Come semplificare le frazioni a mano?

Dividi il numeratore e il denominatore per il loro massimo comun divisore. Per 24/36 quel divisore è 12, e dividendo entrambi ottieni 2/3. Dividere per un divisore comune più piccolo, per esempio 6, dà 4/6: un passo nella direzione giusta, che però va ridotto ancora.

Come capisco se una frazione è già ai minimi termini?

Quando l'unico numero che divide entrambe le parti è 1. Il pannello te lo dice direttamente: un divisore di 1 significa che non si poteva togliere niente, quindi la frazione ridotta è stampata esattamente come l'hai inserita. 7/4 e 1/2 sono entrambe di quel tipo, ed è per questo che esiste la riga del divisore e non solo quella della risposta.

La risposta può essere una frazione impropria?

Sì. 100/75 si riduce a 4/3, che è maggiore di uno, e la pagina lo stampa come 4/3 e non come numero misto. Ridurre non rende una frazione propria o impropria, e trasformare 4/3 in un intero accanto a una frazione è un'altra notazione, che gestisce la pagina dei numeri misti.

A cosa serve la riga del decimale?

Dà lo stesso numero nella forma che la maggior parte degli strumenti e dei fogli di calcolo si aspetta. È mostrato su sei cifre, quindi per una frazione come 2/3, il cui decimale non termina mai, quelle cifre sono arrotondate: 0,666667 invece del valore periodico vero. Se una frazione termini o no lo spiega la pagina da frazione a decimale.

Posso ridurre qui un rapporto come 6 : 4?

No. Un rapporto si riduce con lo stesso divisore, ma è una notazione diversa con una risposta di forma diversa — 3 : 2 invece di 3/2 — e i rapporti possono portare unità di misura, cosa che le frazioni non fanno. Inseriscilo nella pagina dei rapporti: questa accetta una frazione sola.

Cosa succede con un numeratore negativo o nullo?

Un numeratore negativo conserva il segno: -18/24 si riduce a -3/4, con il divisore riportato come 6 e non come -6, dato che il massimo comun divisore si prende fra i due valori assoluti. Un numeratore nullo si riduce a uno 0 da solo, e allora il divisore è il denominatore — 50 per 0/50, perché è per 50 che sono state divise entrambe le parti.

Calcolatrice per semplificare frazioni

Risultato

2/3

Frazione ridotta ai minimi termini

Massimo comune divisore: 12
In forma decimale: 0,666667

Una calcolatrice per semplificare frazioni riduce una frazione ai minimi termini e, a differenza di quasi tutti gli strumenti del genere, ti dice anche per quale numero ha dovuto dividere per arrivarci. 24/36 diventa 2/3, e il divisore che sta dietro a quel risultato è 12, il massimo comun divisore di 24 e 36. Quella seconda lettura è il motivo per cui questa pagina esiste: la sola frazione ridotta non ti dice se è successo qualcosa, perché 7/4 e 1/2 sono già ridotte e la loro lettura principale è identica a quella che hai inserito, quindi un pannello che mostrasse soltanto la risposta sarebbe identico sia che avesse fatto il lavoro sia che non lo avesse fatto. Qui è la riga del divisore a togliere il dubbio, perché stampa 1 quando non c'era nulla da semplificare. Una terza lettura dà lo stesso numero in forma decimale, su sei cifre, che è la forma in cui una frazione di solito deve arrivare prima di poter essere usata in un foglio di calcolo o confrontata con una misura; e per le frazioni che non si dividono esattamente quelle sei cifre sono arrotondate, non esatte. Il calcolo dei minimi termini è tutto qui: una divisione sola, fatta per il numero giusto. Questa pagina riduce e non fa altro: non somma, non sottrae, non moltiplica e non divide frazioni, non trasforma un decimale in frazione e non riduce un rapporto come 6 : 4, che è una notazione diversa con una risposta di forma diversa.

