La successione comincia da F(0) o da F(1)?

Questa pagina comincia da F(1), quindi F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2 e il decimo termine è 55. L'altra convenzione largamente diffusa pone F(0) = 0 e F(1) = 1, il che sposta ogni indice di uno: con quella il quinto termine è 5, mentre qui è 8. Entrambe si usano nei libri e nei programmi, e nessuna delle due è un errore. Ma se confronti questa pagina con un'altra fonte e i valori risultano allineati con una posizione di scarto, la ragione è questa: è il modo più frequente in cui una risposta su Fibonacci va storta.

Perché il rapporto continua a cambiare invece di assestarsi subito?

Perché è un limite e non un'identità. Ogni termine è la somma dei due precedenti, quindi il rapporto fra termini consecutivi si muove con una regola sua, e il movimento alterna sopra e sotto il bersaglio con ogni oscillazione grande circa la metà della precedente. La tabella di questa pagina lo mostra: 2, 1,5, 2, 1,667, 1,6, 1,625, poi sempre più stretto verso 1,615 e 1,619. Dieci termini sono vicini, venti bastano per gli otto decimali che la pagina stampa, e nessun numero finito di termini è esattamente la sezione aurea: solo sempre più vicino.

Che cos'è la sezione aurea, e perché questa successione la produce?

La sezione aurea è 1,6180339887…, la soluzione positiva di x² = x + 1. Quell'equazione è la ricorrenza di Fibonacci scritta in un altro modo — se i rapporti si assestano su un numero, quel numero deve soddisfarla — ed è per questo che la successione finisce lì e che la convergenza non è una coincidenza né una curiosità. La sezione aurea è anche il numero più difficile da approssimare con le frazioni, perché la sua frazione continua è fatta tutta di 1, ed è la proprietà che le piante sfruttano quando distanziano foglie e semi secondo quel numero.

Perché posso chiedere solo 78 termini?

Perché F(79) è più grande del più grande numero intero che un valore in doppia precisione può contenere esattamente, cioè 9.007.199.254.740.991. F(78) vale 8.944.394.323.791.464 ed è esatto; F(79) è 14.472.334.024.676.221 e verrebbe memorizzato come qualcosa di vicino ma non uguale. La pagina rifiuta la richiesta invece di stampare un'approssimazione, perché un termine stampato con sedici cifre è indistinguibile da uno corretto: dall'uscita non c'è modo di vedere l'errore. Il limite sul numero di termini è un fatto di virgola mobile, non di matematica; la successione in sé va avanti per sempre.

Dove entra in gioco il problema dei conigli?

Fibonacci introdusse la successione con un indovinello: parti con una coppia di conigli, lascia che ogni coppia impieghi un mese a maturare e poi produca una nuova coppia ogni mese, e conta le coppie all'inizio di ogni mese. I conteggi vengono 1, 1, 2, 3, 5, 8 e così via, perché tutte le coppie mature del mese scorso esistono ancora e le coppie nuove di questo mese nascono da quelle che erano mature un mese fa: è la ricorrenza, arrivata da una direzione completamente diversa. Vale la pena conoscerlo perché mostra che la successione non è definita da una singola applicazione.

Posso calcolare l'ennesimo termine senza elencare tutti quelli precedenti?

In linea di principio sì, e l'uscita dell'ennesimo termine di questa pagina ti dà quel numero su una riga sua, ma è prodotta dallo stesso ciclo e non da una formula scorciatoia. La ragione è l'esattezza: esiste una forma chiusa, la formula di Binet, che dà direttamente l'ennesimo numero di Fibonacci a partire dalla sezione aurea, ma coinvolge numeri irrazionali elevati a potenza, e nell'aritmetica in virgola mobile si allontana dall'intero vero al crescere di n. Sommare numeri interi è esatto dove quella formula non lo è, quindi la pagina somma. Procedere in avanti da due valori iniziali è anche il motivo per cui 78 termini non costano niente: non c'è nessuna formula da risolvere, solo un'addizione ripetuta 76 volte.

