Calcolatrice del resto

47 = 5 × 9 + 2 ⇒ quoziente 9, resto 2, e −47 = 5 × −10 + 3 con la convenzione verso il basso (euclidea) contro −47 = 5 × −9 + −2 con la convenzione troncata

47

Il dividendo, il numero che viene diviso, un numero intero da −1.000.000.000 a 1.000.000.000. I valori negativi sono ammessi e sono la ragione per cui esiste il campo della convenzione qui sotto. I decimali vengono rifiutati invece di essere arrotondati, dato che un resto è un'affermazione su numeri interi

5

Il divisore, un numero intero da −1.000.000.000 a 1.000.000.000. Non può essere 0: nessun quoziente soddisfare la verifica. Può anche essere negativo, e un divisore negativo cambia il segno del quoziente con entrambe le convenzioni — è la riga della verifica a tenere tutto in ordine

Troncata

La convenzione che scarta la parte frazionaria del quoziente esatto, muovendolo verso lo zero: −47 ÷ 5 dà −9 perché −9,4 viene troncato a −9. Il resto porta allora il segno del dividendo e può essere negativo. È quello che producono quasi tutti i linguaggi di programmazione ed è quella predefinita qui

Euclidea

La convenzione che sposta invece il quoziente giù fino al numero intero successivo, così il resto non è mai negativo: −47 ÷ 5 dà −10 con un resto di 3. L'aritmetica modulare richiede questa, perché un resto negativo non ha significato quando rappresenta una posizione in un ciclo. Le due concordano ogni volta che entrambi i numeri sono positivi

quoziente 9

Quante volte intere il divisore ci sta dentro. Con il troncamento è il quoziente esatto privato della parte frazionaria; con l'arrotondamento verso il basso è il quoziente esatto arrotondato in giù. I due differiscono esattamente di 1 quando i segni rendono negativo il resto, e mai altrimenti

resto 2

Quello che avanza, ed è il numero attorno a cui ruota tutta la pagina. È sempre più piccolo del divisore in valore assoluto, ed è 0 ogni volta che la divisione viene esatta. Il suo segno è tutta la differenza fra le due convenzioni: con il troncamento segue il dividendo, con l'arrotondamento verso il basso non scende mai sotto 0

Dividere le cose in gruppi è il caso di ogni giorno, ed è quello in cui la convenzione non conta mai: 47 oggetti in gruppi da 5 danno 9 gruppi pieni con 2 avanzati, e nessuno chiamerebbe quella risposta −9 con −2 avanzati. La convenzione comincia a contare nel momento in cui i numeri possono diventare negativi, e succede più spesso di quanto sembri. La divisione intera in programmazione è il caso comune — quasi tutti i linguaggi troncano, quindi −47 / 5 fa −9 e il resto è −2, e il codice che dà per scontato un resto non negativo si rompe sugli ingressi negativi. L'aritmetica modulare è l'altro lato della questione: orari, date di calendario, lo scorrere ciclico di un elenco e l'aritmetica dei calcolatori su interi a larghezza fissa hanno tutti bisogno della versione euclidea, perché tre passi indietro da qui deve cadere su una posizione reale del ciclo. A scuola il resto con il troncamento è quello che si insegna insieme alla divisione in colonna, con i negativi esclusi oppure gestiti con la stessa regola del segno che segue il dividendo. La riga della verifica vale la pena di usarla in ognuno di questi contesti, perché le due convenzioni producono quozienti che differiscono di uno e resti che differiscono del divisore, ed entrambe le coppie soddisfano la definizione — una coppia che non la soddisfa è un difetto a prescindere dalla convenzione che si aveva in mente.

1. 47 ÷ 5, dove le due convenzioni concordano

   1. Il 5 sta nel 47 nove volte: 5 × 9 = 45
   2. 47 − 45 = 2, quindi avanzano 2
   3. Il quoziente esatto è 9,4, e troncarlo dà 9
   4. Arrotondare 9,4 verso il basso dà 9 anche qui, quindi le due convenzioni concordano
   5. Verifica: 5 × 9 + 2 = 47

   Il caso predefinito, e quello in cui il campo della convenzione non fa differenza. Le due convenzioni concordano ogni volta che dividendo e divisore hanno lo stesso segno, il che comprende ogni coppia di numeri positivi — la scelta si vede solo quando uno dei due è negativo. Leggere la verifica come una frase è l'abitudine che vale la pena prendere: il divisore per il quoziente più il resto deve ridare esattamente il dividendo.

