Calcolatrice del punteggio z
Risultato
Punteggio z
- Distanza dalla media
- 10,00
Un punteggio z dice quante deviazioni standard un valore sta sopra o sotto la media, il che rende confrontabili valori che vengono da scale diverse: un voto a un esame, una misura e una lettura di uno strumento di laboratorio diventano un solo numero una volta portati su questa scala. Inserisci il valore, la media del gruppo a cui appartiene e la deviazione standard di quel gruppo; questa calcolatrice del punteggio z sottrae la media, divide per la deviazione standard e riporta il punteggio z insieme alla distanza semplice dalla media. Dice anche in quale fascia cade il punteggio, da ordinario a poco comune fino a possibile valore anomalo.
Le quattro fasce e che cosa significa un punteggio z di quella grandezza
| Intervallo di |z| | Come leggerlo |
|---|---|
| |z| ≤ 1 | Comune. Circa il 68% dei valori di una distribuzione normale cade così vicino alla media. |
| 1 < |z| ≤ 2 | Ancora ordinario — circa il 95% di una distribuzione normale sta entro due deviazioni standard, quindi la maggior parte dei valori che non sono vicini al centro si trova qui. |
| 2 < |z| ≤ 3 | Poco comune: circa il 5% di una distribuzione normale arriva fin lì, e solo lo 0,3% circa va più in là. Vale la pena dare un'occhiata alla misura stessa. |
| |z| > 3 | Raro in una distribuzione normale, il che ne fa un possibile valore anomalo — controlla la misura prima di crederci. Vedi l'avvertenza sui campioni piccoli nelle note qui sotto. |
Le fasce sono la regola empirica — la regola 68-95-99,7 — riscritta come intervalli del punteggio z invece che come aree sotto una curva. Due avvertenze prima di usarle. Le percentuali sono proprietà di una distribuzione normale: un punteggio z è definito per qualunque dato, qualunque sia la sua forma, ma le quote qui sopra descrivono soltanto una distribuzione normale, quindi un insieme di dati con la coda lunga produrrà punteggi z grandi per valori che non hanno nulla di insolito. E i confini sono chiusi sul lato superiore — un valore esattamente a tre deviazioni standard dalla media conta come interno alla terza fascia, perché la regola riguarda i valori oltre tre. La calcolatrice usa gli stessi confini, quindi il badge sul risultato e questa tabella non possono contraddirsi.
Formula
z = (x − μ) ÷ σ
- x
- Il valore da collocare — la misura, il voto, la lettura che vuoi posizionare sulla scala
- μ
- La media del gruppo a cui il valore appartiene. È la sottrazione a trasformare un valore assoluto in una distanza dal centro
- σ
- La deviazione standard di quello stesso gruppo. È la divisione per essa a rendere la risposta confrontabile fra scale diverse: un punteggio z di 1,5 significa la stessa cosa sia che i dati fossero in punti sia in millimetri. Deve essere maggiore di zero
- x − μ
- La distanza dalla media, stampata da sola come valore assoluto perché lo scarto si possa leggere nelle unità originali prima di essere riscalato
- z
- Il punteggio z: negativo quando il valore sta sotto la media, positivo quando sta sopra. Il segno porta la direzione, l'ampiezza porta quanto è insolito il valore
Usalo per confrontare valori che vengono da scale diverse, che è tutta la ragione per cui questa misura esiste: un voto di 85 in una classe la cui media è 75 non è lo stesso risultato di un 85 in una classe che ha media 90, e i punteggi z lo dicono direttamente. È anche il modo standard di collocare una singola lettura rispetto a una popolazione di riferimento, e il primo passaggio di quasi tutte le regole sui valori anomali. Se hai i dati grezzi invece di una media e di una deviazione standard, prendili prima dalla pagina della deviazione standard e poi torna qui — questa pagina non te li stima. Tieni presente che cosa significano le etichette delle fasce: le percentuali che stanno dietro vengono dalla regola empirica, la regola 68-95-99,7, e quella regola descrive una distribuzione normale. Qualunque valore può avere un punteggio z; solo una distribuzione normale ha il 68% dei suoi valori entro una deviazione standard.
Esempi svolti
Un voto a una deviazione standard sopra la media della classe
- Distanza dalla media: 85 − 75 = 10 punti
- Dividi per la deviazione standard: 10 ÷ 10 = 1
- Il punteggio z è 1, positivo perché 85 sta sopra 75
Un punteggio z esattamente di 1 cade nella prima fascia, non nella seconda: la regola empirica è un'affermazione sulla quota di valori che cadono entro una deviazione standard, quindi il confine conta come interno, e il 68% è il numero che gli è associato. I dieci punti di distanza e il punteggio z di 1 sono lo stesso fatto, uno nelle unità dell'esame e uno in unità di dispersione — è esattamente questo che ti compra la divisione.
Esattamente tre deviazioni standard di distanza
- Distanza: 105 − 75 = 30
- Dividi: 30 ÷ 10 = 3
- La fascia è quella che termina a 3, perché la regola riguarda i valori oltre tre deviazioni standard
Questo è il confine che conta di più, ed è quello su cui si sbaglia più spesso. Stare esattamente a tre deviazioni standard dalla media non è la stessa cosa che stare oltre tre, e la cifra dello 0,3% appartiene al caso oltre. In pratica è una distinzione pedante — le misure reali ci cadono sopra di rado — ma è la differenza fra le fasce, e la tabella qui sotto spiega dove sta ciascun confine.
