Salta al contenuto principale
CalcMax

Calcolatrice del MCD

Risultato

12

Massimo comune divisore

Divisori comuni
1, 2, 3, 4, 6, 12

Il massimo comun divisore è il più grande numero intero che divide tutti i numeri di un elenco senza lasciare resto. Per 24, 36 e 60 è 12: nessun numero più grande li divide tutti e tre, e ogni numero che li divide tutti e tre — 1, 2, 3, 4, 6 e 12 — è un loro divisore comune. Questa pagina stampa entrambe le metà di quella risposta, perché il più grande da solo è facile da enunciare e difficile da verificare, mentre l'elenco completo dei divisori comuni mostra da dove viene. Ci sono tre strade per arrivare alla risposta e tutte e tre vale la pena conoscerle. La prima è scrivere i divisori di ogni numero e tenere il più grande che hanno in comune, ed è quello che fa la tabella qui sotto per 24, 36 e 60. La seconda è scomporre ogni numero nella sua fattorizzazione prima e tenere solo i primi su cui concordano, ripetuti tante volte quante concordano: 24 è 2³ × 3, 36 è 2² × 3² e 60 è 2² × 3 × 5, quindi tutti e tre condividono 2² e un 3, e 2² × 3 fa 12. La fattorizzazione prima è il metodo da preferire quando i numeri sono grandi ma scomponibili, perché spiega perché la risposta è quella che è. La terza è l'algoritmo di Euclide, che sostituisce ripetutamente il più grande di due numeri con il suo resto nella divisione per il più piccolo: per 1071 e 462 la catena è 1071 → 147 → 21, e l'ultimo resto diverso da zero è la risposta, 21. Non richiede nessuna scomposizione, ed è per questo che è il metodo che regge anche su numeri che non riusciresti a spezzare a occhio. Due numeri il cui unico divisore comune è 1 si dicono coprimi, e il loro massimo comun divisore è 1: 9 e 20 sono coprimi, e lo sono anche due numeri interi consecutivi qualsiasi. Il massimo comun divisore serve a mettere una frazione ai minimi termini: dividendo numeratore e denominatore di 24/36 per 12 si ottiene 2/3, che è lo stesso numero scritto con il denominatore più piccolo possibile.

I divisori e le fattorizzazioni prime di 24, 36 e 60, cioè l'ingresso predefinito

NumeroFattorizzazione primaDivisori
242^3 * 31, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
362^2 * 3^21, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
602^2 * 3 * 51, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Leggi la colonna dei divisori verso il basso e i tre numeri condivisi sono quelli che compaiono in tutte e tre le righe: 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Il più grande di essi è la risposta. La colonna della fattorizzazione dice la stessa cosa in un secondo modo, e il secondo modo è quello che regge al crescere dei numeri: i primi condivisi sono 2² e 3, e 2² × 3 fa 12. Nota che la parte condivisa è la potenza più piccola di ogni primo condiviso, non la più grande: 36 ha 3² ma 24 ha soltanto 3¹, e il divisore deve dividere anche 24, quindi porta con sé un solo 3. Nota anche che 60 porta un primo che gli altri non hanno affatto, il 5, e quel primo semplicemente esce dalla risposta: un divisore deve dividere ogni numero dell'elenco, quindi un primo che manca in uno solo di essi manca anche dalla risposta. La tabella non segue i numeri che hai digitato: il pannello qui sopra risponde a quelli, questa mostra i tre metodi che si incontrano su un solo esempio. I numeri dentro la tabella sono calcolati dalla pagina e gli esponenti ci compaiono scritti con il simbolo ^, per esempio 2^3, mentre il testo qui sopra usa 2³ per lo stesso numero: sono due scritture della stessa cosa, non un errore. Dove i numeri hanno decimali la tabella usa il punto al posto della virgola e non usa mai i separatori delle migliaia, mentre il testo che stai leggendo fa il contrario. Vale per tutti e due i casi: è lo stesso numero scritto in due modi, non un errore.

