Calcolatrice di proporzioni
Risultato
Termine mancante
- Prodotto incrociato (A × D = B × C)
- 48,0000
- Fattore di scala (C ÷ A)
- 4,0000
Una calcolatrice di proporzioni risolve un'affermazione che due rapporti sono uguali quando uno dei quattro termini manca. Scrivi 3 : 4 = 12 : ? e la risposta è 16, perché 3 : 4 e 12 : 16 sono rapporti equivalenti: il secondo è il primo con ogni termine moltiplicato per quattro. Il modulo è fatto di quattro caselle numeriche e nient'altro, e la regola è che ne lasci vuota esattamente una: quella vuota è il termine che viene risolto. Non c'è nessun menu che chiede quale termine vuoi, perché la casella vuota lo dice già, e tutte e quattro le posizioni funzionano allo stesso modo — puoi risolvere per il primo termine con la stessa facilità dell'ultimo, che è la domanda che a questo layout viene posta più spesso. Servono solo tre dei quattro termini, e il calcolo delle proporzioni è sempre lo stesso: moltiplicare in croce la proporzione dà un'unica equazione, A × D = B × C, e risolvere per il termine mancante significa moltiplicare l'altra coppia e dividerla per il suo compagno in diagonale. È per questo che il pannello mostra il prodotto della coppia che hai inserito — è il numero a cui arriveresti a mano — e, accanto, il fattore per cui il secondo rapporto scala il primo. I rapporti possono essere negativi, quindi i termini possono esserlo; lo zero è l'unico valore che non può comparire da nessuna parte, perché un rapporto con un termine nullo o non ha soluzione o ne ha infinite.
Dieci proporzioni, e i quattro modi di lasciare vuota una casella
| Primo termine (A) | Secondo termine (B) | Terzo termine (C) | Quarto termine (D) | Termine mancante | Prodotto incrociato | Fattore di scala |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 12 | 16 | D | 48 | 4 |
| 3 | 4 | 12 | 16 | A | 48 | 4 |
| 3 | 4 | 12 | 16 | B | 48 | 4 |
| 3 | 4 | 12 | 16 | C | 48 | 4 |
| 12 | 5 | 2.4 | 1 | C | 12 | 0.2 |
| 5 | 3 | 20 | 12 | D | 60 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 6 | D | 12 | 2 |
| 1.5 | 4.5 | 2.5 | 7.5 | C | 11.25 | 1.6667 |
| -3 | 4 | -12 | 16 | D | -48 | 4 |
| 7 | 7 | 7 | 7 | D | 49 | 1 |
Ogni riga è una proporzione risolta, e le colonne sono i quattro termini, quale casella è stata lasciata vuota, il prodotto della coppia che era stata inserita e il fattore che scala il primo rapporto nel secondo. Le prime quattro righe sono la stessa proporzione, 3 : 4 = 12 : 16, con la casella vuota che passa in rassegna D, A, B e C, e ogni lettura è identica in tutte e quattro: 48 per il prodotto incrociato e 4 per il fattore di scala. Leggere quelle quattro righe in verticale è la risposta più rapida alla domanda se questa pagina sappia risolvere per il primo termine: sa risolvere per uno qualsiasi di essi. Spiegano anche la colonna del termine mancante, che stampa la lettera della casella vuota invece di un numero, dato che i termini e le lettere sono gli stessi in ogni lingua. La quinta riga è 12 : 5 = ? : 1, risolta in 2,4, che è la stessa aritmetica di un prezzo per pezzo ed è l'unica riga la cui risposta non è un numero intero. La sesta riga è 5 : 3 = 20 : ?, risolta in 12. La settima è la più piccola proporzione intera, 2 : 3 = 4 : 6. L'ottava ha decimali in ogni casella, e il suo fattore di scala di 1,6667 è l'unica lettura della tabella che non viene esatta. La nona ha termini negativi, dove il prodotto incrociato è negativo e il fattore di scala è positivo. La decima è 7 : 7 = 7 : 7, il cui fattore di scala di 1 dice che i due rapporti sono identici: una proporzione può essere banalmente vera, e va comunque risolta come tutte le altre. Una nota di lettura: le cifre calcolate dentro questa tabella sono stampate con il punto e senza separatore di migliaia, mentre il testo qui sopra e le didascalie usano la virgola — sono lo stesso numero scritto in due modi, non due numeri diversi.