Sotto la media, dove il segno cambia
- Distanza: 65 − 75 = −10, quindi il valore sta dieci punti sotto la media
- Dividi: −10 ÷ 10 = −1
- Il punteggio z è negativo; la sua ampiezza è la stessa del primo esempio, perché il valore dista dalla media la stessa quantità
Il segno è la direzione e l'ampiezza è l'ampiezza. Un valore dieci punti sotto la media e uno dieci punti sopra hanno punteggi z di −1 e +1, che sono ugualmente insoliti — è per questo che la fascia si sceglie dal valore assoluto di z, e perché il pannello riporta la distanza come numero positivo. Leggili insieme: il segno dice da che parte, la distanza dice quanto lontano.
Limiti
Un punteggio z vale quanto valgono la media e la deviazione standard che gli dai: questa pagina le prende entrambe come date e non ha modo di verificarle, quindi una media digitata dalla colonna sbagliata rende sbagliate tutte le risposte senza alcun segno di cedimento. Le percentuali dietro le fasce descrivono una distribuzione normale, e i dati reali spesso non lo sono — se i dati sono asimmetrici, un punteggio z grande può semplicemente significare che la distribuzione ha una coda lunga, non che il valore sia un valore anomalo. C'è poi una trappola dei campioni piccoli che vale la pena conoscere: la sezione Detection of Outliers del NIST fa notare che il punteggio z più grande possibile in un campione di n valori è al massimo (n − 1) ÷ √n, quindi con meno di una decina di valori un punteggio z non può arrivare a 3, e una regola pratica fissata a tre deviazioni standard non scatterà mai. Infine la deviazione standard deve essere maggiore di zero: un gruppo in cui tutti i valori sono identici non ha dispersione con cui misurarsi, e la pagina segnala un errore invece di dare una risposta.
Domande frequenti
- Qual è la formula del punteggio z?
- z = (x − μ) ÷ σ: sottrai la media dal valore, poi dividi per la deviazione standard. Un voto di 85 contro una media di 75 con una deviazione standard di 10 dà (85 − 75) ÷ 10 = 1. La sottrazione porta il valore su una scala centrata sullo zero, e la divisione lo riscala in unità di dispersione, che è ciò che rende confrontabili due scale diverse.
- Quante deviazioni standard dista il mio valore dalla media?
- È esattamente quello che riporta il punteggio z: la sua ampiezza è il numero di deviazioni standard, e il suo segno dice da che parte della media sta il valore. Un punteggio z di 2,5 significa due deviazioni standard e mezza sopra la media; −0,4 significa quattro decimi di deviazione standard sotto. Il pannello stampa anche la distanza grezza, così puoi leggere lo scarto nelle unità originali accanto a quello riscalato.
- Che cosa si considera un punteggio z alto?
- In una distribuzione normale circa il 68% dei valori cade entro una deviazione standard, il 95% entro due e il 99,7% entro tre — la regola empirica. Questo rende un punteggio z oltre 2 poco comune e uno oltre 3 raro, ed è per questo che tre deviazioni standard è la linea abituale per un possibile valore anomalo. Tratta quei numeri come una lettura, non come un verdetto: descrivono una distribuzione normale, e una asimmetrica può produrre punteggi z grandi per valori del tutto ordinari.
- Un punteggio z è la stessa cosa di un percentile?
- No, anche se sono legati. Un punteggio z è una distanza in unità di deviazione standard; un percentile è una posizione nella lista ordinata dei valori. Convertire l'uno nell'altro richiede la forma della distribuzione — in una distribuzione normale un punteggio z di 1,645 sta al 95º percentile, ma quella corrispondenza vale solo per una normale. Il punteggio z non ha bisogno di nessuna assunzione propria, ed è per questo che qui viene riportato e il percentile no.
- E se la deviazione standard è zero?
- Allora non c'è nulla per cui dividere, e la pagina segnala un errore invece di un numero. Una deviazione standard di zero significa che tutti i valori del gruppo sono identici, quindi nessun valore sta a distanza dalla media e la domanda non ha risposta. Infiniti ed errori stampati come risultato sarebbero peggio del dirlo apertamente: una divisione per zero qui non produce alcuna lettura sensata, e la pagina preferisce dirtelo.
- Posso usarla per qualunque insieme di dati, normale o no?
- Il punteggio z in sé sì: sottrai la media e dividi per la deviazione standard e hai una misura valida di posizione relativa qualunque sia la forma dei dati. Sono le etichette delle fasce la parte che richiede attenzione. Le percentuali 68-95-99,7 sono proprietà di una distribuzione normale, e un insieme di dati con una coda lunga distribuirà punteggi z ben oltre 3 a valori che per quella distribuzione non sono affatto insoliti. Usa le fasce come uno spunto per guardare il valore, non come un verdetto su di esso.
Riferimenti
- The Standard Normal Distribution — Introductory Statistics 2e, section 6.1 (the z-score as the number of standard deviations from the mean, and the Empirical Rule: about 68%, 95% and 99.7% within one, two and three standard deviations) — OpenStax, Rice University
- Detection of Outliers — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.17 — National Institute of Standards and Technology (NIST)