Calcolatrice del valore atteso

E[X] = Σ pᵢ xᵢ Var(X) = Σ pᵢ (xᵢ − E[X])² σ = √Var(X)

xᵢ

Un esito — il valore dell'i-esimo risultato dell'elenco. Può essere negativo e può essere decimale; l'elenco è una serie di numeri separati da punti e virgola, virgole o spazi, fino a 200

pᵢ

La probabilità di quell'esito, inserita come percentuale da 0 a 100. I due elenchi vengono letti affiancati, quindi la terza probabilità appartiene al terzo esito, e devono avere la stessa lunghezza

E[X]

Il valore atteso: ogni esito moltiplicato per la propria probabilità e i prodotti sommati. È la media ponderata che il pannello riporta per prima, e l'unico numero della pagina rispetto al quale gli altri si misurano

Var(X)

La varianza: per ogni esito, la distanza dal valore atteso elevata al quadrato e ponderata con la probabilità di quell'esito. È l'elevamento al quadrato che permette a un singolo esito molto lontano di dominarla

σ

La deviazione standard, la radice quadrata della varianza. Torna nelle stesse unità degli esiti stessi, ed è questo che la rende quella da leggere quando vuoi sapere quanto è larga la dispersione

Σ

Somma su ogni esito dell'elenco. Niente viene pesato due volte e niente viene tralasciato: è il fatto che le probabilità sommino a 100% a rendere l'elenco una descrizione completa delle possibilità

Usala ogni volta che gli esiti sono pochi abbastanza da elencarli e ciascuno ha una probabilità che sai dire: un gioco con una tabella di vincite, una garanzia che costa una cifra fissa e paga su una frazione nota di pezzi, una decisione con tre scenari. Ricorri invece alla media aritmetica quando i numeri sono osservazioni e non possibilità: un elenco di misure vuole una media, non un valore atteso, e dividere per il numero dei valori presuppone che ogni valore sia ugualmente probabile; quell'ipotesi è esattamente ciò che questa pagina sostituisce con probabilità esplicite. Ricorri invece a una distribuzione quando gli esiti seguono uno schema descrivibile con una formula: un numero di successi su un numero fisso di prove ha una sua media, e un conteggio di Poisson ha una media uguale alla sua varianza, quindi non serve scrivere ogni conteggio e la sua probabilità. Il lungo periodo è la cornice in cui tutti questi numeri hanno senso: un valore atteso è ciò a cui converge la media su molte ripetizioni, non una previsione della prossima.

1. Cinque esiti con probabilità diverse

   1. Moltiplica ogni esito per la sua probabilità come frazione: 5 × 0,10 = 0,5, 10 × 0,20 = 2, 20 × 0,30 = 6, 40 × 0,25 = 10, 100 × 0,15 = 15
   2. Somma i cinque prodotti: 0,5 + 2 + 6 + 10 + 15 = 33,5 — questo è il valore atteso
   3. Per la varianza, sottrai 33,5 da ogni esito, eleva al quadrato e pondera: 0,10 × 812,25 + 0,20 × 552,25 + 0,30 × 182,25 + 0,25 × 42,25 + 0,15 × 4422,25 = 920,25
   4. La radice quadrata di 920,25 è 30,3356, la deviazione standard

   Le probabilità si inseriscono come percentuali, ed è la cosa più facile da sbagliare qui: leggere il 10 come frazione invece che come dieci per cento dà 3,35 invece di 33,5, e non c'è niente nella risposta sbagliata che sembri sbagliato. Vale la pena guardare una seconda volta anche la dispersione: una deviazione standard di 30,34 contro un valore atteso di 33,5 significa che l'esito 100, improbabile com'è al 15%, sta facendo quasi tutto il lavoro, e la varianza di 920,25 dice la stessa cosa in unità al quadrato.

2. Un dado equo, dove la risposta non si può ottenere

   1. Sei esiti, ciascuno con probabilità 16,67% — l'ultimo porta 16,65% perché i sei sommino esattamente a 100
   2. Ogni prodotto va da 1 × 0,1667 a 6 × 0,1667, e sommati danno 3,4995
   3. La varianza è la distanza quadratica media da 3,4995, che vale 2,916
   4. La radice quadrata di 2,916 è 1,7076

   È l'esempio da tenere a mente quando un valore atteso sembra impossibile: 3,5 è la risposta corretta per un dado a sei facce e nessuna faccia lo mostra. Un valore atteso è una proprietà dell'intera distribuzione, non la previsione di un singolo lancio. È anche il caso più pulito in cui la deviazione standard si guadagna lo stipendio: 1,7076 è misurata in punti del dado, le stesse unità degli esiti, quindi «il lancio cade in media a circa 1,7 da 3,5» è una frase su cui si può agire, mentre la varianza di 2,916 è in punti al quadrato.

