Calcolatrice di rapporti
Risultato
Rapporto semplificato
- In forma decimale
- 1,5000
- Con il primo termine pari a 1
- 1 : 0.6667
Una calcolatrice di rapporti semplifica un rapporto ai minimi termini e poi legge la stessa coppia in altri due modi. Dagli 6 : 4 e i due termini si dividono per due, quindi il rapporto semplificato è 3 : 2; la stessa coppia vale 1,5 quando il primo termine viene diviso per il secondo, e 1 : 0,6667 quando il rapporto viene girato e scritto con il primo termine uguale a 1. Quelle tre letture non sono tre risposte a tre domande diverse. Un rapporto è una coppia di numeri, non una divisione sola, quindi 6 : 4, 3 : 2 e 1,5 descrivono tutti uno stesso legame, e il motivo per stamparne più d'uno è che mestieri diversi chiedono scritture diverse. Una ricetta, un disegno in scala o una coppia di ingranaggi si possono scrivere solo con numeri interi, ed è a questo che serve la forma semplificata. Una pendenza o un tasso che sta per essere moltiplicato vuole il decimale. E una frase che spiega un rapporto a qualcuno vuole di solito la forma per uno, perché per ogni unità del primo termine ce ne sono 0,6667 del secondo è più facile da usare di una coppia nuda. I termini che non sono numeri interi vengono gestiti, non rifiutati. Entrambi i termini vengono moltiplicati per la stessa potenza di dieci finché non sono interi, e solo dopo si toglie il fattore comune: 2,5 : 5 diventa 25 : 50 e poi 1 : 2. I rapporti equivalenti vengono quindi riconosciuti come tali, e una coppia piena di decimali come 0,5 : 2 torna come il pulito 1 : 4. Il pannello non stampa sempre i termini nell'ordine in cui sono arrivati, però. Quando c'è di mezzo un segno, i due termini vengono moltiplicati per lo stesso numero finché il segno non sta sul primo, quindi 3 : -4 viene stampato come -3 : 4 — lo stesso rapporto, scritto come lo scrive il resto del sito.
Rapporti comuni, semplificati e letti
| Rapporto | Semplificato | Decimale |
|---|---|---|
| 2 : 4 | 1 : 2 | 0.5 |
| 3 : 12 | 1 : 4 | 0.25 |
| 6 : 4 | 3 : 2 | 1.5 |
| 12 : 18 | 2 : 3 | 0.6667 |
| 8 : 12 | 2 : 3 | 0.6667 |
| 9 : 12 | 3 : 4 | 0.75 |
| 7 : 7 | 1 : 1 | 1 |
| 5 : 2 | 5 : 2 | 2.5 |
| 100 : 25 | 4 : 1 | 4 |
| 0.5 : 2 | 1 : 4 | 0.25 |
| 2.5 : 5 | 1 : 2 | 0.5 |
| 1 : 3 | 1 : 3 | 0.3333 |
Ogni riga è un rapporto come si potrebbe scrivere, la stessa coppia ai minimi termini, e il primo termine diviso per il secondo. Leggi per traverso e le tre colonne sono d'accordo: 6 : 4 e 3 : 2 sono lo stesso legame e valgono entrambi 1,5, che è tutto il senso della semplificazione. Due righe vale la pena saperle a memoria perché sono quelle su cui si sbaglia. La coppia di righe 12 : 18 e 8 : 12 si semplifica in entrambi i casi in 2 : 3 — coppie diverse, stesso rapporto — e 7 : 7 si semplifica in 1 : 1, che è il rapporto fra due grandezze uguali e l'unica riga in cui tutte e tre le colonne dicono la stessa cosa. Le ultime due righe portano una virgola nella coppia di partenza e sono lì per mostrare che non cambia niente: 2,5 : 5 si semplifica in 1 : 2, esattamente come farebbe 25 : 50. Una nota di lettura: le cifre calcolate dentro questa tabella sono stampate con il punto e senza separatore di migliaia, mentre il testo qui sopra e le didascalie usano la virgola — sono lo stesso numero scritto in due modi, non due numeri diversi.
Formula
Rapporto semplificato = entrambi i termini ÷ il loro massimo comun divisore 6 : 4 → 3 : 2 Decimale = primo ÷ secondo → 1,5 Per uno = 1 : secondo ÷ primo → 1 : 0,6667
- Primo termine
- Il numero prima dei due punti. È il termine che viene diviso per il secondo per dare la lettura decimale, ed è quello che porta il segno.