Formula
A ÷ B = C ÷ D moltiplicata in croce: A × D = B × C termine mancante = (la coppia che hai inserito, moltiplicata) ÷ il suo compagno in diagonale
- Primo termine (A)
- Il primo numero del rapporto di sinistra: 3 in 3 : 4 = 12 : 16. Può essere lasciato vuoto, e allora è il termine che questa pagina risolve — la risposta viene stampata sulla stessa riga qualunque casella fosse vuota. Può essere negativo, e non può essere zero.
- Secondo termine (B)
- Il secondo numero del rapporto di sinistra: 4 nella stessa proporzione. Come secondo membro di un rapporto è quello con cui ci si confronta, quindi uno zero qui non descrive niente: un rapporto di 3 : 0 non è un rapporto. I valori negativi vanno bene.
- Terzo termine (C)
- Il primo numero del rapporto di destra: 12 nell'esempio. Può essere vuoto e può essere negativo. Anche qui lo zero viene rifiutato, perché altrimenti C ÷ D sarebbe zero per ogni D, e nessun D rende zero uguale a un rapporto diverso da zero.
- Quarto termine (D)
- Il secondo numero del rapporto di destra: 16 nell'esempio, e la casella che di solito resta vuota perché il modulo fornisce i primi tre. È il termine che si cerca più spesso, e si risolve come gli altri tre: moltiplica l'altra coppia, dividi per il compagno in diagonale.
- Termine mancante
- Qualunque termine sia stato lasciato vuoto, risolto: 16 per 3 : 4 = 12 : ?. Viene stampato su una riga sola indipendentemente da quale delle quattro caselle fosse vuota, perché una riga etichettata secondo una posizione particolare indicherebbe la casella sbagliata tre volte su quattro. La risposta non è mai zero: è uno dei due prodotti diviso per un compagno diverso da zero.
- Prodotto incrociato
- Il prodotto della coppia che hai inserito: 48 per 3 : 4 = 12 : ?, da 4 × 12. Moltiplicare in croce è l'affermazione che i due prodotti sono uguali, quindi questo è il numero che sta su entrambi i lati del segno di uguale e quello da verificare a mano. Quale coppia venga mostrata dipende da quale casella era vuota, ed è sempre la coppia completa: quella che non ha bisogno del valore risolto, che è a sua volta una lettura arrotondata.
- Fattore di scala
- C diviso per A: 4 per 3 : 4 = 12 : 16, perché il secondo rapporto è il primo con ogni termine moltiplicato per quattro. Non è il valore di nessuno dei due rapporti — quelli sono uguali per definizione, ed è ciò che una proporzione afferma — è quante volte il secondo rapporto scala il primo, ed è il modo più rapido per controllare la risposta a occhio.
Il primo uso è quello da manuale: si conoscono tre termini di una proporzione e se ne vuole il quarto, che si tratti di un disegno in scala, di una ricetta, di una miscela o di una conversione di valuta a un cambio fisso. Il secondo è verificare una proporzione già risolta: la riga del prodotto incrociato è la moltiplicazione che faresti a mano, e il fattore di scala è la versione del controllo che si fa con un'occhiata sola. Il terzo è una proporzione il cui primo termine è ignoto, cosa che alcuni strumenti non sanno esprimere perché danno per scontato che la risposta stia sempre nell'ultima casella; qui ti basta lasciare vuota la prima. Il quarto è una coppia di rapporti che contengono decimali, come 1,5 : 4,5 = 2,5 : 7,5, dove la risposta è un decimale e questa pagina stampa decimali invece di trasformare il risultato in frazione. Il quinto è il confine con un tasso unitario: 12 : 5 = ? : 1 è la stessa aritmetica del prezzo di un singolo pezzo, e questa pagina la risolve, mentre la pagina del tasso unitario è quella che pretende che il secondo termine sia esattamente 1.
Esempi svolti
3 : 4 = 12 : ?
- Il quarto termine è quello lasciato vuoto, quindi è quello che viene risolto
- Moltiplica in croce: 3 × D = 4 × 12, cioè 3 × D = 48
- Dividi entrambi i membri per 3: D = 48 ÷ 3 = 16
- Verifica con il fattore di scala: 12 ÷ 3 = 4, e 4 × 4 = 16, quindi i due rapporti sono uguali
La coppia predefinita, e la forma con cui arriva la maggior parte delle persone: i primi tre termini dati e l'ultimo cercato. Le due letture di supporto sono le due metà del controllo — il prodotto incrociato 48 è il numero su entrambi i lati dell'equazione, e il fattore di scala 4 è ciò per cui il secondo rapporto moltiplica il primo. Nota che il termine risolto è quello che rende uguali entrambi i rapporti a 0,75: 3 ÷ 4 e 12 ÷ 16. Quell'uguaglianza è tutto il contenuto di una proporzione, e questa pagina non fa che riordinarla.