Otto frazioni ridotte, con il divisore usato

Frazione	Divisore	Minimi termini	Decimale
24/36	12	2/3	0.666667
100/75	25	4/3	1.333333
7/4	1	7/4	1.75
1/2	1	1/2	0.5
0/50	50	0	0
18/24	6	3/4	0.75
9/12	3	3/4	0.75
100000/100000	100000	1	1

Ogni riga è una riduzione, e le colonne sono l'ingresso, il massimo comun divisore per cui si è diviso, la risposta ai minimi termini e lo stesso numero in forma decimale. La prima colonna mostra sempre la frazione come è stata inserita, mai la forma ridotta: stamparci la forma ridotta renderebbe la colonna inutile, perché la sesta e la settima riga diventerebbero identiche fra loro e la terza e la quarta sembrerebbero non aver prodotto nulla. È proprio quella la coppia da guardare per prima: 18/24 e 9/12 si riducono entrambe a 3/4, e i divisori dietro di esse sono 6 e 3, quindi le due righe sono identiche nella terza e nella quarta colonna e diverse nella seconda. Quelle due righe sono l'argomento a favore dello stampare il divisore. La prima riga è il caso predefinito, che si riduce di molto. La seconda resta impropria, a 4/3. La terza e la quarta non si possono ridurre affatto e riportano un divisore di 1, una delle due maggiore di uno e l'altra minore, perché essere ai minimi termini non ha niente a che vedere con la grandezza. La quinta ha un numeratore nullo e riporta il denominatore come divisore. L'ottava è una frazione di centomila su se stessa, che si riduce a un 1 da solo con un divisore al limite del campo, ed è l'unica riga in cui la colonna del decimale e la risposta concordano nell'essere esattamente 1. Un'ultima cosa mentre leggi: i numeri delle colonne Divisore e Decimale li calcola il programma e portano il punto, mentre il testo di questa nota usa la virgola — sono lo stesso numero scritto in due modi, non due numeri diversi.

Formula

d = MCD(n, D) n/D = (n ÷ d) / (D ÷ d) decimale = n ÷ D, arrotondato a sei cifre

Numeratore: La parte alta della frazione: 24 in 24/36. Può essere negativo o nullo. Un numeratore negativo si porta dietro il segno attraverso la divisione — -18/24 esce come -3/4 — perché la frazione porta il segno sopra e mai sotto.
Denominatore: La parte bassa della frazione: 36 in 24/36. Deve essere positivo e non può essere zero, perché altrimenti la frazione non esisterebbe. È limitato a centomila, che è un limite su quanto possono essere grandi i due numeri e non una regola sulle frazioni.
Divisore (d): Il massimo comun divisore dei due numeri: 12 per 24 e 36, 6 per 18 e 24, e 1 per una frazione che non si può ridurre affatto. È la lettura che questa pagina aggiunge a quelle che danno tutti gli altri strumenti sulle frazioni, e risponde a due domande in una volta: quanto è stato tolto e se c'era qualcosa da togliere. Quando il numeratore è zero il divisore è il denominatore, che è ciò per cui si è davvero diviso per trasformare 0/50 in 0.
Frazione semplificata: Il risultato della divisione di entrambi i numeri per il divisore: 2/3 per 24/36. È stampata ai minimi termini per costruzione e può essere una frazione impropria: 100/75 si riduce a 4/3 e resta 4/3 invece di diventare un numero misto, perché quella è un'altra notazione e la gestisce un'altra pagina.
Decimale: Lo stesso numero scritto in forma decimale: 0,666667 per 2/3. È arrotondato a sei cifre, quindi è un'approssimazione ogni volta che la divisione non è esatta; 2/3 si discosta dal valore vero di circa 3,3 × 10⁻⁷. La pagina mostra le sei cifre perché il decimale è una seconda lettura utile della stessa quantità, non perché stia promettendo precisione: una frazione il cui decimale si ripete all'infinito è quello che spiega la pagina da frazione a decimale.

Il primo uso è l'esercizio: ridurre una frazione ai minimi termini si insegna appena si insegna a fattorizzare, e il divisore è il passo che viene corretto, ed è per questo che la pagina lo stampa invece di nasconderlo. Il secondo è controllare una riduzione fatta a mano: se il tuo divisore non è quello sul pannello, una delle due frazioni non è l'altra. Il terzo è una frazione già ridotta, dove il pannello te lo dice con un divisore di 1 invece di lasciarti confrontare la risposta con l'ingresso. Il quarto è una frazione la cui forma ridotta è impropria, per esempio 100/75, dove la risposta resta 4/3 e il decimale sopra 1 rende evidente che non si è perso niente. Il quinto è un decimale che hai già, dove la terza riga ti dice quanto vale la frazione senza che tu debba fare la divisione lunga a mano. E quando devi semplificare una frazione che non ha più niente in comune fra le sue due parti, il pannello te lo conferma con un 1: è un'informazione, non un errore.