2. −47 ÷ 5 troncata: il resto diventa negativo

   1. Il quoziente esatto è −47 ÷ 5 = −9,4
   2. Il troncamento scarta la parte frazionaria, muovendo il quoziente verso lo zero: −9
   3. 5 × −9 = −45, che è 2 in più di −47, quindi quei 2 vanno tolti: il resto è −2
   4. Il resto porta il segno del dividendo, ed è quello che lo rende negativo qui
   5. Verifica: 5 × −9 + −2 = −47

   Il quoziente è −9 invece che −10, e il resto è −2 invece che 3. Sia questa coppia sia quella dell'esempio successivo soddisfano la stessa definizione, ed è il punto della pagina: −9 con resto −2 e −10 con resto 3 sono entrambe scomposizioni corrette di −47, ed è la convenzione a decidere quale delle due ottieni. Quasi tutti i linguaggi di programmazione finiscono qui, quindi il codice che dà per scontato che un resto non sia mai negativo verrà sorpreso da questa riga.

3. −47 ÷ 5 euclidea: il resto resta non negativo

   1. Il quoziente esatto è ancora −47 ÷ 5 = −9,4
   2. L'arrotondamento verso il basso lo porta al numero intero successivo invece che verso lo zero: −10
   3. 5 × −10 = −50, che sta 3 sotto −47, quindi avanzano 3: il resto è 3
   4. Il resto è non negativo, ed è quello che questa convenzione garantisce
   5. Verifica: 5 × −10 + 3 = −47

   Stesso dividendo, stesso divisore, risposta diversa — e questa non è una correzione dell'esempio precedente. La convenzione euclidea è quella che serve all'aritmetica modulare, perché un resto che rappresenta una posizione in un ciclo non può essere negativo; −47 modulo 5 è 3 in quel contesto, e ci si aspetta che ogni risultato di un'operazione di modulo cada fra 0 e il divisore. Il quoziente è uno in meno rispetto al troncamento, e il resto è più grande esattamente del divisore, che è il rapporto fisso fra le due convenzioni.

4. Un divisore negativo vicino al limite: 1.000.000.000 ÷ −999.999.999

   1. Il divisore è negativo, quindi il quoziente esatto è negativo: circa −1,000000001
   2. Troncare verso lo zero dà −1
   3. −999.999.999 × −1 = 999.999.999, che sta 1 sotto 1.000.000.000
   4. Il resto è 1, e prende il segno del dividendo, che è positivo
   5. Verifica: −999.999.999 × −1 + 1 = 1.000.000.000

   Entrambi i numeri stanno al bordo di quello che la pagina accetta, e il quoziente viene −1 perché il divisore è appena appena più grande del dividendo in valore assoluto. La riga della verifica è la parte che vale la pena leggere: due numeri negativi che moltiplicati danno un positivo, più un resto di 1, cadono esattamente sul dividendo. Un divisore negativo cambia il segno del quoziente con entrambe le convenzioni, mentre il resto continua a seguire il dividendo.

Sia il dividendo sia il divisore devono essere numeri interi da −1.000.000.000 a 1.000.000.000 inclusi, e il divisore non può essere 0 con nessuna delle due convenzioni — non esiste un numero che, moltiplicato per 0, ridia un dividendo diverso da zero, quindi nessuna coppia di quoziente e resto potrebbe soddisfare la verifica. I decimali vengono rifiutati invece di essere arrotondati: un resto è un'affermazione su numeri interi che dividono numeri interi. Il campo della convenzione prende uno di due valori, troncata o euclidea, ed entrambi sono sempre disponibili; non c'è una terza opzione e la pagina non tira a indovinare quale intendevi. Con entrambi i numeri positivi la scelta non fa differenza, e le due convenzioni non sono mai in disaccordo su nient'altro che il segno del resto e un quoziente che differisce di uno. Con il troncamento il resto può essere negativo, e quello è il comportamento della convenzione e non un errore. La tabella di riferimento qui sotto è fissa su ±47 e ±5 e non segue il tuo ingresso: espone tutte e quattro le combinazioni di segno perché le due convenzioni si possano confrontare fianco a fianco, mentre il pannello qui sopra risponde a quello che hai digitato. Ogni valore è esatto — tutti e quattro i numeri sono interi ben dentro l'intervallo che una macchina tiene con precisione — quindi qui non viene arrotondato niente.

