Calcolatrice delle permutazioni

P(n, r) = n! / (n − r)! = nPr C(n, r) = n! / (r! (n − r)!) P(n, r) = C(n, r) · r!

n

La dimensione dell'insieme da cui peschi — il numero di elementi distinti disponibili, fino a 1000. Il tetto è un limite sull'aritmetica più che sull'idea: i conteggi crescono con n, e oltre un certo punto il valore esatto non sta più nel range di interi che questa pagina sa rappresentare esattamente

r

Quanti elementi prendi. Non deve superare n finché le ripetizioni sono vietate, dato che non si possono prendere più elementi distinti di quanti ne esistano; quando le ripetizioni sono ammesse r può essere maggiore ed è limitato solo da quanto grande è la potenza che la pagina riesce ancora a calcolare esattamente

n!

Il fattoriale di n: n moltiplicato per tutti i numeri interi sotto di esso fino a 1. È il conteggio del prendere tutto in ordine, ed è il termine che la divisione per (n − r)! toglie

P(n, r)

Il numero di disposizioni: n scelte per la prima posizione, n − 1 per la seconda, e così via per r posizioni. Il prodotto n × (n − 1) × … × (n − r + 1) è quello che la formula scrive come n! / (n − r)!

C(n, r)

Il conteggio con l'ordine ignorato, riportato come seconda riga. Divide il numero di disposizioni per r!, il numero di modi in cui un insieme scelto si può ordinare — che è tutta la differenza fra le due righe

ripetizione

In quale delle due impostazioni si trova la pagina. Quando le ripetizioni sono ammesse il conteggio diventa n elevato a r, perché ognuna delle r scelte ha di nuovo l'intero insieme a disposizione; la riga con l'ordine ignorato passa invece al conteggio dei multinsiemi

Usala quando le posizioni sono distinguibili: i posti sul podio di una gara, l'ordine delle prime tre carte distribuite, una password, una targa o uno schema di posti a sedere, qualsiasi elenco in cui scambiare due voci produca un esito diverso. Usa la riga delle combinazioni — o l'altra pagina di questa coppia — quando l'esito è un insieme, perché allora due disposizioni degli stessi r elementi sono la stessa risposta e dividere per r! è esattamente la correzione. Attiva la ripetizione quando un elemento può essere ripreso dopo essere stato preso: un PIN di quattro cifre ha 10⁴ possibilità perché ogni cifra viene pescata dall'intero insieme delle dieci, mentre un'estrazione al lotto di palline distinte avviene senza reimmissione. E leggi la seconda riga anche se sei arrivato per la prima: i due conteggi insieme sono la dichiarazione più chiara del perché l'ordine conti, dato che differiscono per un solo fattore.

1. Dieci elementi, tre posti, ordine contato

   1. Dieci scelte per il primo posto, nove rimaste per il secondo, otto per il terzo
   2. Moltiplica: 10 × 9 × 8 = 720 disposizioni
   3. Ignorare l'ordine divide per 3! = 6, dando 120 insiemi
   4. 720 / 120 = 6, che è esattamente 3!

   Le due righe sono lo scopo di questa pagina in una riga sola: gli stessi dieci elementi e gli stessi tre posti danno 720 se l'ordine conta e 120 se non conta, e il rapporto fra loro è 3! — il numero di modi di riordinare tre elementi scelti. Ogni volta che una permutazione e una combinazione sembrano incoerenti, dividere una per l'altra è il controllo: se il rapporto non è un fattoriale, il problema è nell'impostazione e non nell'aritmetica.

2. Un podio fra otto corridori

   1. Otto possibili vincitori, sette possibili secondi, sei possibili terzi
   2. 8 × 7 × 6 = 336 modi di riempire il podio
   3. Ignorando l'ordine, gli stessi tre corridori formano un solo insieme comunque siano disposti: 336 / 6 = 56
   4. Facendo la moltiplicazione al contrario — 8!/(8−3)! = 40320/120 — si ottiene lo stesso 336

   Questa è la forma quotidiana della distinzione: il risultato di una gara è una permutazione perché l'argento non è l'oro, mentre un gruppo di qualificati è una combinazione perché i tre che passano sono gli stessi tre chiunque sia andato più veloce. Nota come la stessa coppia di numeri comparirebbe sulla pagina delle combinazioni con le due righe scambiate: è la coppia che funziona come deve, non una duplicazione.