? : 4 = 12 : 16
- Questa volta è il primo termine a essere vuoto, e nient'altro del metodo cambia
- Moltiplica in croce: A × 16 = 4 × 12, cioè A × 16 = 48
- Dividi entrambi i membri per 16: A = 48 ÷ 16 = 3
- Il prodotto incrociato è ancora 48, perché viene dalla coppia che hai inserito
La stessa proporzione con la risposta nella prima casella invece che nell'ultima, e ogni lettura è identica: 3, 48, 4. Questa è la domanda a cui il layout a quattro caselle risponde e un modulo con la casella di uscita fissa non può: l'ignota sta dove hai lasciato il buco. Vale la pena guardare il prodotto incrociato qui, perché è 4 × 12 e non A × 16 — la pagina moltiplica la coppia che hai inserito, non la coppia che per caso contiene il termine appena risolto. Se avesse usato il valore risolto, chi verifica a mano moltiplicherebbe per un numero arrotondato.
3 : ? = 12 : 16
- La casella vuota è la seconda, e il metodo è di nuovo lo stesso
- Moltiplica in croce: 3 × 16 = B × 12, cioè 48 = B × 12
- Dividi entrambi i membri per 12: B = 48 ÷ 12 = 4
- Il prodotto incrociato stavolta viene dalla coppia completa, 3 × 16 = 48
La casella vuota si è spostata in seconda posizione, che è il punto in cui le due coppie si scambiano: con il primo termine mancante la coppia completa è B e C, con il secondo termine mancante è A e D. Qui il prodotto stampato è 48 in entrambi i casi, ma è una coincidenza di questi quattro numeri e non una regola: la regola è che la pagina moltiplica la coppia che hai inserito, quindi il numero sul pannello si può sempre riprodurre a mano da ciò che hai digitato. Dividere per 12 invece di moltiplicare per 12 è il passaggio che si sbaglia più spesso.
12 : 5 = ? : 1
- La casella vuota è la terza: 12 : 5 dovrebbe essere uguale a C : 1
- Moltiplica in croce: 12 × 1 = 5 × C, cioè 12 = 5 × C
- Dividi entrambi i membri per 5: C = 12 ÷ 5 = 2,4
- Il fattore di scala è 2,4 ÷ 12 = 0,2, sotto uno perché il secondo rapporto è più piccolo
La stessa aritmetica del prezzo di un pezzo singolo quando cinque costano dodici, e la risposta è un decimale invece di un numero intero. Questa pagina stampa quel decimale e non lo trasforma in frazione, ed è un confine voluto: ridurre un risultato ai minimi termini appartiene alle pagine delle frazioni, e una proporzione i cui termini sono decimali può benissimo non avere una frazione pulita. Il fattore di scala sotto uno è qui il segnale utile: dice che il secondo rapporto è una frazione del primo, cosa che si legge facilmente come un errore quando ci si aspetta che la risposta venga più grande.
-3 : 4 = -12 : ?
- La casella vuota è la quarta, e i termini possono essere negativi
- Moltiplica in croce: -3 × D = 4 × (-12), cioè -3 × D = -48
- Dividi entrambi i membri per -3: D = -48 ÷ -3 = 16
- Il prodotto incrociato è negativo e il fattore di scala è positivo, ed entrambi sono corretti
I termini negativi sono legali, perché un rapporto può essere negativo e -0,75 = -0,75 è una proporzione vera. Le due letture di supporto qui puntano in direzioni opposte e non è una contraddizione: il prodotto incrociato -48 è il prodotto dei due termini su un lato dell'equazione, mentre il fattore di scala 4 è -12 ÷ -3, e dividere un negativo per un altro dà un positivo. È il caso da guardare se la pagina ti sembra restituire un segno a caso: il segno appartiene al prodotto o al quoziente che viene stampato, non alla proporzione nel suo insieme.
