Calcolatrice di arrotondamento

1234,5678 al numero intero più vicino ⇒ 1235 mezzo per eccesso, 1234 troncato; 2,5 ⇒ 3 o 2; 1567 a 2 cifre significative ⇒ 1600

1234,5678

Il valore da arrotondare, un numero qualsiasi da −1.000.000.000 a 1.000.000.000, decimali compresi. È anche il numero su cui è costruita la tabella di riferimento qui sotto, quindi le sue sette righe sono le sette posizioni del valore che hai già sullo schermo

p0, pm2, s2

Dove arrotondare, scelto da tredici opzioni in un unico elenco. Le opzioni p nominano un decimale: p3 è il migliaio più vicino, p0 il numero intero più vicino, pm2 il centesimo più vicino. Le opzioni s nominano un conteggio di cifre significative, da s1 a s6, contate dalla prima cifra diversa da zero

mezzo per eccesso

La regola per il caso di mezzo: un valore esattamente fra due candidati si sposta via da zero, quindi 2,5 diventa 3 e −2,5 diventa −3. È la convenzione che si insegna a scuola. È anche quella che sembra un difetto quando si somma una lunga serie di valori che finiscono per ,5, dato che ognuno di essi viene spinto nella stessa direzione

troncato

Il secondo risultato, e l'altra metà della domanda sul mezzo: lo stesso valore nella stessa posizione con le cifre in più scartate invece che arrotondate, il che lo sposta sempre verso lo zero. 2,5 troncato fa 2 e −2,5 fa −2. Stamparlo accanto al valore arrotondato è ciò che rende visibile la convenzione, dato che sulla maggior parte degli ingressi i due risultati sono identici

1567 → 1600

Le cifre significative in azione. Il conteggio parte dalla prima cifra diversa da zero, quindi 1567 a due cifre significative tiene l'1 e il 5 e arrotonda il resto, dando 1600. Gli zeri finali restano: la risposta dichiara due cifre significative, e scrivere 1600 come 1600 è l'unico modo in cui un lettore può vedere quella dichiarazione

1,005 → 1,01

Perché l'aritmetica si fa sulle cifre decimali invece che moltiplicando e dividendo in virgola mobile. 1,005 viene memorizzato come un valore leggermente sotto 1,005, quindi la solita strada in doppia precisione lo arrotonda per difetto a 1,00; lavorare sulle cifre dà la risposta che una persona si aspetta, 1,01. L'esempio qui sotto fissa proprio questo caso

Comunicare una misura è il caso classico, ed è da lì che vengono le cifre significative: una lunghezza letta su un righello al millimetro non va riportata con sei decimali, perché le cifre in più dichiarano una precisione che lo strumento non ha mai avuto. Le cifre significative sono la notazione che tiene onesta quella dichiarazione, ed è per questo che arrotondare una misura non è la stessa cosa che arrotondare un numero in un indovinello. Il denaro è la versione quotidiana del decimale: i prezzi si arrotondano al centesimo, e la regola del mezzo è una vera questione di politica contabile perché decide da che parte va una frazione di centesimo, e su molte transazioni una regola che spinge sempre nella stessa direzione produce una deriva visibile. La statistica e la divulgazione arrotondano per leggibilità: percentuali a un decimale, popolazioni al migliaio, medie alla stessa precisione dei loro ingressi. Il troncamento ha usi propri, ed è la ragione per cui viene stampato qui invece che omesso: prendere il pavimento o il soffitto verso lo zero è quello che moltissimi linguaggi di programmazione fanno per impostazione predefinita, ed è quello che si vede quando un valore viene memorizzato in un formato a precisione fissa. In ognuno di questi contesti la regola da tenere a mente è che arrotondare due volte non è come arrotondare una volta sola, e che un numero arrotondato è una dichiarazione sulla precisione e non solo un modo più corto di scrivere l'originale. L'aritmetica sui valori arrotondati accumula la differenza, ed è per questo che la versione con le cifre significative di quel problema è uno strumento separato da questo.

1. 1234,5678 al numero intero più vicino

   1. I candidati ai due lati di 1234,5678 sono 1234 e 1235
   2. La cifra che decide è la prima decimale, 5
   3. Il mezzo per eccesso tratta il 5 come una ragione per spostarsi via da zero, quindi il valore arrotonda per eccesso a 1235
   4. Il ,5678 che segue non cambia niente: decide la cifra nella posizione di arrotondamento, e tutto quello che viene dopo serve solo a sciogliere i pareggi
   5. Il troncamento invece scarta la parte decimale, dando 1234

   Il valore predefinito, e il campione su cui è costruita la tabella di riferimento qui sotto. Il 5 al primo decimale fa tutto il lavoro: il 6, il 7 e l'8 che seguono sono irrilevanti, e un valore di 1234,5001 arrotonderebbe esattamente allo stesso modo. Qui i due risultati differiscono, che è il caso comodo: sulla maggior parte degli ingressi il mezzo per eccesso e il troncamento concordano, ed è proprio la coppia di numeri a dirti se la regola del mezzo è stata coinvolta.

