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CalcMax

Calcolatrice di frazioni

Intervallo: 1 – 100.000

Intervallo: 1 – 100.000

Risultato

5/6

Frazione ridotta ai minimi termini

Prima della riduzione
5/6
In forma decimale
0,833333

Una calcolatrice di frazioni esegue le quattro operazioni su due frazioni in un colpo solo: inserisci numeratore e denominatore, scegli fra somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione, inserisci la seconda frazione e la risposta arriva già ridotta ai minimi termini. Un mezzo più un terzo fa cinque sesti, e la pagina stampa quello invece dei sedici trentaseiesimi che si otterrebbero moltiplicando fra loro i denominatori. È proprio quest'ultima frase il motivo per cui vale la pena usare una calcolatrice qui. La somma è l'operazione che si sbaglia più spesso, perché è l'unica delle quattro che pretende che i denominatori coincidano prima di poter procedere: moltiplicando in linea hai finito, ma se sommi o sottrai i mezzi e i terzi devono prima diventare qualcosa che hanno in comune. Le strade per arrivarci sono due. Quella sicura, che questa pagina ti mostra per intero, moltiplica il numeratore di ciascuna frazione per il denominatore dell'altra e usa il loro prodotto come denominatore comune: per un mezzo e un terzo dà cinque sesti su sei, la forma non ridotta. Quella più ordinata trova il numero più piccolo che entrambi i denominatori dividono, che qui è sei e che porta lo stesso risultato direttamente a cinque sesti. Le due uscite esistono perché tu le possa vedere entrambe, e vale la pena sapere che non sono due risposte: sono un solo numero prima e dopo la riduzione. La divisione è l'altra operazione con una regola sua: dividere per una frazione equivale a moltiplicare per la frazione capovolta, quindi un mezzo diviso tre quarti è un mezzo per quattro terzi, cioè quattro sesti e poi due terzi. La moltiplicazione non ha sorprese del genere, e la sottrazione ne ha una sola, il numeratore negativo: un mezzo meno un terzo è un sesto, un terzo meno un mezzo è meno un sesto, e la pagina tiene il segno meno sul numeratore invece che sulla frazione intera perché è lì che l'aritmetica l'ha messo. Quattro cose di questa pagina vale la pena sapere prima di fidartene. Lavora con frazioni improprie e non con numeri misti: nove quarti torna come nove quarti, che è la forma che serve al calcolo successivo, e non come due e un quarto. Un denominatore uguale a zero viene rifiutato invece di essere trattato come una risposta, perché la frazione non avrebbe valore. Anche dividere per una frazione il cui numeratore è zero viene rifiutato, perché il reciproco di zero non è un numero. E un numeratore abbastanza grande da far uscire la moltiplicazione incrociata dall'intervallo in cui i numeri interi sono esatti viene rifiutato invece di ricevere una risposta approssimata: è l'unico limite di ingresso che questa pagina impone oltre al tetto di centomila sui denominatori.

Le quattro operazioni, e dove avviene la riduzione

Prima frazioneOperatoreSeconda frazionePrima della riduzioneMinimi terminiDecimale
1/2+1/35/65/60.833333
1/4+1/610/245/120.416667
3/4−1/35/125/120.416667
2/3×3/56/152/50.4
1/2÷3/44/62/30.666667
5/6×3/1015/601/40.25

Sei righe che coprono tutte e quattro le operazioni, e la coppia di colonne che conta è la quarta e la quinta: lo stesso numero prima e dopo la riduzione. Leggi prima la seconda riga, perché è quella che mostra il lavoro più chiaramente: un quarto più un sesto passa per 10/24, che si riduce a 5/12 perché dieci e ventiquattro hanno un fattore due in comune. Poi guarda la prima e la terza riga, dove le due colonne contengono la stessa frazione e non è servita nessuna riduzione; una pagina che mostrasse una sola colonna nasconderebbe entrambi i fatti. Le righe della moltiplicazione e della divisione mostrano le regole che le accompagnano: moltiplicare in linea dà 6/15 e poi 2/5, e dividere moltiplica per il reciproco, quindi un mezzo su tre quarti dà 4/6 e poi 2/3. Il decimale di ogni riga è la frazione ridotta a sei cifre, il che rende l'ultima colonna un controllo sulle due che la precedono: la seconda e la terza riga finiscono sullo stesso decimale pur arrivando alla risposta da operazioni diverse e da frazioni intermedie diverse. Un'ultima cosa: i numeri dentro la tabella sono scritti con il punto decimale, come li calcola la pagina, mentre nel testo qui sopra gli stessi numeri portano la virgola; sono la stessa quantità scritta in due modi, e nessuno dei due è un errore.

