Calcolatrice della sezione aurea

Più lungo ÷ più corto = phi Segmento intero ÷ più lungo = phi Più corto = più lungo ÷ phi Più lungo = più corto × phi Segmento intero = più lungo + più corto

Quale parte conosci

Una scelta fra tre: la parte più lunga, la parte più corta oppure il segmento intero. Decide quale dei campi è il tuo dato e quali due letture vengono ricavate da esso. Il segmento intero è il valore predefinito, perché una lunghezza che si può misurare direttamente è il modo abituale di entrare nel problema.

La lunghezza che conosci

Quanto è lunga quella parte: 100, oppure 1920, oppure 0,5. Deve essere maggiore di zero, perché lo zero non ha sezione aurea — entrambe le parti sarebbero zero — e una lunghezza negativa non è una lunghezza. Non è limitata ai numeri interi e non porta unità di misura: pixel, millimetri e pollici funzionano allo stesso modo.

Parte più lunga

Il pezzo maggiore della divisione, e la lettura principale. Conoscendo il segmento intero, è il segmento diviso per phi; conoscendo la parte più corta, è quella parte moltiplicata per phi; conoscendola già, è il numero che hai digitato.

Parte più corta

Il pezzo minore. Conoscendo il segmento intero, è quello che resta togliendo la parte più lunga; conoscendo la parte più lunga, è quella divisa per phi; conoscendola già, è il numero che hai digitato.

Segmento intero

I due pezzi sommati, cioè la lunghezza da cui sei partito ogni volta che era quello il campo che hai riempito. È la lettura che tiene insieme le altre due: più lungo più corto la restituisce sempre, e quella somma è la verifica che le tre righe siano d'accordo.

Arrotondamento

Tutte e tre le letture sono stampate con quattro cifre decimali, perché phi non termina mai. Le tre vengono ricavate dalla stessa coppia di numeri, quindi quando la lunghezza inserita sta sulla griglia dei quattro decimali le tre righe stampate tornano comunque esatte: 61,8034 + 38,1966 fa 100.

Il primo uso è un'impaginazione: una pagina, una tela, una fotografia o una cornice da dividere secondo la sezione aurea, dove la larghezza totale è nota e si cercano le due parti. Il secondo è la direzione opposta, altrettanto comune: hai già disegnato la parte più lunga e ora ti serve quella più corta, oppure hai una parte più corta fissa e la più lunga deve essere ricavata da essa. Il terzo è verificare una divisione fatta da qualcun altro: inserisci la parte più lunga e guarda se il segmento intero che ne segue è quello che c'è sul disegno. Il quarto è una proporzione fra scale diverse, dove lo stesso rapporto si applica a una versione grande e a una piccola dello stesso progetto; dato che il rapporto è adimensionale, non c'è niente da convertire fra le due. Il quinto è quello con cui si arriva dopo aver incontrato la frase invece del numero: vedere che una linea di 100 diventa 61,8 e 38,2 è ciò che rende concreta la definizione, e la tabella qui sotto lo ripete per alcune larghezze familiari, così che l'effetto della scala si legga in una colonna sola.

1. Un segmento intero di 100

   1. Parte più lunga: 100 ÷ 1,6180339887 = 61,8034
   2. Parte più corta: 100 − 61,8034 = 38,1966
   3. Verifica: 61,8034 + 38,1966 = 100, la lunghezza da cui sei partito
   4. E il rapporto: 61,8034 ÷ 38,1966 = 1,618

   Il caso predefinito e il più chiaro: entra un 100 tondo, escono due numeri scomodi, e quei due sommati tornano esattamente a 100. Quest'ultima parte non è fortuna — la parte più corta si trova per sottrazione invece che con una seconda divisione, quindi le due righe stampate non possono contraddire la riga che hai inserito. Il quarto passaggio è la definizione percorsa al contrario, ed è quello che vale la pena fare una volta: dividere la parte più lunga per quella più corta deve restituire phi.