3. Un indennizzo assicurativo, e un valore atteso negativo

   1. Due esiti: non succede niente, oppure succede e costa 5000 — scritto come −5000
   2. Ponderali: 0 × 0,97 + (−5000) × 0,03 = −150
   3. La varianza è 0,97 × (0 + 150)² + 0,03 × (−5000 + 150)² = 727.500
   4. La sua radice quadrata è 852,9361

   Un valore atteso negativo non è un errore e non è una ragione per evitare il calcolo: è la risposta a una domanda reale, e la più comune che la gente porta qui. Se questo evento ha il 3% di probabilità di costare 5000, allora in media ogni periodo costa 150, e un premio sopra 150 è il prezzo per non portarsi il rischio addosso. Nota quanto poco dica da sola la deviazione standard di 852,94: è dominata dallo stesso ramo raro del 3%, quindi per lo più ripete che la perdita è grande e insolita, più che dire che gli esiti sono sparsi in modo interessante.

4. Perché la media ponderata non è la media semplice

   1. I quattro esiti sommano a 160, quindi la loro media semplice è 40
   2. Ponderati invece: 10 × 0,40 + 20 × 0,30 + 30 × 0,20 + 100 × 0,10 = 4 + 6 + 6 + 10 = 26
   3. La varianza è 0,40 × 256 + 0,30 × 36 + 0,20 × 16 + 0,10 × 5476 = 664
   4. La sua radice quadrata è 25,7682

   I due numeri differiscono di più di un terzo, e la ragione sta interamente nelle probabilità: l'esito grande di 100 porta solo il 10% del peso, mentre i due esiti piccoli di 10 e 20 ne portano il 70% fra loro. Ogni volta che qualcuno cita una media senza dire se è ponderata, questo è il divario che si nasconde dietro quella parola. È anche il motivo per cui una probabilità di 0 è una voce significativa e non una casella vuota: quell'esito occupa comunque il suo posto nell'elenco e non contribuisce a nulla, che è la differenza fra «impossibile» e «non considerato».

Tre cose di questa pagina si leggono male facilmente, e tutte e tre riguardano gli input più che l'aritmetica. Le probabilità devono sommare a 100%, e la pagina si rifiuta di sistemartelo: riscalare in silenzio una ripartizione 40/50 in 44,4/55,6 produrrebbe un numero dall'aspetto perfettamente normale che risponde a una domanda che non hai fatto. La tolleranza è di mezzo ultimo decimale per voce, ed è per questo che tre quote uguali scritte 33,33 ciascuna vengono accettate a 99,99 mentre una coppia 40/50 no. I due elenchi devono avere la stessa lunghezza, perché le voci vengono lette affiancate: una probabilità mancante non è uno zero, è un disallineamento, e la pagina lo dice invece di accoppiare in silenzio i numeri sbagliati. Oltre agli input, l'interpretazione ha dei limiti. Un valore atteso descrive una lunga serie di ripetizioni, quindi non dice niente di utile su una singola istanza, e può essere dominato da un esito estremo raro in un modo che il numero singolo non rivela: per quello leggi la deviazione standard o la varianza accanto. Presuppone anche che le probabilità che inserisci siano quelle vere: qui è tutta aritmetica sui numeri che fornisci, e un valore atteso preciso costruito su una probabilità indovinata è una risposta precisa a un'altra domanda. Infine, in questa pagina non c'è alcuna tabella dei valori attesi comuni, perché una tabella così non può vedere gli esiti e le probabilità che hai inserito, e una tabella che contraddicesse il pannello sopra di essa sarebbe peggio di nessuna tabella.

Che cosa mi dice davvero un valore atteso?