Formula

Somma o sottrazione: a/b ± c/d = (a·d ± c·b) / (b·d) Moltiplicazione: a/b × c/d = (a·c) / (b·d) Divisione: a/b ÷ c/d = (a·d) / (b·c) Poi dividi entrambi i termini per il loro massimo comun divisore

Prima frazione
Un numeratore e un denominatore, entrambi numeri interi. Il numeratore può essere negativo o nullo; il denominatore non può essere zero e non può superare centomila
Operatore
Una delle quattro operazioni, scelta da un elenco perché ne esistono solo quattro: sommare, sottrarre, moltiplicare o dividere la prima frazione per la seconda. La divisione è quella che si esegue capovolgendo la seconda frazione, quindi è anche quella in cui un numeratore nullo nella seconda frazione viene rifiutato
Seconda frazione
L'altro operando, con le stesse regole: un numeratore intero qualsiasi e un denominatore diverso da zero fino a centomila. Il suo numeratore diventa il denominatore del reciproco quando l'operazione è la divisione
Prima della riduzione
La frazione così come esce dalla regola, senza nessuna riduzione fatta: cinque sesti su sei per un mezzo più un terzo. Il suo denominatore è il prodotto dei due denominatori, ed è per questo che questa forma si chiama talvolta moltiplicazione incrociata, e anche per questo può essere più grande del più piccolo denominatore comune possibile
Minimi termini
Lo stesso valore con il massimo comun divisore tolto da entrambi i termini: cinque sesti su sei si riduce a cinque sesti. Questa è la risposta, e il passo fra le due uscite è tutta la riduzione di una frazione
Decimale
La risposta come numero decimale, a sei cifre: cinque sesti è 0,833333. Un valore che non si divide esattamente viene arrotondato e non troncato, e le sei cifre sono una scelta di visualizzazione e non una dichiarazione sulla precisione della frazione

Quattro operazioni, quattro occasioni, e un'abitudine che vale la pena avere. Sommare è quello che fai con quantità che arrivano in parti diverse di un intero: un terzo di tazza più un quarto di tazza, e la pagina ti dice che sono sette dodicesimi. Sottrarre è la stessa cosa con il segno ribaltato, ed è l'operazione in cui l'ordine delle due frazioni conta: un mezzo meno un terzo è un sesto mentre un terzo meno un mezzo è meno un sesto, quindi la frazione che inserisci per prima è quella da cui si sottrae. Moltiplicare è la più semplice delle quattro e quella che si tende a complicare: moltiplica in linea, sopra per sopra e sotto per sotto, e non c'è nessun denominatore comune da cercare; un mezzo di due terzi è un terzo. Dividere è moltiplicare per il reciproco, ed è quella per cui si ricorre a una calcolatrice: tre quarti diviso un mezzo è tre quarti per due, cioè sei quarti, cioè uno e mezzo. Sotto tutte e quattro sta un'abitudine: controlla la risposta contro un decimale approssimativo. Cinque sesti su sei è poco più di otto decimi, e anche cinque sesti lo è, quindi la riduzione non ha cambiato il valore, che è l'unica cosa che alla riduzione è permesso di non toccare. Se i due decimali non concordano, l'errore è nell'aritmetica e non nella riduzione, e rileggere l'uscita ai minimi termini non lo troverà.

Esempi svolti

  1. Un mezzo più un terzo

    1. Denominatore comune per moltiplicazione incrociata: 2 × 3 = 6
    2. Primo numeratore: 1 × 3 = 3
    3. Secondo numeratore: 1 × 2 = 2
    4. Somma i numeratori sopra il denominatore comune: (3 + 2) / 6 = 5/6
    5. Non si riduce nulla — 5 e 6 non hanno fattori in comune — quindi la frazione prima della riduzione e la risposta coincidono, e il decimale è 0,833333

    Il caso predefinito, e uno di quelli in cui le due uscite coincidono. Succede ogni volta che la forma ottenuta dalla moltiplicazione incrociata è già ai minimi termini, il che, per una somma di due frazioni unitarie, significa che i denominatori erano coprimi. Vale la pena vederlo una volta prima dei casi in cui le due uscite differiscono, perché una pagina che mostra due volte la stessa frazione non sembri un difetto.