Formula

24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3², 60 = 2² × 3 × 5 ⇒ MCD(24, 36, 60) = 2² × 3 = 12, e i divisori comuni di tutti e tre sono 1, 2, 3, 4, 6, 12

24, 36, 60
I numeri da confrontare, da due a dieci, ciascuno un intero da 1 a 1.000.000. Sono separati da spazi, virgole o punti e virgola, quindi 24 36 60 e 24, 36, 60 sono lo stesso ingresso. Un punto decimale o una barra di frazione viene rifiutato invece di essere arrotondato, e lo stesso vale per lo 0: non esiste una convenzione unica per MCD(0, 0), e questa pagina non ne sceglie una al posto tuo
2³ × 3
La fattorizzazione prima di 24: tre fattori di due e un fattore di tre. Ogni numero intero maggiore di 1 ha esattamente una scomposizione di questo tipo, ed è ciò che fa funzionare il secondo metodo
2² × 3
La parte su cui tutte e tre le fattorizzazioni concordano: due due e un tre, quindi 4 × 3 = 12. La regola è prendere la potenza più piccola di ogni primo condiviso, non la più grande: il divisore deve dividere tutti i numeri, quindi non può mai essere più di quanto consenta il più stretto di essi
1, 2, 3, 4, 6, 12
Tutti i divisori comuni, in ordine crescente. L'ultimo è il massimo comun divisore, e l'elenco è la verifica: 12 divide 24, 36 e 60 senza resto, mentre il divisore subito sopra di lui, 18, divide soltanto 36
MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c)
Come si trattano più di due numeri: due alla volta, ripiegando il risultato corrente dentro il numero successivo. Non è un metodo a parte, è il metodo per due numeri applicato ripetutamente, ed è per questo che la pagina dà lo stesso risultato su tre numeri che su qualunque coppia da cui parti
coprimi
Il nome di una coppia il cui unico divisore comune è 1, e che quindi ha massimo comun divisore pari a 1. 9 e 20 sono coprimi anche se nessuno dei due è un numero primo, e due numeri interi consecutivi qualsiasi sono sempre coprimi

Mettere una frazione ai minimi termini è l'uso quotidiano: 24/36 diventa 2/3 una volta divisi entrambi i membri per 12, e lo stesso passo è la prima cosa che fa ogni pagina sulle frazioni qui accanto. Ridurre una ricetta o un disegno al loro rapporto intero più piccolo è la stessa operazione con altri vestiti: una miscela scritta 24 : 36 : 60 è la stessa miscela di 2 : 3 : 5, e la seconda versione è quella che sta su un'etichetta. Nei compiti di aritmetica il massimo comun divisore viene chiesto direttamente, e l'elenco stampato dei divisori comuni è lo svolgimento del calcolo: mostra che la risposta è stata trovata confrontando i divisori invece di essere indovinata. Ci sono altri due posti in cui compare. Piastrellare un rettangolo con le piastrelle quadrate più grandi possibile è una domanda sul massimo comun divisore travestita, e la risposta è il lato della piastrella. E nella teoria dei numeri, il fatto che due numeri siano coprimi è la condizione che fa funzionare diversi altri risultati, compreso quello dietro la crittografia RSA: un modulo è sicuro solo quando è coprimo rispetto all'esponente usato con esso. Quando i numeri sono scomodi, 1071 e 462 per esempio, scomporli a mano smette di essere praticabile e subentra l'algoritmo di Euclide; gli esempi di questa pagina mostrano entrambe le strade che arrivano allo stesso 21.

Esempi svolti

  1. Il massimo comun divisore di 24, 36 e 60

    1. Divisori di 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
    2. Divisori di 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
    3. Divisori di 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
    4. Tieni quelli che compaiono in tutti e tre gli elenchi: 1, 2, 3, 4, 6, 12
    5. Il più grande di questi è 12, quindi il massimo comun divisore è 12

    L'ingresso predefinito, e quello che la tabella qui sotto ripercorre per intero. Per via della fattorizzazione prima: 24 è 2³ × 3, 36 è 2² × 3², 60 è 2² × 3 × 5, tutti e tre condividono 2² e un 3, e 2² × 3 fa 12. L'elenco dei divisori comuni è la parte che vale la pena conservare: è l'unica uscita che mostra che la risposta è il più grande e non semplicemente un divisore condiviso, dato che 8 e 9 dividono due dei tre numeri ma non tutti e tre.