Limiti
Viene lasciata vuota esattamente una casella. Riempile tutte e quattro e la pagina rifiuta, anche se i quattro numeri formano davvero una proporzione corretta come 3 : 4 = 12 : 16 — senza una casella vuota non c'è nessun termine da risolvere, e stamparne uno come risposta sarebbe la pagina che sceglie al posto tuo. Da questo segue anche il modo per verificare una proporzione che credi valga: lascia vuoto un termine e guarda se il valore risolto è il numero che avevi in mente. Anche meno di tre caselle piene vengono rifiutate, perché non c'è niente da risolvere. Lo zero non può comparire in nessuna delle quattro caselle, e i quattro casi si riducono a un solo motivo: in A × D = B × C un termine nullo o rende l'equazione irrisolvibile o la rende vera per ogni valore, quindi la pagina lo rifiuta invece di scegliere una risposta. Uno zero come secondo o quarto termine è il caso più chiaro, visto che un rapporto scritto contro zero non è un rapporto. I termini negativi sono legali e la risposta può essere negativa, quindi non leggere un segno meno come un errore. Le quattro letture sono arrotondate a quattro cifre decimali, cosa che conta quando un termine non si divide esattamente: 1,5 : 4,5 = 2,5 : 7,5 si risolve in 2,5 con un fattore di scala di 1,6667. I risultati vengono stampati come decimali, mai come frazioni — questa pagina non riduce niente, e una proporzione i cui termini sono decimali può non avere nessuna frazione esatta da ridurre. Nessuno dei quattro termini porta un'unità di misura, perché una proporzione confronta grandezze dello stesso tipo e attaccarci una dimensione escluderebbe ogni altro tipo; se il rapporto è un tasso con unità su ciascun lato, la pagina che se ne occupa è quella del tasso unitario. La pagina risolve una proporzione per volta e non offre proporzioni composte o a catena.
Domande frequenti
- Come si risolve una proporzione?
- Moltiplica in croce, poi dividi. Per 3 : 4 = 12 : ? la formula dà 3 × D = 4 × 12, quindi 3 × D = 48 e D = 16. A parole: moltiplica la coppia che hai inserito, poi dividi per il compagno in diagonale del termine che stai risolvendo. Lo stesso unico metodo copre tutte e quattro le posizioni.
- Posso risolvere per il primo termine invece che per l'ultimo?
- Sì, e per uno qualsiasi dei quattro. Lascia vuota la casella che vuoi risolvere e riempi le altre tre: non c'è nessuna modalità separata e nessun menu che chiede quale termine intendi. Per ? : 4 = 12 : 16 la risposta è 3, e il pannello è identico a quando la casella vuota è in fondo.
- Che cosa succede se riempio tutti e quattro i termini?
- La pagina rifiuta, anche quando i quattro numeri formano davvero una proporzione corretta. Senza una casella vuota non c'è nessun termine da risolvere, e stamparne uno sarebbe la pagina che sceglie per te. Se vuoi verificare una proporzione che credi valga, lascia vuoto un termine e guarda se il valore risolto coincide con il numero che avevi in mente.
- I termini possono essere negativi o nulli?
- I termini negativi vanno bene: -3 : 4 = -12 : 16 è una proporzione vera. Lo zero viene rifiutato in tutte e quattro le caselle. In A × D = B × C un termine nullo o rende l'equazione irrisolvibile o la rende vera per ogni valore, e un rapporto come 3 : 0 non è un rapporto. Il termine risolto non è mai zero.
- Che cosa mostra la riga del prodotto incrociato?
- Il prodotto della coppia che hai inserito: 48 per 3 : 4 = 12 : ?, da 4 × 12. Moltiplicare in croce una proporzione dice che i due prodotti sono uguali, quindi questo è il numero che sta su entrambi i lati del segno di uguale e quello che vale la pena verificare a mano. Quale coppia venga stampata dipende da quale casella era vuota, quindi è sempre una coppia che puoi moltiplicare da ciò che hai digitato.
- Che cosa significa il fattore di scala?
- Quante volte il secondo rapporto scala il primo: 4 per 3 : 4 = 12 : 16, dato che 12 è 3 × 4 e 16 è 4 × 4. Non è il valore del rapporto in sé — i due rapporti sono uguali per definizione, ed è ciò che una proporzione afferma. È il controllo più rapido, con un'occhiata sola, che la risposta sia della grandezza giusta.
Riferimenti
- Proportional — the relation between two quantities whose ratio is constant, which is what a proportion states and what this page solves for its missing term — Wolfram MathWorld (United States)
- Linear Equation — an equation in which each term is a constant or a constant multiple of a single variable, which is the form cross-multiplication reduces a proportion to before the missing term is divided out — Wolfram MathWorld (United States)
- Ratio — the quotient of two numbers, which is what each side of a proportion is and what the scale factor line measures the change in — Wolfram MathWorld (United States)
- Least Common Multiple — used on this page's neighbour, the ratio reducer; listed here because reducing a ratio and solving a proportion are the two operations most often confused with each other — Wolfram MathWorld (United States)
- Greatest Common Divisor — the divisor behind reducing a ratio to its simplest form, which this page does not do because it returns decimals rather than a reduced ratio — Wolfram MathWorld (United States)