  2. Un quarto più un sesto, nelle due forme

    1. Denominatore comune per moltiplicazione incrociata: 4 × 6 = 24
    2. Primo numeratore: 1 × 6 = 6; secondo numeratore: 1 × 4 = 4
    3. Somma sopra il denominatore comune: (6 + 4) / 24 = 10/24
    4. Cerca il massimo comun divisore di 10 e 24: 2
    5. Dividi entrambi i termini per 2: la risposta è 5/12, e come decimale 0,416667

    L'esempio che spiega le due uscite. Ventiquattro non è il numero più piccolo che 4 e 6 dividono entrambi — lo è dodici — quindi la frazione prima della riduzione è più grande del necessario, e il passo di riduzione fa un lavoro vero. Passare per il prodotto invece che per il minimo comune multiplo non è pigrizia: è una regola che funziona con ogni coppia di denominatori senza dover ragionare sui loro fattori, e la riduzione successiva la riporta alla forma ordinata. Dieci ventiquattresimi e cinque dodicesimi sono lo stesso numero, e i due decimali coincidono.

  3. Due terzi per tre quarti

    1. Moltiplica in linea: 2 × 3 = 6 sopra 3 × 4 = 12
    2. Non serve nessun denominatore comune: quel passo appartiene solo alla somma e alla sottrazione
    3. Riduci il sei: 6 ÷ 6 = 1 e 12 ÷ 6 = 2
    4. La risposta è 1/2, cioè 0,5

    La moltiplicazione, dove i denominatori si moltiplicano semplicemente e nulla va prima accordato. La riduzione qui vale la pena notarla: due terzi per tre quarti è un mezzo, più piccolo di entrambi gli operandi perché entrambi sono minori di uno — un risultato che sorprende chi si aspetta che moltiplicare ingrandisca, e che un controllo contro 0,5 conferma in un passo solo.

  4. Un mezzo diviso tre quarti

    1. Capovolgi la seconda frazione: 3/4 diventa 4/3
    2. Moltiplica invece: (1 × 4) / (2 × 3) = 4/6
    3. Riduci il due: 4 ÷ 2 = 2 e 6 ÷ 2 = 3
    4. La risposta è 2/3, cioè 0,666667

    La divisione, che è la moltiplicazione per il reciproco — la regola che fa finire il numeratore della seconda frazione nel denominatore della risposta. Nota la direzione: un mezzo diviso tre quarti è due terzi, più grande del mezzo da cui sei partito, perché il divisore è minore di uno. Dividere per un numero sotto uno fa sempre crescere il risultato, ed è il controllo più rapido che hai a disposizione qui.

  5. Un terzo meno un terzo, e nove quarti diviso nove quarti

    1. Denominatore comune: 3 × 3 = 9
    2. Primo numeratore 1 × 3 = 3, secondo numeratore 1 × 3 = 3
    3. Sottrai: (3 − 3) / 9 = 0/9
    4. Riduci: zero su qualsiasi cosa è zero, e la risposta si stampa come 0 e non come 0/9

    Lo zero, che è una risposta legittima e non un risultato vuoto: le due frazioni erano uguali, e numeri uguali sottratti non lasciano nulla. L'uscita non ridotta conserva la forma del lavoro che l'ha prodotta, con nove al denominatore, mentre la risposta si riduce alla singola cifra. Lo stesso collasso avviene all'altro estremo: nove quarti diviso nove quarti dà il numero intero 1, con 36 su 36 come forma non ridotta, quindi una frazione con numeratore e denominatore uguali si stampa come intero e non come frazione su se stessa.