- Secondo termine
- Il numero dopo i due punti. Non può essere zero: un rapporto con il nulla in seconda posizione non è un confronto, e la lettura decimale sarebbe una divisione per zero.
- Rapporto semplificato
- La stessa coppia con il massimo comun divisore dei due termini tolto, così che i termini siano primi fra loro. È la forma da usare dove si possono scrivere solo numeri interi, ed è esatta: 12,3457 : 1 torna come 123457 : 10000 invece che come un decimale arrotondato.
- Decimale
- Il primo termine diviso per il secondo, cioè il quoziente che il rapporto rappresenta. 1,5 significa che il primo termine è una volta e mezzo il secondo. È stampato con quattro cifre decimali, quindi un rapporto come 1 : 3 mostra 0,3333.
- Per uno
- Il secondo termine diviso per il primo, scritto come 1 : quel numero. Risponde a quanto c'è del secondo per ogni unità singola del primo, e richiede che il primo termine non sia zero. Anche questa lettura è stampata con quattro cifre decimali.
Tre usi, e il primo è quello che va spiegato: semplificare un rapporto serve a metterlo nella forma con cui una scala o una ricetta si possono davvero costruire, perché 6 : 4 è una coppia di numeri mentre 3 : 2 è una ricetta. Il secondo è l'aritmetica che segue il rapporto: convertire un rapporto in decimale lo trasforma in un numero che si può moltiplicare, confrontare o disegnare su un grafico, ed è quello che succede a una pendenza, a un tasso o a una quota prima che vadano da qualche altra parte. Il terzo è spiegare un rapporto a parole, dove fa il lavoro la lettura per uno, visto che per ogni unità del primo termine ce ne sono 0,6667 del secondo è una frase su cui qualcuno può agire. Il calcolo del rapporto è sempre lo stesso in tutti e tre i casi, e nessuno dei tre è più giusto degli altri: sono lo stesso legame scritto per tre lettori diversi.
Esempi svolti
6 : 4
- Divisore comune: sia 6 sia 4 si dividono per 2
- Semplifica: 6 ÷ 2 = 3 e 4 ÷ 2 = 2, quindi 3 : 2
- Decimale: 6 ÷ 4 = 1,5
- Per uno: 4 ÷ 6 = 0,6667 con quattro cifre decimali
Il caso predefinito. I due termini erano già numeri interi, quindi la semplificazione è una sola divisione per due, e la lettura per uno è il punto in cui si vede l'arrotondamento.
2,5 : 5, con un termine decimale
- Moltiplica entrambi i termini per dieci: 25 : 50
- Semplifica: 25 ÷ 25 = 1 e 50 ÷ 25 = 2, quindi 1 : 2
- Decimale: 2,5 ÷ 5 = 0,5
- Per uno: 5 ÷ 2,5 = 2
Un termine con la virgola si affronta moltiplicando prima entrambi i termini per dieci, il che lascia il rapporto invariato. Saltare quel passaggio e semplificare lo stesso lascerebbe un termine che non è ancora un numero intero.
3 : 4, già ai minimi termini
- Divisore comune: 3 e 4 non ne hanno nessuno sopra 1
- Semplifica: la coppia è già 3 : 4
- Decimale: 3 ÷ 4 = 0,75
- Per uno: 4 ÷ 3 = 1,3333 con quattro cifre decimali
Il pannello ristampa la stessa coppia quando non c'è niente da togliere, e quella è la risposta giusta, non il segno che non è successo nulla. La lettura per uno c'è comunque e non è un numero intero.
3 : -4, dove il segno si sposta
- Entrambi i termini vengono moltiplicati per -1: -3 : 4
- Non si toglie nient'altro, quindi il rapporto semplificato è -3 : 4
- Decimale: -3 ÷ 4 = -0,75, lo stesso di 3 ÷ -4
- Per uno: 4 ÷ -3 = -1,3333
Il rapporto non cambia moltiplicando entrambi i termini per lo stesso numero, quindi -3 : 4 e 3 : -4 sono lo stesso legame e il pannello stampa il primo. Ogni lettura lo conferma: il decimale è -0,75 in un caso e nell'altro.