Esempi svolti

24/36
1. Trova il massimo comun divisore di 24 e 36: entrambi si dividono per 2, 3, 4, 6 e 12, e il più grande è 12
2. Dividi il numeratore: 24 ÷ 12 = 2
3. Dividi il denominatore: 36 ÷ 12 = 3
4. La frazione ridotta è 2/3, e 2 e 3 non hanno altri fattori in comune oltre a 1
5. Come decimale: 2 ÷ 3 = 0,666666…, che arrotondato a sei cifre è 0,666667
Il caso predefinito: una frazione che si riduce di molto e atterra su una coppia davvero più semplice. Il divisore è 12, e vale la pena notare che 6 avrebbe fatto metà del lavoro — da 24/36 a 4/6 — senza finirlo, ed è per questo che la pagina riporta il massimo comun divisore e non un divisore comune qualsiasi. Il decimale è arrotondato: 2/3 è 0,666666… e non termina mai, quindi le sei cifre mostrate differiscono dal valore vero già dalla settima. È una scelta di visualizzazione, e la pagina che spiega quando una frazione termina è un'altra.
100/75
1. Trova il massimo comun divisore di 100 e 75: entrambi si dividono per 25
2. Dividi il numeratore: 100 ÷ 25 = 4
3. Dividi il denominatore: 75 ÷ 25 = 3
4. La frazione ridotta è 4/3, che è maggiore di 1
Una frazione impropria, che questa pagina stampa così com'è: 4/3, non 1 1/3. Ridurre non cambia il fatto che una frazione sia impropria, e trasformarla in un intero accanto a una frazione è il compito della pagina dei numeri misti: farlo qui significherebbe un pannello con due notazioni diverse sopra. Nota che la lettura decimale è il modo più rapido per vedere la grandezza della risposta: 1,333333 dice che la quantità supera l'unità di un terzo, cosa che anche 4/3 dice, ma con meno immediatezza.
7/4
1. Trova il massimo comun divisore di 7 e 4: 7 è primo e non è un fattore di 4, quindi l'unico divisore comune è 1
2. Dividere per 1 lascia i due numeri come stavano
3. La frazione ridotta è 7/4, identica a quella inserita
4. Come decimale: 7 ÷ 4 = 1,75 esatto
Già ai minimi termini, ed è il caso che mostra perché il divisore stia sul pannello. La lettura principale è l'ingresso riscritto tale e quale — 7/4 diventa 7/4 — quindi la sola risposta non ti direbbe se la pagina ha fatto qualcosa. La riga del divisore dice 1, che è la pagina che ti riferisce di aver guardato e di non aver trovato niente da fare. Un valore di 1 qui è un'informazione e non un fallimento; un valore di 0 sarebbe un difetto, perché dividere per zero non è una riduzione.
0/50
1. Trova il massimo comun divisore di 0 e 50: ogni numero divide lo zero, quindi il massimo comun divisore è 50, l'altro numero
2. Dividi entrambi: 0 ÷ 50 = 0 e 50 ÷ 50 = 1
3. La frazione ridotta è 0/1, che si scrive come uno 0 da solo perché un denominatore pari a 1 non si scrive
4. Come decimale: 0
Un numeratore nullo si riduce fino a diventare nulla, e il divisore è 50 e non 1, perché 50 è ciò per cui i due numeri sono stati davvero divisi per arrivare lì. È la stessa definizione del resto della pagina: il divisore è quello che è stato tolto, non quello che si sarebbe potuto togliere. La lettura principale si stampa come uno 0 da solo, senza denominatore, la stessa convenzione che la notazione delle frazioni usa per qualunque numero intero.
-18/24
1. Trova il massimo comun divisore di 18 e 24: entrambi si dividono per 6
2. Dividi entrambi i numeri per 6: 18 ÷ 6 = 3 e 24 ÷ 6 = 4, quindi la frazione è -3/4
3. Il segno resta sul numeratore e il denominatore resta positivo
4. Come decimale: -3 ÷ 4 = -0,75
Il caso che fissa dove vive il segno. Il divisore è 6 e non -6: il massimo comun divisore si prende fra i due valori assoluti, quindi è sempre positivo, e il meno non ne fa parte. La frazione ridotta porta il segno solo sul numeratore, quindi -18/24 è -3/4 e mai 3/-4. Anche la lettura decimale conserva il segno, che è un modo rapido per confermare che la riduzione non l'ha perso.