2. Parte più lunga nota, 100

   1. Parte più corta: 100 ÷ 1,6180339887 = 61,8034
   2. Segmento intero: 100 + 61,8034 = 161,8034
   3. Quindi una parte più lunga di 100 appartiene a un segmento di 161,8034

   La direzione che serve davvero quando il progetto ha già un lato lungo: la parte più lunga è fissa e il resto del segmento deve seguirla. Da notare che qui la lettura principale è semplicemente il numero digitato — il pannello tiene la parte più lunga nella prima riga qualunque ramo tu abbia preso, quindi la risposta sta sempre nello stesso posto. E da notare che la seconda riga è lo stesso 61,8034 del caso precedente, che è tutto il punto: una parte più lunga di 100 implica un'identica parte più corta, sia che venga da un segmento di 161,8 sia che venga da un segmento di 100 diviso in modo diverso.

3. Parte più corta nota, 100

   1. Parte più lunga: 100 × 1,6180339887 = 161,8034
   2. Segmento intero: 100 + 161,8034 = 261,8034
   3. Quindi una parte più corta di 100 appartiene a un segmento di 261,8034

   Il terzo ramo, e quello che fissa la moltiplicazione: passare dalla parte più corta a quella più lunga moltiplica per phi, mentre passare dalla più lunga alla più corta divide per phi. Entrambe le direzioni compaiono nei casi qui sopra, e confrontarle è il modo più rapido per ricordare da che parte sta la costante. Una parte più corta di 100 ha bisogno di un segmento lungo più di due volte e mezzo la sua lunghezza, che è l'avvertimento pratico: la parte più corta di una sezione aurea è sempre la quota minore di un segmento più lungo di quanto sembri.

4. Una larghezza di 1920 pixel

   1. Parte più lunga: 1920 ÷ 1,6180339887 = 1186,6253
   2. Parte più corta: 1920 − 1186,6253 = 733,3747
   3. Verifica: 1186,6253 + 733,3747 = 1920

   Una larghezza di schermo, che è dove questo calcolo si fa più spesso nella pratica: una tela o una colonna di contenuto divisa secondo la sezione aurea. Entrambe le parti cadono sui quattro decimali, e in pixel questo significa una frazione di pixel — arrotondale a pixel interi e la divisione resta aurea ben oltre quello che un occhio può vedere. È anche il caso che mostra perché le letture si stampino con quattro decimali invece che con due: a questa misura, due decimali metterebbero entrambe le parti su numeri quasi interi e nasconderebbero il fatto che nessuna delle due è esatta.

5. Un segmento intero di 2

   1. Parte più lunga: 2 ÷ 1,6180339887 = 1,2361
   2. Parte più corta: 2 − 1,2361 = 0,7639
   3. Verifica: 1,2361 + 0,7639 = 2

   La lunghezza intera più piccola che mostri comunque una divisione con cifre da entrambe le parti della virgola, e il caso che rende visibile la stranezza del rapporto: la parte più lunga di un segmento di 2 è più della metà, come lo è sempre, e la parte più corta sta poco sotto i quattro decimi. Moltiplicando questo segmento per dieci si ottiene il 20 che compare nella tabella qui sotto, ed entrambe le parti si moltiplicano per dieci con lui — nel rapporto non c'è unità né scala, solo una proporzione fra due pezzi di qualunque cosa tu abbia misurato.

La lunghezza che inserisci deve essere maggiore di zero. Lo zero viene rifiutato perché la sua sezione aurea sarebbero due zeri, che non dice niente, e una lunghezza negativa viene rifiutata perché è una lunghezza che non esiste, non una lunghezza piccola. Viene presa una sola lunghezza per volta, e la pagina non verifica mai una divisione fatta altrove: se hai già due pezzi tagliati, inserirne uno restituisce la sezione a cui quel pezzo appartiene invece di confermare la coppia che hai. Le tre letture sono stampate con quattro cifre decimali, quindi i numeri non sono mai quelli esatti — phi non ha alcuna forma decimale esatta, e la pagina arrotonda a ogni riga; quando sia il segmento intero sia la parte più lunga stanno sulla griglia le righe stampate tornano comunque esatte, ma una lunghezza con cinque decimali o più può lasciare l'ultima cifra fuori di uno, e quella è la stampa, non l'aritmetica. Le lunghezze sono adimensionali di proposito, il che significa che la pagina non può dirti se i due pezzi sono millimetri o miglia, e significa anche che non ti avviserà che una divisione in pixel andrà arrotondata a pixel interi per essere realizzabile. La pagina applica il rapporto e nient'altro: non ti dice se la sezione aurea sia la proporzione giusta per il tuo lavoro, e non produce la spirale logaritmica con cui si disegnano di solito i rettangoli aurei successivi.