Calcolatrice di Fibonacci

Risultato

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

Termini (da F(1) a F(n))

Termine n-esimo: 55
Stima del rapporto aureo: 1,61764706

La successione di Fibonacci comincia con due 1, e ogni termine successivo è la somma dei due che lo precedono: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 e via così. Questa pagina produce i primi n termini, il valore dell'ennesimo termine da solo e il rapporto fra l'ultimo termine e quello precedente. È quest'ultima uscita a rendere la pagina qualcosa di più di una tabella da consultare. I rapporti cominciano oscillando — 2, poi 1,5, poi 1,6667, poi 1,6 — e si assestano in fretta su un unico numero, 1,6180339887…, che è la sezione aurea. Al ventesimo termine il rapporto è già giusto entro un milionesimo. Nella definizione non c'è scritto da nessuna parte quel numero: esce dalla somma, e vederlo uscire è la parte interessante. Questa pagina conta da 1, quindi F(1) è 1, F(2) è 1, F(3) è 2 e F(10) è 55. Esiste una seconda convenzione d'uso comune che parte da F(0) = 0, e con quella F(5) vale 5 dove questa pagina dà 8. Sono entrambe corrette, ma una pagina deve scegliere, e mescolarle è il modo più frequente di sbagliare una risposta su Fibonacci. Il tetto di 78 termini non è un limite dell'idea ma dell'aritmetica: i termini superano quello che un numero in doppia precisione può contenere esattamente a F(79), quindi la pagina si ferma un termine prima del punto in cui le risposte comincerebbero a essere approssimate. La successione merita due parole anche perché è il raro esempio che arriva da due direzioni. Una è un indovinello sull'allevamento dei conigli: parti con una coppia, lascia che ogni coppia impieghi un mese a maturare e poi produca una nuova coppia ogni mese, e i conteggi mensili sono esattamente questi numeri. L'altra è la definizione qui sopra — somma gli ultimi due — e non è ovvio che le due cose coincidano, ed è per questo che la sequenza compare in posti che non hanno niente a che vedere l'uno con l'altro. Le spirali dei semi di girasole, le scaglie delle pigne e la disposizione delle foglie attorno a un fusto seguono tutte questi numeri, e la ragione è sempre la sezione aurea verso cui i rapporti convergono. Quello che la successione non è è una legge di natura o un principio di progettazione: è una ricorrenza che per caso approssima il numero più irrazionale che esista, e gli usi che la natura ne fa sono quelli in cui quell'approssimazione conviene.

I primi dieci termini, con il rapporto di ciascuno rispetto a quello precedente

n	Termine	Rapporto col termine precedente
1	1	—
2	1	1.00000000
3	2	2.00000000
4	3	1.50000000
5	5	1.66666667
6	8	1.60000000
7	13	1.62500000
8	21	1.61538462
9	34	1.61904762
10	55	1.61764706

Leggi la colonna di destra dall'alto verso il basso e stai guardando un numero che si decide. Comincia da 2 — il secondo termine è 1 e il primo è 1, ma 2 ÷ 1 fa 2 — poi scende a 1,5, risale a 2, ricade a 1,667, e da lì le oscillazioni si stringono in fretta: 1,6, 1,625, 1,615, 1,619, 1,617647. L'oscillazione è il punto. Il rapporto non si avvicina a 1,618 da un lato solo: va alternativamente sopra e sotto, con ogni oscillazione circa la metà della precedente, ed è per questo che alla decima riga il valore stampato è già corretto fino alla seconda cifra decimale. La sezione aurea vera comincia con 1,6180339887, quindi entro la decima riga l'errore residuo sta nella terza cifra. La prima riga ha un trattino al posto del rapporto perché non c'è nessun termine precedente per cui dividere: la stessa ragione per cui la pagina rifiuta una richiesta di un solo termine invece di stampare uno spazio vuoto. I numeri dentro la tabella sono calcolati dalla pagina: usano il punto al posto della virgola e non usano mai i separatori delle migliaia, mentre il testo che stai leggendo fa il contrario. Sono lo stesso numero scritto in due modi, non un errore.