  2. Numeri scomodi: 1071 e 462

    1. 1071 ÷ 462 = 2 con resto 147
    2. 462 ÷ 147 = 3 con resto 21
    3. 147 ÷ 21 = 7 con resto 0 — il resto è arrivato a zero, quindi ci si ferma
    4. L'ultimo resto diverso da zero è 21, quindi il massimo comun divisore è 21
    5. Verifica scomponendo entrambi: 1071 = 3 × 7 × 51 e 462 = 2 × 3 × 7 × 11, quindi la parte in comune è 3 × 7

    Questa coppia è il motivo per cui l'algoritmo di Euclide è sulla pagina: nessuno dei due numeri è scomponibile a colpo d'occhio, e elencare i divisori a mano sarebbe lento e pieno di trappole. Quattro divisioni chiudono la questione. La risposta 21 è anche il più grande numero che divide entrambi, e l'elenco condiviso è corto — 1, 3, 7, 21 — il che di solito è il segno che due numeri hanno poco in comune.

  3. Numeri coprimi: 9 e 20

    1. Divisori di 9: 1, 3, 9
    2. Divisori di 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
    3. L'unico divisore che i due elenchi hanno in comune è 1
    4. Il massimo comun divisore è quindi 1

    Una risposta pari a 1 è una risposta vera, non un fallimento: i due numeri sono coprimi. Succede ogni volta che i numeri non condividono nessun primo, ed è frequente: due numeri interi consecutivi sono sempre coprimi, e lo è anche un numero primo accoppiato con un numero che non è un suo multiplo. Su questa pagina una coppia coprima torna con il più corto elenco di divisori comuni possibile, un solo 1.

  4. Un numero accoppiato con se stesso: 36 e 36

    1. Divisori di 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
    2. Le due voci dell'elenco sono lo stesso numero, quindi i due elenchi di divisori sono identici
    3. Il più grande divisore condiviso è 36 stesso

    Il tetto superiore di ciò che la risposta può essere: il massimo comun divisore di un elenco non può mai essere più grande del numero più piccolo che contiene, e raggiunge esattamente quel tetto quando il numero più piccolo divide tutti gli altri. Ripetere un numero nell'ingresso non cambia niente: il massimo comun divisore di 36 e 36 è 36, lo stesso che quello di un elenco con un solo elemento.

Limiti

Ogni numero deve essere un intero da 1 a 1.000.000, e devono essere fra due e dieci. Lo zero viene rifiutato, ed è una decisione e non una dimenticanza: MCD(0, 5) vale 5 sotto una convenzione diffusa ed è indefinito sotto altre, e MCD(0, 0) vale 0 in alcuni libri di testo e non è definito affatto nel resto. Stampare una di quelle risposte sarebbe sbagliato per un lettore che segue una convenzione diversa, quindi la pagina chiede invece numeri positivi. Anche i numeri negativi vengono rifiutati per un motivo dello stesso tipo: il massimo comun divisore di −24 e 36 è 12 nella maggior parte dei trattamenti, ma le regole sui segni sono una convenzione a parte che questa pagina non enuncia. I decimali e le frazioni vengono rifiutati invece di essere arrotondati: un massimo comun divisore è un'affermazione su numeri interi che dividono numeri interi, e 2,5 ÷ 1,25 non ha resto, il che renderebbe la risposta priva di senso. I separatori possono essere spazi, virgole o punti e virgola, mescolati o no; qualunque altra cosa viene trattata come parte di un numero e rende l'ingresso illeggibile. La tabella di riferimento qui sotto è fissa su 24, 36 e 60 e non segue quello che hai digitato: il pannello risponde ai tuoi numeri, la tabella mostra il metodo. Le voci ripetute sono ammesse e non cambiano niente. La risposta è esatta, mai arrotondata: ogni valore su questa pagina è un intero ben dentro l'intervallo che una macchina tiene esattamente.