Limiti
Le letture decimale e per uno sono stampate con quattro cifre decimali, quindi un rapporto che non si divide esattamente viene arrotondato lì: 1 : 3 mostra 0,3333 invece di un terzo, e il valore esatto è un decimale periodico che solo una frazione sa scrivere. Il rapporto semplificato non è arrotondato e non è approssimato: 12,3457 : 1 torna come 123457 : 10000, che è la coppia esatta, non un decimale travestito. Un secondo termine uguale a zero viene rifiutato, perché a : 0 non è un confronto e la lettura decimale sarebbe una divisione per zero. Anche un primo termine uguale a zero viene rifiutato, benché 0 : 5 si possa sostenere che si semplifichi in 0 : 1: la lettura per uno ha bisogno di dividere per il primo termine, e stampare due terzi di un pannello sarebbe peggio che dirlo. Il segno viene sempre stampato sul primo termine, quindi un termine inserito come 3 : -4 torna come -3 : 4; il rapporto è lo stesso, e una cifra copiata dal pannello può sembrare diversa da quella che avevi digitato. Le cifre molto grandi vengono rifiutate invece che approssimate: la semplificazione è fatta in numeri interi, e oltre il punto in cui i numeri interi smettono di essere esatti il fattore comune verrebbe calcolato dal rumore. Questa pagina semplifica un rapporto, lo legge in due modi ulteriori e si ferma lì. Riempire il termine mancante di una proporzione, dividere una quantità secondo un rapporto dato e calcolare un rapporto fra grandezze con unità di misura sono tre calcoli diversi.
Domande frequenti
- Come si semplifica un rapporto?
- Trova il numero più grande che divide entrambi i termini e dividi ciascun termine per quello. In 6 : 4 quel numero è 2, e si ottiene 3 : 2. Quando i termini non sono numeri interi, moltiplicali entrambi per dieci quante volte serve perché lo diventino, e togli il fattore comune dopo.
- Che cosa significa la lettura decimale?
- È il primo termine diviso per il secondo, cioè il quoziente che il rapporto rappresenta: 3 : 2 vale 1,5, ossia il primo termine è una volta e mezzo il secondo. È la lettura da portare dentro l'aritmetica, visto che una pendenza o un tasso deve essere un numero prima di poter essere moltiplicato.
- Che cosa significa la lettura per uno?
- Riscrive il rapporto con il primo termine uguale a 1: è il secondo termine diviso per il primo, stampato come 1 : quel numero. Per 6 : 4 è 1 : 0,6667, che si legge come per ogni unità del primo termine ce ne sono 0,6667 del secondo. È la lettura da dire ad alta voce.
- Un rapporto può contenere un decimale?
- Sì. 2,5 : 5 è un rapporto perfettamente valido, e si semplifica in 1 : 2 moltiplicando entrambi i termini per dieci e poi togliendo il fattore comune. Moltiplicare entrambi i termini per lo stesso numero non cambia mai il rapporto, ed è ciò che rende sicuro quel passaggio.
- Perché a volte il pannello ristampa lo stesso rapporto?
- Perché la coppia era già ai minimi termini. 3 : 4 non ha divisori comuni sopra 1, quindi alla semplificazione non resta niente da fare; il pannello stampa 3 : 4 perché quella è la risposta, e le altre due letture cambiano comunque.
- Perché 3 : -4 viene mostrato come -3 : 4?
- Perché moltiplicare entrambi i termini per lo stesso numero lascia il rapporto invariato, e il sito scrive sempre il segno sul primo termine. Le due forme sono lo stesso legame, e ogni lettura è d'accordo: il decimale è -0,75 in entrambi i casi.
- Che cosa succede se uno dei termini è zero?
- Un secondo termine uguale a zero viene rifiutato, perché a : 0 non è un confronto e la lettura decimale dividerebbe per zero. Anche un primo termine uguale a zero viene rifiutato: il rapporto in sé si potrebbe semplificare, ma la lettura per uno divide per il primo termine e per quella non c'è risposta.
Riferimenti
- Ratio — the ratio of two numbers written with a colon, where the first behaves as the numerator and the second as the denominator, so a ratio is equivalent to the quotient of the two and the colon form and the decimal form are two spellings of one relationship — Wolfram MathWorld (United States)
- Greatest Common Divisor — the largest divisor common to two integers, with two integers having a greatest common divisor of 1 described as relatively prime, which is exactly what cancelling to lowest terms leaves behind — Wolfram MathWorld (United States)
- Reduced Fraction — a pair written with the common factors cancelled, which is the same operation this page performs on the two terms of a ratio before printing them — Wolfram MathWorld (United States)