Formula

F(1) = 1, F(2) = 1, F(n) = F(n − 1) + F(n − 2) ⇒ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 …; il rapporto fra termini consecutivi tende a φ = (1 + √5) / 2 = 1,6180339887…

F(1) = F(2) = 1: I due valori iniziali, e la scelta che la pagina rende esplicita. Contare da 1 significa che F(1) e F(2) valgono entrambi 1 e che F(10) è 55. L'altra convenzione diffusa pone F(0) = 0 e F(1) = 1, il che sposta ogni indice di una posizione, così che F(5) diventa 5 invece di 8. Nessuna delle due è sbagliata, ma non sono d'accordo su nessun singolo indice
F(n) = F(n − 1) + F(n − 2): La ricorrenza, che è tutta la definizione. Ogni termine è la somma dei due precedenti: 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8. Procedere in avanti da due valori iniziali è il motivo per cui la pagina produce mille termini con la stessa facilità di dieci: non c'è nessuna formula da risolvere, solo un'addizione ripetuta
n: Quanti termini vuoi, da 2 a 78. Il limite inferiore è 2 e non 1 perché l'uscita del rapporto ha bisogno di un termine e di quello precedente, quindi un termine solo non avrebbe per cosa dividere; la pagina lo rifiuta invece di stampare un rapporto vuoto. Il limite superiore è il punto in cui i termini smettono di essere esatti nell'aritmetica ordinaria in virgola mobile
F(78) = 8.944.394.323.791.464: L'ultimo termine che questa pagina raggiunge, e la ragione per cui si ferma lì. F(79) vale 14.472.334.024.676.221, che supera il più grande numero intero che una doppia precisione può contenere esattamente — 9.007.199.254.740.991 — quindi da quel punto in poi le cifre stampate sarebbero un'approssimazione invece della successione. La pagina rifiuta 79 invece di stampare un termine quasi giusto
F(n) / F(n − 1): L'uscita del rapporto. Non è la sezione aurea e la pagina non pretende che lo sia: 1,6667 è quello che si ottiene al quinto termine ed è lontanissimo da 1,618. Quello che è è una stima che migliora in fretta — il ventesimo termine è già esatto fino all'ottava cifra decimale, che è la precisione che la pagina stampa
φ = 1,6180339887…: La sezione aurea, il numero su cui questi rapporti convergono. È la soluzione positiva di x² = x + 1, che è la stessa ricorrenza scritta come equazione: non è una coincidenza, è il motivo per cui i rapporti di Fibonacci finiscono proprio lì. Nota che la stima stampata arriva al massimo a 1,61803399: la pagina mostra otto decimali, e il valore vero prosegue oltre

Controllare un termine è l'uso semplice: un indovinello chiede il decimo numero di Fibonacci, o una successione in un libro di testo va più avanti di quanto tu voglia sommare a mano, e la pagina ti dà il valore e la serie di termini che ci porta. L'uscita del rapporto serve a una domanda diversa, cioè da dove viene la sezione aurea. Vedere 2, 1,5, 1,6667, 1,6, 1,625, 1,615 assestarsi verso 1,618 è una strada molto più corta per capire il legame che leggere una dimostrazione, e la tabella di riferimento di questa pagina è disposta esattamente per quella lettura. Un terzo uso è nella programmazione e nello studio, dove la ricorrenza è il primo esempio standard di ricorsione e la successione è l'esempio standard di definizione ricorsiva che conviene calcolare in modo iterativo: il ciclo di questa pagina è la versione iterativa, ed è per questo che 78 termini non costano niente. I numeri compaiono anche nei problemi di stima in cui la crescita si compone: il numero di modi di piastrellare una striscia con quadrati e domino, il numero di percorsi per salire una scala a passi di uno o due gradini e i conteggi di ramificazione di una pianta che si divide ogni stagione seguono tutti la stessa ricorrenza. Quando la domanda riguarda il rapporto invece della successione, la calcolatrice della sezione aurea lo tratta come un numero a sé con le sue proprietà; quando riguarda il modello di crescita, la calcolatrice della crescita esponenziale copre la versione continua di ciò che questi termini approssimano a gradini.