Ti dice l'esito medio che vedresti se ripetessi la stessa situazione molte volte e facessi la media dei risultati, ponderando ogni esito per quanto spesso compare. Per un gioco con una tabella di vincite è il prezzo di pareggio: un valore atteso di −150 per partita significa che un prezzo giusto per giocare è 150, e un prezzo sotto quella cifra è a tuo favore. Quello che non ti dice è cosa succede dopo. Una partita produce un esito dell'elenco, mai la media stessa, quindi un valore atteso positivo è del tutto compatibile con il perdere ogni volta che giochi qualche manciata di partite.

Il valore atteso può essere un numero che non può mai uscire?

Sì, e di solito lo è. Ognuna delle sei facce di un dado equo ha probabilità 16,67% e il valore atteso è 3,5, una faccia che il dado non ha. Il motivo è che il valore atteso è una media ponderata dell'intero elenco, non un suo membro: è il punto di equilibrio della distribuzione, e un punto di equilibrio può stare nello spazio vuoto fra i pesi. La stessa cosa succede con una lotteria, dove il valore atteso è un piccolo numero negativo che nessun biglietto può produrre.

Perché le probabilità devono sommare a 100%?

Perché due elenchi che descrivono lo stesso insieme di possibilità devono rendere conto di tutte. Se le tue probabilità sommano a 90%, o manca un esito dall'elenco o una delle probabilità è sbagliata, e la pagina non ha modo di distinguere quale dei due: quindi riporta la somma invece di indovinare. Non riscala deliberatamente i tuoi numeri a 100%: dividere 40 e 50 per la loro somma li trasformerebbe in 44,4 e 55,6 e produrrebbe la risposta a una domanda che non hai fatto, senza niente sul pannello che lo mostri. La tolleranza è di mezzo ultimo decimale per voce, quindi tre quote uguali scritte come 33,33 sommano a 99,99 e vengono accettate.

In che cosa è diverso dalla media aritmetica?

La media aritmetica divide per il numero dei valori, che equivale a presupporre che ogni valore sia ugualmente probabile. Il valore atteso sostituisce quell'ipotesi con probabilità che scegli tu, quindi un valore con il 10% di probabilità sposta il risultato dieci volte meno di un valore con il 100%. Le due coincidono solo quando le probabilità sono tutte uguali — quattro esiti al 25% ciascuno danno lo stesso numero in entrambi i modi. Quando non coincidono, la differenza sta interamente nei pesi, ed è per questo che vale la pena chiedere chiarimenti su una media citata senza dire se è ponderata.

Che cosa significa un valore atteso negativo?

Significa che gli esiti dalla parte della perdita sono abbastanza grandi o abbastanza probabili da superare gli altri, quindi ripetere la decisione porta in media a una perdita. Non è come dire che perderai: il 3% di probabilità di perdere 5000 contro il 97% di probabilità di nulla ha un valore atteso di −150, e nella maggior parte dei periodi non costa niente. Quello che il numero negativo dice è quanto costa il rischio in media, ed è il numero da confrontare con un premio, un prezzo o un preventivo assicurativo. È il campo in cui questo calcolo è più spesso utile, e lì una risposta negativa è un risultato e non un fallimento.

Perché non c'è una tabella dei valori attesi in questa pagina?

Perché la risposta dipende interamente dai due elenchi che scrivi, e una tabella di riferimento non può vederli. La tabella che la gente vorrebbe è una lista breve di casi familiari — un dado, un biglietto della lotteria, una puntata alla roulette — ma ognuno di quelli ha i propri esiti e le proprie probabilità, quindi una riga stampata risponderebbe a una domanda diversa da quella sul pannello, e le due a volte si contraddirebbero in pubblico. Il pannello è la tabella: cambia gli esiti e le probabilità e le stesse tre righe si ricalcolano. Le pagine che traggono davvero beneficio da una tabella fissa sono quelle la cui tabella non dipende dagli input, come una scala di voti o un insieme di soglie.

• Measures of the Center of the Data — Introductory Statistics 2e, section 2.5 (the mean as the balance point of a list of values, and how a single extreme value moves it — the reason an expected value can sit far from every outcome on the list) — OpenStax, Rice University
• Measures of the Spread of the Data — OpenStax, Introductory Statistics 2e, section 2.7 (states that the variance is the average of the squares of the deviations, which is the quantity this page weights by the probabilities instead of counting equally) — OpenStax, Rice University
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (what it means for an outcome to have a distribution, and how probabilities are read off the outcomes it assigns them to) — National Institute of Standards and Technology (NIST)