2. Il caso di mezzo: 2,5 al numero intero più vicino

   1. 2,5 sta esattamente a metà fra 2 e 3
   2. Il mezzo per eccesso si sposta via da zero, quindi il valore arrotondato è 3
   3. Il troncamento si sposta verso lo zero, quindi il valore troncato è 2
   4. Nessuno dei due è un errore: sono due convenzioni per lo stesso ingresso

   Il caso più piccolo che mostra il disaccordo, ed è quello che vale la pena ricordare. Il mezzo per eccesso non è l'unica convenzione in uso: l'arrotondamento bancario porterebbe 2,5 al vicino pari, cioè 2, cosa che conta su lunghe liste di misure perché arrotondare sempre i mezzi verso l'alto introduce una piccola distorsione verso l'alto. Questa pagina usa il mezzo per eccesso, la convenzione scolastica, e lo dichiara invece di lasciarlo scoprire.

3. Un valore di mezzo negativo: −2,5 al numero intero più vicino

   1. −2,5 sta a metà fra −3 e −2
   2. Il mezzo per eccesso si sposta via da zero, e via da zero dal lato negativo significa più in basso, quindi la risposta è −3
   3. Il troncamento si sposta verso lo zero, dando −2
   4. Il segno viene gestito dalla distanza dallo zero, non dalla direzione lungo la retta dei numeri

   Il caso che separa il mezzo per eccesso dal generico arrotondare verso l'alto. Qui entrambi i valori si muovono con la stessa regola, via da zero, ma sulla retta dei numeri vanno in direzioni opposte, perché lo zero sta in mezzo. Qualunque codice o regola descritta come arrotonda verso l'alto senza qualificazioni è ambigua esattamente per questa ragione, e le righe negative della tabella di riferimento mostrano lo stesso effetto in altre posizioni.

4. 1,005 a due cifre decimali

   1. I candidati sono 1,00 e 1,01
   2. La cifra che decide è la terza decimale, 5, che è esattamente il caso di mezzo
   3. Il mezzo per eccesso si sposta via da zero, quindi il valore arrotonda a 1,01
   4. Troncare scarta il 5 e tiene 1,00, con lo zero finale conservato perché la precisione resti visibile

   L'esempio che giustifica l'implementazione. La strada ovvia, moltiplicare per 100, arrotondare e dividere per 100, dà 1,00, perché 1,005 non si può memorizzare esattamente e il valore che viene memorizzato sta un soffio sotto 1,005. La risposta che una persona si aspetta è 1,01, ed è quella che si ottiene lavorando sulle cifre decimali. La stessa cosa succede su molti valori quotidiani, quindi un risultato sbagliato di uno sull'ultima cifra è di solito questo e non un errore nella regola.

5. 1567 a due cifre significative

   1. La prima cifra significativa è l'1, al posto delle migliaia; la seconda è il 5
   2. Due cifre significative significa tenere quelle due cifre e arrotondare alle centinaia
   3. La cifra che segue è 6, che manda il 5 per eccesso, quindi il valore diventa 1600
   4. Gli zeri finali restano, perché sono ciò che registra che due cifre significative sono state tenute
   5. Troncare nella stessa posizione dà 1500

   La stessa risposta che si ottiene arrotondando al centinaio, raggiunta dall'altro capo. Nota quello che il risultato non può dirti: 1600 scritto come numero semplice è indistinguibile da 1600 arrotondato al numero intero più vicino, o da una misura che era esattamente 1600. Tenere gli zeri è il massimo che questa notazione può fare, e portare le cifre significative attraverso un calcolo, dove il conteggio deve sopravvivere a moltiplicazioni e divisioni, è un problema separato dall'arrotondare un singolo valore.