Che cos'è esattamente la sezione aurea?

Uno più la radice quadrata di cinque, diviso per due, che vale 1,6180339887498948482 e continua all'infinito senza ripetersi. È l'unico rapporto che sopravvive all'essere tagliato: prendi un rettangolo con quei lati, togli il quadrato più grande e il rettangolo che resta ha di nuovo lo stesso rapporto. Euclide la descrisse come dividere un segmento in parte media ed estrema, che è l'operazione che questa pagina esegue.

Come si divide una lunghezza secondo la sezione aurea?

Dividi il segmento intero per 1,6180339887 e ottieni la parte più lunga, poi sottraila dal segmento intero e ottieni quella più corta. Una linea di 100 diventa 61,8034 e 38,1966. La sottrazione al posto di una seconda divisione è voluta: garantisce che i due pezzi tornino a sommare la lunghezza che hai inserito.

Conosco già uno dei due pezzi, non il segmento intero. Posso usarlo?

Sì — scegli quale parte conosci nel primo campo e inserisci la sua lunghezza. Conoscendo la parte più lunga, quella più corta è il valore diviso per phi e il segmento intero è la loro somma. Conoscendo la parte più corta, quella più lunga è il valore moltiplicato per phi. Tutti e tre i rami sono la stessa aritmetica riordinata, e il pannello stampa sempre le stesse tre righe.

Perché i numeri escono con quattro cifre decimali?

Perché phi non termina mai, quindi nessuna lettura su questa pagina può essere esatta — i quattro decimali sono il punto in cui l'arrotondamento si ferma, nello stesso punto per tutte e tre le righe. Quando la lunghezza inserita ha al massimo quattro decimali, le tre righe stampate tornano comunque esatte, perché la parte più corta si trova per sottrazione. Una lunghezza con cinque decimali o più può lasciare l'ultima cifra fuori di uno.

Cambia qualcosa quale unità di misura uso?

No, ed è per questo che sulla pagina non compare nessuna unità. La sezione aurea è una proporzione fra due lunghezze e non una lunghezza, quindi pixel, millimetri, pollici e semplici frazioni si comportano allo stesso modo, e moltiplicare la lunghezza inserita moltiplica tutte e tre le letture per lo stesso fattore. La conseguenza è che la pagina non può dirti se la tua risposta vada arrotondata a pixel interi prima di poter essere realizzata.

Basta 1,618?

Per tagliare un pezzo di cartone sì; per la definizione no. La sezione aurea non è 1,618 — è uno più la radice quadrata di cinque, il tutto diviso per due, che comincia con quelle cifre e basta. Usare 1,618 per tutto sposta la parte più lunga di una linea di 100 di circa un millesimo, che in quasi ogni lavoro è invisibile ma non è la sezione aurea. Questa pagina usa tutta la precisione di cui dispone e arrotonda solo quello che stampa.

Non è la stessa cosa di una calcolatrice di rapporti o di proporzioni?

No, e la differenza sta in che cosa devi fornire tu. Una calcolatrice di rapporti prende due numeri che le dai e li riduce, e una calcolatrice di proporzioni risolve il termine mancante di un'uguaglianza che hai scritto tu. Il rapporto di questa pagina non è tuo da scegliere: è fisso a phi, e quello che inserisci è una lunghezza. Tre pagine, tre domande diverse.

• Golden Ratio — the definition of phi as the unique ratio which survives cutting a rectangle into a square and a remainder, its exact value of one plus the square root of five over two, its other names (divine proportion, golden mean, golden section), and Euclid's equivalent definition by extreme and mean ratio — Wolfram MathWorld (United States)
• Golden Ratio Conjugate — the smaller quantity, equal to phi minus one and to one over phi, which is the ratio of the short piece to the long piece on this page — Wolfram MathWorld (United States)
• Golden Rectangle — the rectangle whose sides are in the golden ratio and which keeps that ratio when a square is cut from it, the figure that makes the definition of phi unique — Wolfram MathWorld (United States)
• Fibonacci Number — the sequence whose terms are connected to the golden ratio, and whose neighbouring pairs approach the same proportion this page applies — Wolfram MathWorld (United States)
• Ratio — the relation between two quantities of the same kind, written as a quotient, which is the form both of the equalities in the expression above take — Wolfram MathWorld (United States)