Limiti

L'uscita non ridotta è il prodotto incrociato, non il più piccolo denominatore comune. Sommare un quarto e un sesto passa per ventiquattro invece che per dodici, quindi la frazione intermedia è più grande di quella ordinata e sembra sbagliata a chi si aspetta il minimo comune multiplo. Le due frazioni sono lo stesso numero e la risposta è corretta — le due uscite differiscono solo in quanta riduzione è stata fatta — ma se quello che volevi era il più piccolo denominatore condiviso, l'uscita ridotta è quella da leggere. I risultati sono frazioni improprie, mai numeri misti: nove quarti resta nove quarti invece di diventare due e un quarto, e un risultato intero si stampa come numero intero, quindi un mezzo diviso un mezzo è 1 e non 1/1. L'uscita decimale è arrotondata a sei cifre, il che la rende un controllo sulla risposta e non un modo di enunciarla: un terzo è 0,333333 e la somma di un terzo e due terzi si mostra come 0,999999 invece che come 1, mentre le uscite frazionarie dello stesso calcolo danno esattamente 1. I denominatori sono limitati a centomila, ed è un tetto deliberato su quanta riduzione la pagina farà in una volta sola. Tre ingressi vengono rifiutati invece che calcolati: un denominatore uguale a zero, perché la frazione non ha valore; una divisione il cui secondo numeratore è zero, perché il reciproco di zero non è un numero; e un numeratore abbastanza grande da far uscire la moltiplicazione incrociata dall'intervallo in cui l'aritmetica intera è esatta, che la pagina segnala come errore invece di stampare una frazione approssimata. Anche i numeratori non interi vengono rifiutati, quindi un valore come uno e mezzo in un campo numeratore va convertito a mano in frazione impropria prima di essere accettato.

Domande frequenti

Perché le due uscite frazionarie sono diverse?
Perché una è la risposta e l'altra è il lavoro. La frazione non ridotta esce direttamente dalla regola — i denominatori moltiplicati fra loro, i numeratori incrociati con il denominatore dell'altra frazione — e la frazione ridotta è quello stesso valore con il massimo comun divisore tolto da entrambi i termini. Un quarto più un sesto è 10/24 prima della riduzione e 5/12 dopo; i due decimali coincidono, ed è la prova che è cambiata solo la scrittura.
Perché il denominatore non ridotto è 24 quando ne basterebbe 12?
Perché la pagina trova un denominatore comune moltiplicando i due denominatori, non cercando il più piccolo che entrambi dividono. Ventiquattro è quattro per sei, ed è un denominatore comune valido anche se dodici è più piccolo. Lo scambio è deliberato: moltiplicare funziona sempre e non richiede nessuna analisi dei denominatori, e il passo di riduzione riporta comunque la risposta ai minimi termini. Se vuoi il più piccolo denominatore condiviso, leggi l'uscita ridotta.
Come si dividono le frazioni?
Moltiplicando per il reciproco: capovolgi la seconda frazione e moltiplica in linea. Un mezzo diviso tre quarti è un mezzo per quattro terzi, cioè quattro sesti, che si riduce a due terzi. La regola esiste perché dividere per un numero è moltiplicare per il suo inverso, ed è il motivo per cui il numeratore della seconda frazione finisce nel denominatore della risposta — 0,666667 contro 0,5 conferma che la risposta è cresciuta, come deve fare una divisione per qualcosa di minore di uno.
La risposta può essere un numero misto?
No: i risultati sono frazioni improprie, quindi nove quarti torna come 9/4 e non come 2 1/4. La frazione impropria è la forma che continua a funzionare, perché sommare o moltiplicare un numero misto significa prima riconvertirlo in frazione impropria, e stamparne uno vorrebbe dire convertirlo di nuovo al passo successivo. Trasformare 9/4 in due e un quarto è una divisione, e leggere l'uscita decimale fa lo stesso lavoro per un controllo rapido.
Che cosa succede se un denominatore è zero?
La pagina segnala un errore, e non c'è nessuna risposta da dare: una frazione con denominatore zero non ha valore, perché il denominatore è il numero di parti in cui si divide l'intero e la divisione per zero non è definita. Dividere per una frazione il cui numeratore è zero viene rifiutato per la stessa ragione — il reciproco di zero non è un numero — mentre un numeratore nullo nella prima frazione va benissimo e dà zero in ogni moltiplicazione o divisione.
Come faccio a controllare che la risposta sia giusta?
Converti i due operandi in decimali a mente e fai l'operazione su quei numeri approssimativi. Un mezzo più un terzo deve cadere fra 0,8 e 0,9, e cinque sesti è 0,833333. Moltiplicare due frazioni entrambe minori di uno deve dare qualcosa di più piccolo di ciascuna, e dividere per qualcosa di minore di uno deve dare qualcosa di più grande. Quando la stima approssimativa e la frazione non concordano, il problema è nell'aritmetica e non nella riduzione, visto che la riduzione può cambiare solo il modo in cui un numero è scritto.

Riferimenti

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