Calcolatrice del modulo

-47 ÷ 5 = -9 con resto -2 (troncata); -2 + 5 = 3, quindi -47 mod 5 = 3 e -47 ≡ 3 (mod 5)

a

Il dividendo, il numero che viene ridotto. Può essere negativo, ed è il caso che vale la pena provare: a mod n deve uscire non negativo anche quando a non lo è, quindi -47 deve finire su 3 e non su -2. Sono accettati numeri interi da -1.000.000.000 a 1.000.000.000, e 0 è un dividendo del tutto valido, il cui residuo è sempre 0

n

Il modulo, il numero per cui si divide. Può essere negativo anche lui, e il residuo non cambia quando lo è: 47 mod -5 e 47 mod 5 fanno entrambi 2, perché l'affermazione n divide a - r e l'affermazione -n divide a - r dicono la stessa cosa in due modi diversi. Zero è l'unico valore rifiutato, e la pagina stampa n esattamente come è stato inserito invece di sostituirlo con il suo valore assoluto

r

Il residuo, cioè la risposta. È il più piccolo numero non negativo che si può togliere ad a e lasciare un multiplo di n. Due condizioni lo fissano del tutto: r è almeno 0, e r è strettamente minore della grandezza di n. -47 mod 5 dà 3 perché 3 è il più piccolo valore non negativo per cui -47 - 3 = -50 è un multiplo di 5

((a mod n) + |n|) mod |n|

La ricetta in due passaggi che la pagina segue, e il motivo per cui il secondo passaggio c'è. Il primo passaggio è quello che calcola la maggior parte dei linguaggi e può restituire una risposta negativa; il secondo aggiunge la grandezza del modulo e riduce di nuovo, il che spinge il risultato nell'intervallo non negativo senza cambiare da quale multiplo di n viene misurato. Usare la grandezza di n invece di n è ciò che lascia passare invariato un modulo negativo

a ≡ r (mod n)

La congruenza, cioè la prima riga del pannello dei risultati. Dice che n divide a - r esattamente, ed è la stessa affermazione del residuo scritto da solo, con il modulo e il dividendo nominati accanto. Il simbolo a tre barre e la parola chiave mod sono notazione e non parole, quindi vengono stampati identici in ogni lingua del sito, e non viene inserito nessun separatore delle migliaia dentro i numeri

-47 ≡ 3 (mod 5)

L'ingresso predefinito scritto per esteso. È il caso che separa questa pagina da un calcolatore del resto: gli stessi due numeri danno -9 con resto -2 secondo la convenzione troncata che usa una normale calcolatrice a quattro operazioni, mentre qui danno -47 ≡ 3 (mod 5). Inserendo 47 al posto di -47 si ottiene 2 invece di 3, quindi un solo segno meno sposta la risposta di un passo intero lungo il ciclo

Rivolgiti a questa pagina ogni volta che la risposta deve girare in tondo invece di fermarsi. L'orologio è l'esempio più antico: le 10 più 5 ore fanno le 3, che è 15 mod 12, e il fatto che il residuo non esca mai negativo è esattamente ciò che tiene leggibile un quadrante. Il calendario ha la stessa forma: il giorno 100 di un anno, o il giorno della settimana di una data, è un residuo modulo 7. In programmazione il modulo è come si verifica se un numero ne divide un altro (a mod n è 0 quando n ci entra esatto), come si riporta un indice dentro l'intervallo in un buffer circolare o in una tabella hash, come si tiene un contatore a ciclo continuo dentro limiti fissi, e come si sceglie a turno una voce da una lista. La crittografia è costruita sopra: RSA e Diffie-Hellman sono aritmetica modulare su numeri molto grandi, ed è proprio per questo che il residuo viene definito non negativo, dato che un risultato con segno sarebbe un'aritmetica ambigua su cui costruire. Le cifre di controllo, dai numeri di conto corrente ai codici ISBN, sono residui modulo 9, 10 o 11. Quando invece la domanda è quante volte il divisore ci entra e quanto avanza secondo la convenzione della tua calcolatrice, la pagina del resto è quella giusta, perché mette le due convenzioni una accanto all'altra; quando la domanda è che cosa hanno in comune due numeri, la pagina del massimo comune divisore risponde direttamente.