Esempi svolti

I primi dieci termini: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
1. Parti da 1 e 1, i due valori iniziali che questa pagina usa
2. 1 + 1 = 2, poi 1 + 2 = 3, poi 2 + 3 = 5, poi 3 + 5 = 8
3. Continua: 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21, 13 + 21 = 34, 21 + 34 = 55
4. Dieci termini, quindi il decimo è 55; il rapporto fra gli ultimi due è 55 ÷ 34 = 1,61764706
L'ingresso predefinito. Nota che il decimo termine è 55 e che il rapporto fra 55 e 34 è 1,61764706 — vicino alla sezione aurea ma ancora visibilmente scostato già dalla terza cifra decimale. È questo che rende la successione qualcosa da guardare e non solo da consultare: la convergenza è rapida ma non istantanea, e dieci termini non bastano ancora perché gli otto decimali stampati arrivino a 1,61803399.
La serie più corta: due termini
1. Due termini è la richiesta più piccola che questa pagina accetta
2. La successione è semplicemente i due valori iniziali: 1 e 1
3. Il secondo termine è 1, quindi l'uscita dell'ennesimo termine vale 1
4. Il rapporto è 1 ÷ 1 = 1 — il più lontano possibile dalla sezione aurea su questa pagina
Il limite inferiore, e la ragione per cui è 2 e non 1. L'uscita del rapporto ha bisogno di due termini per esistere; con un termine solo non ci sarebbe niente per cui dividere, quindi la pagina rifiuta 1 invece di stampare uno spazio vuoto o uno zero. Il rapporto di 1 è anche il punto di partenza dell'intera convergenza: ogni rapporto successivo è un passo che se ne allontana, e la corsa da 1 a 1,618 è quello che la tabella qui sotto dispiega termine per termine.
Dove il rapporto si assesta: venti termini
1. Continua la ricorrenza dal decimo termine: 34 + 55 = 89, 55 + 89 = 144 e così via
2. Il ventesimo termine è 6765, e il diciannovesimo è 4181
3. 6765 ÷ 4181 = 1,61803396317…
4. Arrotondato agli otto decimali che la pagina stampa, è 1,61803396
Venti termini bastano. La sezione aurea vera comincia con 1,6180339887, e la stima qui concorda con essa fino alla settima cifra decimale — la divergenza è ormai nell'ottava, che è l'ultima stampata. Confronta questo caso con quello dei dieci termini, dove l'errore era già visibile nella terza cifra. È il punto per cui la pagina esiste: la ricorrenza non ha niente a che fare con la sezione aurea nella sua definizione, eppure la produce, in fretta e partendo da nient'altro che un'addizione.

Limiti

Il numero di termini deve essere un intero da 2 a 78. L'uno viene rifiutato perché l'uscita del rapporto ha bisogno di due termini per esistere, e il 79 viene rifiutato perché lì i termini smettono di essere esatti: F(78) vale 8.944.394.323.791.464, l'ultimo numero di Fibonacci che sta esattamente in un valore in doppia precisione, e F(79) supera il tetto di 9.007.199.254.740.991. La pagina declina la richiesta invece di restituire un termine approssimato, perché un numero quasi giusto ma stampato con sedici cifre è indistinguibile da uno corretto. Il conteggio parte da 1 e questa pagina usa F(1) = F(2) = 1. L'altra convenzione largamente diffusa pone F(0) = 0 e F(1) = 1, il che sposta ogni indice di uno: con quella convenzione il quinto termine è 5, e qui è 8. Entrambe le convenzioni si usano nei libri e nei programmi, quindi se stai confrontando questa pagina con un'altra fonte e i valori sono sfalsati di una posizione, la ragione è quella e non un errore. L'uscita del rapporto è una stima ed è stampata con otto decimali; non è mai esattamente la sezione aurea per nessun numero finito di termini, anche se al settantottesimo il valore stampato e la sezione aurea hanno le stesse otto cifre. I termini stessi sono stampati come un elenco separato da virgole e senza separatori di raggruppamento, quindi il decimo termine si legge 55 e il settantottesimo si legge 8944394323791464: leggere ad alta voce un termine lungo è un lavoro per l'uscita dell'ennesimo termine, non per l'elenco. Infine, la tabella di riferimento è fissa sui primi dieci termini e non segue quello che hai digitato: serve a mostrare il rapporto che si assesta, non a rispondere a ciò che hai inserito.