3. Distribuire cinque carte in ordine

   1. Cinquantadue scelte per la prima carta, cinquantuno per la seconda, e così via fino a quarantotto per la quinta
   2. 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311.875.200 distribuzioni ordinate
   3. Una mano di cinque carte ignora l'ordine, quindi dividi per 5! = 120
   4. 311.875.200 / 120 = 2.598.960 — il numero familiare di mani di poker da cinque carte

   2.598.960 è il numero citato in ogni probabilità del poker, il che rende questo l'esempio in cui chi legge può controllare la pagina contro qualcosa che ha già visto altrove. È anche il caso più limpido di un fattore di ordinamento enorme: distribuire le stesse cinque carte in una sequenza diversa è una distribuzione ordinata diversa ma la stessa mano, e il fattore fra i due conteggi è 120 invece di 6. Qui entrambi i conteggi sono esatti, senza alcun arrotondamento.

4. Codici di tre cifre in cui le cifre possono ripetersi

   1. Con le ripetizioni ammesse, ognuna delle tre posizioni si sceglie fra tutte e dieci le cifre in modo indipendente
   2. 10 × 10 × 10 = 1000 codici
   3. La riga con l'ordine ignorato non è più 1000 / 6, perché le disposizioni di un codice come 777 non sono tutte distinte
   4. Diventa il conteggio dei multinsiemi: C(10 + 3 − 1, 3) = C(12, 3) = 220

   Il numero interessante qui è la seconda riga. Con elementi distinti il conteggio a ordine ignorato è semplicemente il numero di disposizioni diviso per r!, ma quando le ripetizioni sono ammesse quella divisione corregge troppo — 777 ha una sola disposizione distinta, non sei — quindi la pagina passa a una formula diversa invece di dividere. 220 è il conteggio dei multinsiemi di tre cifre su dieci, ed è il motivo per cui l'interruttore della ripetizione cambia entrambe le righe e non solo la prima.

Due confini vengono fatti rispettare invece che spiegati via, e vale la pena conoscerli prima che i numeri sorprendano. Finché le ripetizioni sono vietate, r non può superare n: prendere quattro elementi da un insieme di tre distinti non è un esito improbabile ma una richiesta impossibile, e la pagina lo dice invece di restituire zero. La dimensione dell'insieme è limitata a 1000. Il secondo limite è quello che morde davvero nella pratica: il numero di disposizioni è un prodotto che cresce estremamente in fretta, e questa pagina riporta numeri interi esatti invece di un'approssimazione in notazione scientifica. Oltre il punto in cui il valore vero smette di essere rappresentabile esattamente, preferisce non rispondere invece di stampare un intero con le ultime cifre sbagliate — un numero sbagliato dall'aria plausibile è qui molto peggio di un rifiuto chiaro, perché verrebbe copiato in qualunque cosa ne dipenda. C'è anche un limite aritmetico più stretto sul ramo della ripetizione, dove il conteggio è una potenza e gli esponenti molto grandi traboccano allo stesso modo. Altri due punti sul significato. Nessuna delle due righe è una probabilità: sono entrambe conteggi di disposizioni ugualmente probabili, e trasformare un conteggio in una probabilità significa dividerlo per il numero totale di possibilità, che dipende dal processo e non dalla coppia di numeri di questa pagina. E non c'è alcuna tabella di fattoriali, coefficienti binomiali o triangolo di Pascal, per la ragione che dà la quinta domanda qui sotto.

Che differenza c'è fra una permutazione e una combinazione?

Una permutazione conta le disposizioni e una combinazione conta gli insiemi: scambia due degli elementi scelti e la permutazione ha prodotto un esito diverso mentre la combinazione no. La pagina riporta entrambe, così la relazione si vede invece di doverla credere sulla parola — il conteggio delle disposizioni è sempre il maggiore dei due, e dividerlo per il fattoriale di r dà l'altra riga. In pratica la domanda da farsi è se le posizioni portino significato. Se il terzo posto è diverso dal secondo, come nel risultato di una gara o in una carta distribuita in sequenza, ti serve il conteggio delle disposizioni; se i tre elementi scelti sono intercambiabili, ti serve il conteggio degli insiemi.

