ripetuto — metà dei tuoi dati o più sono identici — e non che qualcosa sia andato storto.

Che cos'è il riassunto in cinque numeri?

Il valore più piccolo, Q1, la mediana, Q3 e il valore più grande: i cinque numeri che questa pagina stampa, di solito scritti in quest'ordine. È il modo standard di descrivere un insieme di dati senza presupporre nessuna forma particolare, ed è esattamente ciò che disegna un diagramma a scatola: una scatola da Q1 a Q3 con una linea sulla mediana e i baffi fino agli estremi. Lo scarto interquartile mostrato in cima non è uno dei cinque; è Q3 − Q1, l'ampiezza della scatola.

Un quartile può essere un valore che non è nei miei dati?

Sì, e con le liste corte succede di solito. Un quartile è una posizione sulla scala dei dati, quindi 1,75 per i quattro valori 1, 2, 3 e 4 è un primo quartile del tutto ordinario, anche se nella lista non compare nessun valore di 1,75. Quando invece una posizione cade esattamente su un numero intero, il quartile coincide con un valore osservato. In entrambi i casi i numeri sono stampati con la numerosità accanto, così si vede subito in quale dei due casi ti trovi.

Questa pagina segnala i valori anomali?

No. Ti dà lo scarto interquartile, che è l'ingresso della regola standard: un valore è considerato un possibile valore anomalo se sta più di 1,5 × IQR sotto Q1 o sopra Q3. Applicare quella soglia è deliberatamente il compito di uno strumento separato, così questa pagina resta una descrizione onesta dei dati invece di un verdetto su quali punti scartare. Per gli otto valori qui sopra, 1,5 × IQR vale 2,25, quindi la soglia va da 1,75 a 7,75.

• Measures of the Location of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.3 (defines the quartiles and the interquartile range as the spread of the middle half, and works through the 14-value example; its halves method differs from the interpolation used here) — OpenStax, Rice University
• quantile — R stats package reference (documents the nine quantile types; type 7, the default, is the convention used here for all three quartiles) — The R Project for Statistical Computing
• numpy.quantile — NumPy reference (the method="linear" default interpolates exactly as this page does) — NumPy
• GB/T 3358.1-2009, Statistics — Vocabulary and symbols, Part 1 (the Chinese national vocabulary standard covering the quartiles and the interquartile range; the record page notes that no online full text is offered) — State Administration for Market Regulation, China