Domande frequenti

Come si trova il massimo comun divisore a mano?
Elenca i divisori di ciascun numero e prendi il più grande che hanno tutti in comune. Per 24, 36 e 60 quegli elenchi si fermano a 12, quindi il massimo comun divisore è 12. La strada più rapida per numeri grandi è l'algoritmo di Euclide: dividi il più grande per il più piccolo, sostituisci il più grande con il resto e ripeti finché il resto è zero — per 1071 e 462 sono quattro divisioni e la risposta è 21. Entrambe le strade danno lo stesso numero, e tutte e due sono mostrate negli esempi qui sopra.
Che cosa significa quando il MCD è 1?
Che i numeri sono coprimi, il che è una risposta normale e non il segno che qualcosa è andato storto. 9 e 20 non condividono nessun primo, quindi 1 è l'unico numero che li divide entrambi. Succede spesso: due numeri interi consecutivi qualsiasi sono coprimi, e lo è anche un numero primo accoppiato con qualcosa che non è un suo multiplo. In quel caso l'elenco dei divisori comuni torna con un solo elemento, un 1.
Perché la pagina rifiuta lo zero e i numeri negativi?
Perché la risposta dipenderebbe da una convenzione che questa pagina non enuncia. MCD(0, 5) vale 5 in molti libri di testo ed è indefinito in altri, e MCD(0, 0) vale 0 in alcuni trattamenti e non è definito affatto nel resto. I negativi portano con sé un insieme separato di regole sui segni. Invece di scegliere una convenzione e stamparla in silenzio, la pagina chiede numeri interi da 1 in su, dove tutte le fonti concordano.
Come funziona il metodo della fattorizzazione prima?
Scomponi ogni numero in primi, poi tieni i primi che compaiono in tutti i numeri prendendo la potenza più piccola di ciascuno. Per 24, 36 e 60 sono 2² e 3, quindi la risposta è 12. La ragione per cui deve essere la potenza più piccola è che il divisore deve dividere ogni numero dell'elenco: 36 ha 3² ma 24 ha soltanto un 3, quindi un secondo 3 romperebbe la divisione di 24. La fattorizzazione è più lenta dell'algoritmo di Euclide sui numeri scomodi, ma spiega la risposta.
La risposta può essere più grande del numero più piccolo dell'elenco?
No. Un divisore comune di un elenco deve dividere il numero più piccolo che contiene, quindi non può mai superarlo, e il massimo comun divisore raggiunge esattamente quel tetto quando il numero più piccolo divide tutti gli altri. Il massimo comun divisore di 36 e 36 è 36, e quello di 12, 24 e 36 è 12. Non è mai nemmeno più piccolo di 1, dato che 1 divide ogni numero intero.
A che cosa serve il massimo comun divisore?
Mettere una frazione ai minimi termini è l'uso più comune: dividere entrambi i membri di 24/36 per 12 dà 2/3, lo stesso valore con il denominatore più piccolo possibile. Ridurre un rapporto è lo stesso passo — 24 : 36 : 60 è la stessa miscela di 2 : 3 : 5. E il fatto che due numeri siano coprimi, che è lo stesso che dire che il loro massimo comun divisore è 1, è la condizione che serve a diversi risultati di teoria dei numeri, compreso quello dietro la crittografia RSA.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice per semplificare frazioniRiduce una frazione ai minimi termini e mostra il divisore.Calcolatrice di frazioni equivalentiFrazioni equivalenti a una data, fino a un limite scelto.Calcolatrice del mcmI primi quattro multipli comuni di due o più numeri.Calcolatrice di frazioniSomma, sottrae, moltiplica e divide frazioni e le semplifica.Calcolatrice dell'algoritmo di EuclideMCD con l'algoritmo di Euclide, con tutti i passaggi.Calcolatrice dei fattori primiScomposizione in fattori primi di un numero, con le potenze.