Perché le due righe differiscono esattamente per r fattoriale?

Perché ogni insieme di r elementi scelti si può disporre in r! sequenze diverse, e il conteggio delle disposizioni tratta ognuna di quelle sequenze come un esito separato. Con r = 3, tre elementi qualsiasi si possono ordinare in sei modi, quindi un insieme corrisponde a sei disposizioni e il conteggio delle disposizioni è sei volte quello degli insiemi. È anche il modo più rapido di controllare a naso un calcolo: dividi le due righe e il risultato deve essere un fattoriale. Se non lo è, il disallineamento è nell'impostazione e non nell'aritmetica — il più delle volte una dimensione dell'insieme o un'impostazione della ripetizione che non corrisponde alla situazione descritta.

Quando contare due volte lo stesso elemento come esito diverso?

Esattamente quando la situazione permette di prenderlo due volte: è l'interruttore che l'impostazione della ripetizione governa, e cambia entrambe le righe e non solo la prima. Un PIN di quattro cifre pesca ogni cifra di nuovo da tutte e dieci, quindi 0000 e ogni altra ripetizione sono esiti ordinari e il conteggio è 10⁴; un'estrazione al lotto toglie le palline dall'urna, quindi nessun numero può comparire due volte e il conteggio è un prodotto decrescente. Con le ripetizioni ammesse il conteggio degli insiemi non è più il numero di disposizioni diviso per r!, perché una scelta come 777 ha una sola disposizione distinta invece di sei, e la pagina usa per quella riga il conteggio dei multinsiemi.

Perché la pagina si rifiuta di prendere più elementi di quanti ne contenga l'insieme?

Finché le ripetizioni sono vietate, un r maggiore di n descrive una procedura che non si può eseguire: il quarto elemento distinto non esiste quando ne sono disponibili solo tre. La pagina segnala il problema invece di restituire zero, perché zero è un conteggio legittimo in altre situazioni e verrebbe letto come una risposta. Attiva la ripetizione e la stessa richiesta diventa del tutto ordinaria — tre elementi presi cinque alla volta con le ripetizioni ammesse sono 3⁵ = 243 disposizioni — ed è per questo che il limite sta sulla combinazione delle due impostazioni e non su r da solo.

Perché non c'è un triangolo di Pascal o una tabella di fattoriali su questa coppia di pagine?

Perché una tabella qui non potrebbe vedere i due numeri che hai inserito, e la tabella che si desidera — fattoriali, coefficienti binomiali, le righe del triangolo di Pascal — è un elenco per valori piccoli fissi. Mettine una sulla pagina e risponderebbe a una domanda diversa da quella del pannello sopra di essa, a volte contraddicendo visibilmente la riga che stai guardando, il che è peggio di nessuna tabella. Il pannello è la tabella: cambia n, r o l'impostazione della ripetizione e entrambe le righe si ricalcolano. Questa coppia di pagine arriva allo stesso verdetto degli altri strumenti di conteggio, invece di una pagina che offre una tabella e l'altra no, dato che le due sono due direzioni della stessa domanda.

Perché la risposta smette di funzionare per insiemi grandi?

Perché il numero di disposizioni è un prodotto di lunghe sequenze di numeri interi, e supera il più grande intero che questa pagina sa rappresentare esattamente molto prima di quanto ci si aspetti — il fattoriale di 19 è già oltre, anche se le sue 18 cifre non sembrano allarmanti. Oltre quel punto la pagina preferisce non rispondere invece di stampare un numero con le ultime cifre sbagliate, e le cifre sono tutto il valore di un conteggio esatto: un intero sbagliato sembra del tutto ordinario e verrebbe copiato nel calcolo che ne dipende. Il tetto di 1000 sull'insieme è una guardia separata e più larga sullo stesso problema: ferma l'input a una dimensione in cui vale ancora la pena tentare l'aritmetica.

• Permutation — from Wolfram MathWorld (a rearrangement of the elements of an ordered list, and the count of them for a set of a given size) — Wolfram MathWorld
• Combination — from Wolfram MathWorld (the number of ways of picking unordered outcomes from a set, also called the binomial coefficient and read "n choose k") — Wolfram MathWorld
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the frequency reading of probability, which is how a count of equally likely arrangements becomes a chance) — National Institute of Standards and Technology (NIST)