1. La trappola del segno: -47 mod 5

   1. Dividi come al solito e butta via la parte frazionaria: -47 ÷ 5 = -9,4, quindi il quoziente troncato è -9
   2. -9 × 5 = -45, e -47 - (-45) = -2, quindi il resto troncato è -2
   3. Il resto negativo non è il residuo: il residuo deve essere almeno 0, quindi aggiungi la grandezza del modulo e ottieni -2 + 5 = 3
   4. Controlla che il risultato stia nell'intervallo: 0 ≤ 3 < 5, quindi non serve nessun altro aggiustamento
   5. Leggi la congruenza: -47 ≡ 3 (mod 5), che significa che 5 divide -47 - 3 = -50 esattamente

   L'ingresso predefinito, e quello che spiega perché questa pagina esiste. Una calcolatrice a quattro operazioni, e la maggior parte dei linguaggi di programmazione, per questa divisione riporta -9 con resto -2; quella risposta non è sbagliata, sta rispondendo a una domanda formulata in modo diverso. Il residuo qui è 3 perché 3 è il più piccolo valore non negativo che lascia un multiplo di 5. Nota che 47 mod 5 fa 2, non -3 e non 3: spostare il dividendo di un passo intero lungo il ciclo sposta il residuo di uno, e i due residui differiscono esattamente di 1 e non di 5.

2. Un modulo negativo: 47 mod -5

   1. 47 ÷ 5 = 9,4, quindi il 5 ci entra nove volte e 9 × 5 = 45
   2. 47 - 45 = 2, che sta già nell'intervallo 0 ≤ 2 < 5
   3. Il modulo è negativo, ma la divisibilità non guarda il segno: -5 divide 45 esattamente, quindi divide esattamente anche 47 - 2
   4. La congruenza si scrive con il modulo così com'è stato inserito: 47 ≡ 2 (mod -5)

   Il caso che mostra come il residuo sia insensibile al segno del modulo. Sostituire -5 con 5 non cambia niente nella risposta, perché -5 divide un numero esattamente quando lo divide 5. La pagina conserva il segno meno nella congruenza stampata invece di toglierlo in silenzio: riscrivere -5 come 5 sembrerebbe che l'ingresso sia stato scartato. Confronta le due righe della tabella di riferimento che hanno il divisore -5 con quelle che hanno 5: è solo il segno del dividendo a spostare il residuo.

3. Il caso ordinario: 1234 mod 12

   1. 12 × 100 = 1200, e 1234 - 1200 = 34, quindi vai avanti: 12 × 2 = 24 lascia 34 - 24 = 10
   2. 12 × 3 = 36 supererebbe 34, quindi il quoziente è 102 e quello che avanza è 10
   3. 10 è almeno 0 ed è minore di 12, quindi è già il residuo
   4. Leggilo come congruenza: 1234 ≡ 10 (mod 12)

   Il caso semplice con due numeri positivi, dove il residuo e un resto ordinario coincidono, ed è proprio questo il motivo per cui è incluso. Quando entrambi i numeri sono positivi non c'è niente da riconciliare, e la pagina sta facendo lo stesso lavoro di qualsiasi strumento per il resto. Le righe interessanti sono quelle con un segno meno dentro. Questa coppia in particolare ha una seconda lettura che vale la pena notare: 1234 mod 12 è come si chiede su quale ora cade una durata quando il quadrante ha dodici ore, e 10 è un'ora del tutto sensata mentre -2 non lo sarebbe stata.

Il modulo non può essere zero. La divisione per zero non ha risposta, quindi non c'è nessun resto da riportare e tanto meno uno non negativo minimo; la pagina rifiuta l'ingresso invece di restituire un segnaposto che sembra un risultato. Entrambi i numeri devono essere interi. Un modulo frazionario ha una sua definizione in alcuni rami della matematica, ma non è quella che questa pagina implementa, quindi 47,5 viene rifiutato invece di essere arrotondato in silenzio a 48 e risolto come se fosse quello che hai chiesto. La grandezza di ciascun numero è limitata a un miliardo, il che tiene ogni passaggio intermedio dentro l'intervallo in cui un numero in doppia precisione rappresenta ancora gli interi esattamente; oltre quel limite l'aritmetica comincerebbe ad arrotondare e la risposta sembrerebbe del tutto normale pur essendo sbagliata. La pagina riporta un residuo e una congruenza e nient'altro: non dà il quoziente, non elenca gli altri numeri congrui al tuo dividendo e non fa aritmetica modulare su più di una coppia alla volta. Un modulo negativo è accettato e stampato così com'è stato inserito, il che significa che due congruenze che dicono la stessa cosa possono apparire diverse sulla pagina: 47 ≡ 2 (mod -5) e 47 ≡ 2 (mod 5) sono la stessa affermazione. Infine la tabella di riferimento qui sotto mostra quattro coppie fisse invece di seguire il tuo ingresso; è il pannello dei risultati la parte che risponde a quello che hai scritto.

Perché -47 mod 5 fa 3 e non -2?