Il valore deve stare fra −1.000.000.000 e 1.000.000.000, decimali compresi, e la posizione si sceglie da tredici opzioni invece di digitarla, quindi non c'è modo di chiedere una posizione fuori da quell'elenco. L'arrotondamento si fa sulle cifre decimali del valore così come è scritto, non scalando in virgola mobile, quindi i risultati corrispondono a quello che dicono le cifre: 1,005 a due cifre decimali qui fa 1,01, dove la solita strada moltiplica-e-divide dà 1,00. La stessa scelta ha una conseguenza visibile: i risultati sono sempre stampati con il punto decimale e mai con i separatori delle migliaia, quindi chi ha digitato una virgola come segno decimale nel risultato vede un punto. È voluto e corrisponde alle altre pagine che stampano risultati testuali. Gli zeri finali si tengono, perché registrano la precisione che la risposta dichiara, il che significa che 1234,6 e 1234,60 sono uscite diverse di posizioni diverse e non si scrivono allo stesso modo. I valori negativi si arrotondano per distanza dallo zero, quindi un valore negativo di mezzo si sposta in basso lungo la retta dei numeri invece che in alto. La tabella di riferimento qui sotto è fissa a 1234,5678 e non segue quello che digiti: mostra le prime sette opzioni applicate a quel solo numero, e le sei opzioni in cifre significative sono descritte nella sua nota invece di avere righe proprie. Qui non si arrotonda un totale parziale e non si accumula niente: questa pagina arrotonda un valore per calcolo.

Che cosa significa mezzo per eccesso?

Che un valore che sta esattamente a metà fra due candidati si sposta via da zero: 2,5 diventa 3 e −2,5 diventa −3. È la convenzione che si insegna a scuola ed è quella che usa questa pagina. Non è l'unica in circolazione: l'arrotondamento bancario manda il mezzo al vicino pari, evitando la piccola distorsione verso l'alto che arrotondare sempre i mezzi per eccesso introduce su lunghe liste di valori.

Qual è la differenza fra decimali e cifre significative?

I decimali si contano dalla virgola; le cifre significative si contano dalla prima cifra diversa da zero. 1567 a due cifre significative fa 1600, come arrotondare al centinaio, mentre 1567 a due decimali fa 1567,00. Le cifre significative sono la notazione che si usa per le misure, perché il conteggio non cambia quando la stessa grandezza viene scritta in unità diverse.

Perché 1,005 si arrotonda a 1,01 e non a 1,00?

Perché il valore sta sul punto di mezzo e la pagina arrotonda i mezzi via da zero, lavorando sulle cifre decimali invece che scalando in virgola mobile. La strada comune, moltiplicare per 100, arrotondare e dividere per 100, dà 1,00, dato che 1,005 viene memorizzato come un valore leggermente sotto 1,005. La risposta basata sulle cifre è 1,01, che è quello che dice la regola e quello che produrrebbe una persona scrivendo il numero a mano.

Che cos'è il troncamento e perché mostrarlo?

Il troncamento scarta le cifre in più invece di arrotondarle, il che sposta sempre il valore verso lo zero: 2,5 diventa 2 e −2,5 diventa −2. Viene stampato accanto al valore arrotondato nella stessa posizione perché la coppia è il modo più chiaro per vedere se la regola del mezzo è stata coinvolta: sugli ingressi lontani da un punto di mezzo i due risultati concordano, e dove differiscono è la convenzione ad aver fatto la differenza.

Gli zeri finali sono significativi?

Sì, e vengono tenuti di proposito. 1234,6 a un decimale e 1234,57 a due decimali sono affermazioni diverse su quanto il valore sia noto con precisione, e togliere lo zero finale cancellerebbe la differenza. Lo stesso vale per un numero intero arrotondato a cifre significative: 1600 tiene i suoi zeri perché sono ciò che registra che due cifre significative sono state tenute.

Questa pagina porta le cifre significative attraverso un calcolo?

No. Arrotonda un valore alla volta, e non porta una precisione attraverso una catena di operazioni, dove il risultato è limitato dall'ingresso meno preciso e i valori intermedi vanno tenuti non arrotondati fino alla fine. È un problema separato dall'arrotondare un singolo numero, perché richiede che il conteggio delle cifre significative sopravviva a moltiplicazioni e divisioni, cosa che un valore semplicemente arrotondato non può rappresentare.

• Rounding — the definition, the halfway rules including round-half-up and round-half-to-even, and how the choice affects accumulated results — Wolfram MathWorld (United States)
• Significant digits — how the count starts at the first non-zero digit, and why trailing zeros record precision rather than value — Wolfram MathWorld (United States)
• Nearest integer function — the special case of rounding to the nearest whole number, and the tie-breaking conventions defined for it — Wolfram MathWorld (United States)
• Approssimazione — come un valore viene sostituito da un altro più vicino, e perché la scelta della posizione cambia la precisione dichiarata — Treccani, Istituto della Enciclopedia Italiana (Italia)