Perché ci sono due risposte per la stessa divisione?

Perché la definizione dice soltanto che il quoziente per il divisore più il resto deve ridare il dividendo, e per un dividendo negativo la soddisfano sia un quoziente più piccolo con un resto negativo sia un quoziente più grande con un resto positivo. −47 ÷ 5 fa −9 con resto −2 quando il quoziente viene troncato verso lo zero, e −10 con resto 3 quando viene arrotondato verso il basso. Entrambe sono corrette, ed è la convenzione a decidere quale ottieni.

Quale convenzione dovrei usare?

Quella troncata è quella predefinita qui perché è ciò che producono quasi tutti i linguaggi di programmazione ed è ciò che quasi tutti intendono per divisione intera — il quoziente si muove verso lo zero e il resto prende il segno del dividendo. Scegli quella euclidea quando il resto deve essere non negativo: l'operazione modulo in senso matematico, le posizioni in un ciclo, l'aritmetica del calendario e tutto ciò in cui il resto è un indice dentro un elenco che si ripete. Con due numeri positivi la scelta non fa alcuna differenza.

Qual è il resto quando il divisore è negativo?

Vale la stessa regola, con il segno del quoziente cambiato. 47 ÷ −5 dà −9 con un resto di 2 con il troncamento, perché il resto segue il dividendo e non il divisore. Il fatto che il divisore sia negativo cambia il segno del quoziente e lascia intatta la regola sul segno del resto, ed è quello che mostra la seconda riga della tabella.

È la stessa cosa dell'operazione modulo?

Imparentata, ma non identica. L'operazione modulo restituisce solo il resto ed è definita di norma con un risultato non negativo, che è la convenzione euclidea di questa pagina. La differenza si vede sugli ingressi negativi: −47 modulo 5 fa 3, mentre la divisione intera con il troncamento restituisce −2. Se quello che vuoi è un risultato non negativo scegli la convenzione euclidea; se vuoi il quoziente arrotondato verso lo zero scegli quella troncata.

Qual è il resto quando la divisione viene esatta?

Zero, con entrambe le convenzioni. Quando il divisore ci sta un numero intero di volte non avanza niente, e la verifica si legge come divisore per quoziente uguale dividendo senza un terzo termine di cui preoccuparsi. Un resto di 0 è una risposta normale e significa che la divisione era esatta, non che l'output abbia fallito.

Perché il divisore non può essere zero?

Perché nessuna coppia di quoziente e resto potrebbe soddisfare la verifica. Se il divisore è 0 allora 0 per qualunque quoziente fa 0, quindi la verifica avrebbe bisogno che il resto fosse uguale al dividendo e al tempo stesso più piccolo del divisore in valore assoluto — impossibile per qualunque dividendo diverso da zero, e con un dividendo di 0 la risposta sarebbe tutti i numeri insieme invece di una sola. La pagina lo rifiuta invece di restituire qualcosa di arbitrario.

• Remainder — the definition, the identity linking dividend, divisor, quotient and remainder, and the different conventions in use when signs are involved — Wolfram MathWorld (United States)
• Modular arithmetic — where the non-negative remainder convention comes from, and why a negative remainder is not usable as a position in a cycle — Wolfram MathWorld (United States)
• Division — the dividend, divisor and quotient, and the identity restated as the check the page prints — Wolfram MathWorld (United States)
• Resto — il resto della divisione fra interi e la relazione che lega dividendo, divisore e quoziente, da cui dipendono le due convenzioni sui segni — Treccani, Istituto della Enciclopedia Italiana (Italia)