Perché il residuo è definito come il più piccolo numero non negativo che si può sottrarre dal dividendo per lasciare un multiplo del modulo. Sia -2 sia 3 hanno titolo nel senso che -47 - (-2) = -45 e -47 - 3 = -50 sono entrambi multipli di 5, quindi la sola aritmetica non sceglie fra loro. A scegliere è la definizione: il residuo vive nell'intervallo da 0 fino al modulo escluso, e -2 ne sta fuori. Il resto viene da sé. Quello che ottieni da un linguaggio di programmazione dipende dalla convenzione che ha scelto, e JavaScript, C, Java e Go hanno scelto l'altra, quella in cui il segno segue il dividendo. Python ha scelto questa. Nessuno dei due linguaggi è rotto: rispondono a domande formulate in modo diverso.

Il modulo può essere negativo?

Sì, e il residuo non risente del suo segno. Un modulo negativo funziona perché la divisibilità ignora i segni: -5 divide un numero esattamente quando lo divide 5, quindi l'insieme dei multipli di -5 è lo stesso insieme dei multipli di 5, e il più piccolo numero non negativo di quell'insieme è lo stesso in entrambi i casi. La pagina stampa il modulo esattamente come è stato inserito invece di sostituire -5 con 5, perché riscrivere il tuo ingresso sembrerebbe che il segno sia stato perso. Quindi 47 mod -5 fa 2 e anche 47 mod 5 fa 2, e le due congruenze stampate differiscono solo perché una mostra un segno meno.

Che cosa succede se inserisco 0 come modulo?

La pagina lo rifiuta. Mod 0 non ha nessun valore da riportare: zero divide solo zero, quindi non c'è nessun multiplo intero di 0 con cui misurare il dividendo e nessun resto da prendere. Restituire 0, o il dividendo stesso, sembrerebbe una risposta e sarebbe sbagliata per ogni ingresso. Rifiutare l'ingresso è l'esito onesto. Del resto la divisione per zero è indefinita in tutta l'aritmetica, per la stessa ragione.

È la stessa cosa del calcolatore del resto di questo sito?

No, e i due danno risposte diverse allo stesso conto, che è il modo più chiaro per vedere la differenza. La pagina del resto mette due convenzioni una accanto all'altra e ti lascia scegliere, perché la divisione in colonna ne ha davvero due in circolazione e a scuola si può insegnare l'una o l'altra. Questa pagina non offre una scelta, perché il modulo ha una sola lettura: la risposta non è mai negativa. Per -47 diviso 5 la pagina del resto mostrerà -9 con resto -2 secondo la sua convenzione predefinita, mentre questa pagina mostra la congruenza -47 ≡ 3 (mod 5). Usa quella pagina per vedere come le due convenzioni differiscono su una coppia di numeri precisa; usa questa quando quello che vuoi è il residuo stesso.

Dove si usa davvero un residuo?

Ovunque un conteggio debba girare in tondo invece di crescere all'infinito. Il quadrante di un orologio è il caso quotidiano: con dodici ore sul quadrante, l'ora dopo le 10 più 5 ore è 15 mod 12, cioè le 3. I giorni della settimana funzionano allo stesso modo modulo 7. In programmazione un modulo verifica la divisibilità, perché a mod n è 0 esattamente quando n entra in a senza resto; riporta un indice dentro l'intervallo in un buffer circolare o in una tabella hash, dove un indice uscito dalla fine deve rientrare dall'inizio; e tiene un contatore a ciclo continuo dentro limiti fissi. La crittografia a chiave pubblica è aritmetica modulare su numeri molto grandi, ed è per questo che la convenzione non negativa conta: un'aritmetica che producesse risultati con segno sarebbe ambigua su cui costruire.

Perché viene mostrata solo la congruenza e non il quoziente?

Perché il quoziente non fa parte di quello che dice un residuo. Una congruenza nomina il dividendo, il residuo e il modulo, e l'affermazione che fa è che il modulo divide la differenza fra i primi due. Quell'affermazione è completa senza un quoziente, dato che il quoziente è il numero che ottieni chiedendo quante volte intere il modulo ci entra, e quella domanda appartiene alla divisione in colonna. Se vuoi il quoziente accanto, sia il calcolatore del resto sia quello della divisione in colonna lo riportano. Il residuo da solo è comunque stampato, sulla seconda riga del pannello dei risultati, così chi vuole solo il numero non deve estrarlo dalla frase.

• Modular Arithmetic — the arithmetic of remainders, including the convention that the residue is taken in the interval from 0 up to the modulus — Wolfram MathWorld (United States)
• Congruence — the notation a ≡ r (mod n) and what it means for one number to divide the difference of two others exactly — Wolfram MathWorld (United States)
• Remainder (%) — the JavaScript operator whose sign follows the dividend, the behaviour that makes -47 % 5 return -2 and the reason a second step is needed here — MDN Web Docs (Mozilla)
• Congruenza — la relazione a ≡ r (mod n), la notazione che la scrive e che cosa significa che un numero divide esattamente la differenza fra due altri — Treccani, Istituto della Enciclopedia Italiana (Italia)