Domande frequenti

La successione comincia da F(0) o da F(1)?: Questa pagina comincia da F(1), quindi F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 2 e il decimo termine è 55. L'altra convenzione largamente diffusa pone F(0) = 0 e F(1) = 1, il che sposta ogni indice di uno: con quella il quinto termine è 5, mentre qui è 8. Entrambe si usano nei libri e nei programmi, e nessuna delle due è un errore. Ma se confronti questa pagina con un'altra fonte e i valori risultano allineati con una posizione di scarto, la ragione è questa: è il modo più frequente in cui una risposta su Fibonacci va storta.
Perché il rapporto continua a cambiare invece di assestarsi subito?: Perché è un limite e non un'identità. Ogni termine è la somma dei due precedenti, quindi il rapporto fra termini consecutivi si muove con una regola sua, e il movimento alterna sopra e sotto il bersaglio con ogni oscillazione grande circa la metà della precedente. La tabella di questa pagina lo mostra: 2, 1,5, 2, 1,667, 1,6, 1,625, poi sempre più stretto verso 1,615 e 1,619. Dieci termini sono vicini, venti bastano per gli otto decimali che la pagina stampa, e nessun numero finito di termini è esattamente la sezione aurea: solo sempre più vicino.
Che cos'è la sezione aurea, e perché questa successione la produce?: La sezione aurea è 1,6180339887…, la soluzione positiva di x² = x + 1. Quell'equazione è la ricorrenza di Fibonacci scritta in un altro modo — se i rapporti si assestano su un numero, quel numero deve soddisfarla — ed è per questo che la successione finisce lì e che la convergenza non è una coincidenza né una curiosità. La sezione aurea è anche il numero più difficile da approssimare con le frazioni, perché la sua frazione continua è fatta tutta di 1, ed è la proprietà che le piante sfruttano quando distanziano foglie e semi secondo quel numero.
Perché posso chiedere solo 78 termini?: Perché F(79) è più grande del più grande numero intero che un valore in doppia precisione può contenere esattamente, cioè 9.007.199.254.740.991. F(78) vale 8.944.394.323.791.464 ed è esatto; F(79) è 14.472.334.024.676.221 e verrebbe memorizzato come qualcosa di vicino ma non uguale. La pagina rifiuta la richiesta invece di stampare un'approssimazione, perché un termine stampato con sedici cifre è indistinguibile da uno corretto: dall'uscita non c'è modo di vedere l'errore. Il limite sul numero di termini è un fatto di virgola mobile, non di matematica; la successione in sé va avanti per sempre.
Dove entra in gioco il problema dei conigli?: Fibonacci introdusse la successione con un indovinello: parti con una coppia di conigli, lascia che ogni coppia impieghi un mese a maturare e poi produca una nuova coppia ogni mese, e conta le coppie all'inizio di ogni mese. I conteggi vengono 1, 1, 2, 3, 5, 8 e così via, perché tutte le coppie mature del mese scorso esistono ancora e le coppie nuove di questo mese nascono da quelle che erano mature un mese fa: è la ricorrenza, arrivata da una direzione completamente diversa. Vale la pena conoscerlo perché mostra che la successione non è definita da una singola applicazione.
Posso calcolare l'ennesimo termine senza elencare tutti quelli precedenti?: In linea di principio sì, e l'uscita dell'ennesimo termine di questa pagina ti dà quel numero su una riga sua, ma è prodotta dallo stesso ciclo e non da una formula scorciatoia. La ragione è l'esattezza: esiste una forma chiusa, la formula di Binet, che dà direttamente l'ennesimo numero di Fibonacci a partire dalla sezione aurea, ma coinvolge numeri irrazionali elevati a potenza, e nell'aritmetica in virgola mobile si allontana dall'intero vero al crescere di n. Sommare numeri interi è esatto dove quella formula non lo è, quindi la pagina somma. Procedere in avanti da due valori iniziali è anche il motivo per cui 78 termini non costano niente: non c'è nessuna formula da risolvere, solo un'addizione ripetuta 76 volte.

Riferimenti

Fibonacci Number — the recurrence, the closed form in terms of the golden ratio, and the identity that makes the ratio converge on it — Wolfram MathWorld (United States)
Golden Ratio — the number 1.6180339887…, its definition as the positive root of x² = x + 1, and why it is the hardest number to approximate with fractions — Wolfram MathWorld (United States)
Continued Fraction — why the all-ones continued fraction of the golden ratio is exactly what makes the Fibonacci ratios converge on it — Wolfram MathWorld (United States)
Leonardo Fibonacci — chi era il matematico pisano che introdusse la successione, e il problema dei conigli da cui la ricorrenza di questa pagina prende le mosse — Treccani, Istituto della Enciclopedia Italiana (Italia)

Calcolatrici correlate

Calcolatrice delle successioniTermini e somme delle successioni aritmetiche e geometriche.Calcolatrice della sezione aureaLa parte più lunga o più corta di una divisione aurea.Calcolatrice della mediaMedia di un elenco di numeri, con il totale progressivo.Calcolatrice della crescita esponenzialeCrescita o decadimento esponenziale da un tasso e un tempo.