Limiti

Il denominatore deve essere positivo e non può essere zero: una frazione con denominatore nullo non esiste, e la pagina la rifiuta invece di restituire qualcosa. Il numeratore può essere negativo e può essere nullo: 0/50 si riduce a uno 0 da solo. Entrambi i numeri devono essere interi, e il denominatore è limitato a centomila; il numeratore non ha altri limiti oltre al punto in cui l'aritmetica smette di essere esatta, e un numeratore decimale viene rifiutato. Il divisore che la pagina riporta è il massimo comun divisore, cioè la riduzione che porta a termine il lavoro, e non il primo divisore comune che viene in mente: per 24/36 è 12, mentre 6 lascerebbe 4/6 ancora riducibile. Le sei cifre decimali sono una larghezza di visualizzazione, non una promessa: per una frazione il cui decimale si ripete sono arrotondate, e questa pagina non dice se lo siano né quanto sia lungo il periodo. Se la cosa ti serve, la pagina da frazione a decimale è quella che risponde. La pagina riduce una frazione sola e non fa altro: non somma, non sottrae, non moltiplica e non divide frazioni, non converte una frazione in decimale e non riduce un rapporto come 6 : 4. Quest'ultimo sembra la stessa operazione e non lo è: si usa lo stesso divisore, ma la risposta si scrive come rapporto e i rapporti possono portare unità di misura, mentre una frazione no. La frazione ridotta non viene nemmeno convertita in un numero misto, quindi un risultato maggiore di uno resta improprio.

Domande frequenti

Come semplificare le frazioni a mano?: Dividi il numeratore e il denominatore per il loro massimo comun divisore. Per 24/36 quel divisore è 12, e dividendo entrambi ottieni 2/3. Dividere per un divisore comune più piccolo, per esempio 6, dà 4/6: un passo nella direzione giusta, che però va ridotto ancora.
Come capisco se una frazione è già ai minimi termini?: Quando l'unico numero che divide entrambe le parti è 1. Il pannello te lo dice direttamente: un divisore di 1 significa che non si poteva togliere niente, quindi la frazione ridotta è stampata esattamente come l'hai inserita. 7/4 e 1/2 sono entrambe di quel tipo, ed è per questo che esiste la riga del divisore e non solo quella della risposta.
La risposta può essere una frazione impropria?: Sì. 100/75 si riduce a 4/3, che è maggiore di uno, e la pagina lo stampa come 4/3 e non come numero misto. Ridurre non rende una frazione propria o impropria, e trasformare 4/3 in un intero accanto a una frazione è un'altra notazione, che gestisce la pagina dei numeri misti.
A cosa serve la riga del decimale?: Dà lo stesso numero nella forma che la maggior parte degli strumenti e dei fogli di calcolo si aspetta. È mostrato su sei cifre, quindi per una frazione come 2/3, il cui decimale non termina mai, quelle cifre sono arrotondate: 0,666667 invece del valore periodico vero. Se una frazione termini o no lo spiega la pagina da frazione a decimale.
Posso ridurre qui un rapporto come 6 : 4?: No. Un rapporto si riduce con lo stesso divisore, ma è una notazione diversa con una risposta di forma diversa — 3 : 2 invece di 3/2 — e i rapporti possono portare unità di misura, cosa che le frazioni non fanno. Inseriscilo nella pagina dei rapporti: questa accetta una frazione sola.
Cosa succede con un numeratore negativo o nullo?: Un numeratore negativo conserva il segno: -18/24 si riduce a -3/4, con il divisore riportato come 6 e non come -6, dato che il massimo comun divisore si prende fra i due valori assoluti. Un numeratore nullo si riduce a uno 0 da solo, e allora il divisore è il denominatore — 50 per 0/50, perché è per 50 che sono state divise entrambe le parti.

Riferimenti

Reduced Fraction — the lowest terms of a fraction, which is the form this page returns and the form it checks the input against — Wolfram MathWorld (United States)
Greatest Common Divisor — the largest integer dividing two given integers, reported on this page as the divisor that was used — Wolfram MathWorld (United States)
Fraction — the quotient of two integers written with a numerator and a denominator, and the reading of the same number as a decimal — Wolfram MathWorld (United States)
Improper Fraction — a fraction whose numerator is at least its denominator, which a reduced fraction can be and which this page prints without converting — Wolfram MathWorld (United States)
Relatively Prime — two integers with no common factor greater than one, the condition under which the divisor is 1 and nothing can be reduced — Wolfram MathWorld (United States)

Calcolatrici correlate

Calcolatrice di frazioniSomma, sottrae, moltiplica e divide frazioni e le semplifica.Calcolatrice di frazioni equivalentiFrazioni equivalenti a una data, fino a un limite scelto.Calcolatrice da numero misto a impropriaTrasforma un numero misto nella frazione impropria.Calcolatrice per moltiplicare frazioniMoltiplica frazioni e semplifica il risultato finale.