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CalcMax

Calcolatrice da frazione a decimale

Intervallo: 1 – 100.000

Risultato

0,375000

In forma decimale

Frazione ridotta ai minimi termini
3/8
Cifre periodiche (0 = numero finito)
0

Una calcolatrice da frazione a decimale divide il numeratore per il denominatore e riporta tre cose: il quoziente come decimale, la frazione stessa ridotta ai minimi termini, e la lunghezza del ciclo che si ripete nello sviluppo decimale. Tre ottavi è 0,375 e il suo decimale si ferma, quindi la lunghezza del ciclo è zero. Un terzo è 0,333333 sul display e il suo decimale non si ferma mai, quindi la lunghezza del ciclo è uno — una sola cifra si ripete all'infinito. È quel terzo numero a separare questa pagina da una semplice divisione. Ogni frazione ha uno sviluppo decimale, e quello sviluppo cade in esattamente due specie: si ferma dopo un numero finito di cifre, oppure continua all'infinito con un blocco di cifre che si ripete. Non esiste una terza possibilità, e quale delle due ti tocchi lo decide interamente il denominatore prima che si divida qualcosa. Riduci prima la frazione — questa pagina lo fa per te, quindi due quarti viene riportato come un mezzo — e guarda da che cosa è fatto il denominatore ridotto. Se i suoi unici fattori primi sono due e cinque, il decimale si ferma, e il numero di posti è quanti fattori di due o di cinque ha la serie più lunga delle due. Se il denominatore ha qualsiasi altro fattore primo, il decimale si ripete, e si ripete all'infinito. La lunghezza del ciclo è allora una proprietà di quel solo denominatore, ed è per questo che è una cosa utile da stampare: un settimo si ripete ogni sei cifre, un novantasettesimo ogni novantasei, e la frazione ventidue settimi — un'ottima approssimazione di pi greco — si ripete anch'essa ogni sei, perché sotto c'è il denominatore sette. Leggere le uscite nell'ordine opposto vale la pena una volta. La frazione ridotta ti dice se il decimale si fermerà; il decimale ti dice quanto vale su sei posti; il periodo ti dice quanto te ne stai perdendo. Quando quella terza uscita è zero, le sei cifre sono la risposta intera e non si è perso niente. Quando non lo è, le sei cifre sono una vista arrotondata di uno sviluppo che non ha fine — un terzo viene mostrato come 0,333333, che non è un terzo ma un terzo arrotondato al sesto posto, e la differenza è 0,000000333 e non se ne va. Due ingressi sono rifiutati. Un denominatore zero non ha risposta, e un numeratore che non è un numero intero viene respinto invece che convertito, dato che un numero misto va trasformato in frazione impropria prima di poter essere diviso per qualcosa.

Uno su ciascun denominatore da due a dodici

DenominatoreDecimalePeriodo
20.50
30.3333331
40.250
50.20
60.1666671
70.1428576
80.1250
90.1111111
100.10
110.0909092
120.0833331

Undici frazioni unitarie, e le due colonne che contano sono la prima e l'ultima — il denominatore e la lunghezza del suo ciclo, con il decimale in mezzo come la cosa che altrimenti si andrebbe a cercare altrove. Leggi la colonna del periodo e lo schema è tutta la teoria di questa pagina: 2, 4, 5, 8 e 10 danno zero perché quei numeri sono fatti di soli due e cinque; 3, 6, 9 e 12 danno 1 perché dentro ognuno di essi siede un tre; 11 dà 2, il suo ciclo breve; e 7 dà 6, il più lungo della tabella. Leggi la colonna del decimale accanto a un periodo diverso da zero e il punto diventa concreto: terzi, sesti, dodicesimi e noni si mostrano tutti come approssimazioni — 0,333333, 0,166667, 0,083333 — mentre le righe che terminano si mostrano in modo esatto. La settima riga merita un secondo sguardo, perché 0,142857 è lo stesso blocco di sei cifre che compare in ventidue settimi, ed è la ragione per cui quella frazione è un'approssimazione così buona di pi greco. Una nota di lettura: i numeri calcolati dentro le celle sono stampati con il punto, mentre il testo di questa nota usa la virgola, ed è la stessa quantità scritta in due modi diversi.

Formula

Decimale = numeratore ÷ denominatore Frazione ridotta = numeratore/denominatore con il massimo comun divisore cancellato Periodo = la lunghezza del blocco di cifre che si ripete (0 se il decimale si ferma)

Numeratore
Il numero sopra la linea, un intero. Può essere negativo o zero; un numeratore zero dà un decimale zero, e una frazione il cui numeratore è più grande del denominatore dà un decimale sopra uno
Denominatore
Il numero sotto la linea, un intero fino a centomila e diverso da zero. È il campo che decide se il decimale si ferma o si ripete, e se si ripete quanto è lungo il ciclo — un fatto che riguarda il solo denominatore
Decimale
Il numeratore diviso per il denominatore, mostrato su sei posti. Quando il decimale si ferma questi sei posti contengono la risposta intera con degli zeri in coda; quando si ripete sono lo sviluppo arrotondato al sesto posto, non una sua forma troncata né esatta
Frazione ridotta
La frazione ai minimi termini, ed è la forma in cui va giudicato il suo comportamento ripetitivo: 2/4 viene riportato come 1/2, ed è il 2 di quel denominatore a decidere che il decimale si ferma, non il 4 che hai digitato
Periodo
Quante cifre è lungo il blocco che si ripete, cioè qual è il periodo di ripetizione, oppure zero se il decimale si ferma. Un terzo dà 1, un settimo dà 6, un novantasettesimo dà 96 — e il numero dipende solo dal denominatore ridotto, quindi ogni frazione con novantasette sotto ha un ciclo di novantasei qualunque sia il suo numeratore

Tre usi, in ordine crescente di quanto serve la terza uscita. Convertire una frazione in decimale per misurare o per un foglio di calcolo è quello semplice: tre ottavi è 0,375, un mezzo è 0,5, e le quattro frazioni con denominatori piccoli vale la pena saperle a memoria. Controllare se una frazione si convertirà in modo esatto è il secondo, ed è la domanda che conta quando la risposta deve entrare in un numero fisso di cifre decimali — un denominatore fatto solo di due e di cinque si converte in modo pulito, e uno che contiene un sette o un tre non lo farà mai, per quanti posti tu conceda. E stimare quanta precisione stai cedendo è il terzo: una frazione con un ciclo di una o due cifre è rappresentata bene da sei posti decimali, mentre una con un ciclo di novantasei no — un novantasettesimo si mostra come 0,010309, e le sei cifre successive dello sviluppo vero sono cifre del tutto diverse, cosa che vale la pena sapere prima che quel numero entri in un calcolo. Due casi restano fuori da quello che la pagina fa. Riportare un decimale periodico alla sua frazione esatta è la direzione inversa ed è un problema separato, e un decimale stampato su sei posti ha già buttato via la struttura ripetitiva che servirebbe a risolverlo. E i numeri misti non sono accettati in ingresso: due e un quarto entra come 9/4, perché la divisione vuole un solo numeratore e un solo denominatore.

Esempi svolti

  1. Tre ottavi — un decimale che si ferma

    1. Dividi il numeratore per il denominatore: 3 ÷ 8 = 0,375
    2. La divisione viene esatta, quindi il periodo è 0
    3. La frazione è già ai minimi termini, quindi viene riportata come 3/8

    Il caso predefinito e il tipo facile: otto è fatto di soli due, quindi il decimale si ferma e i sei posti del display contengono la risposta intera con degli zeri in coda. È l'uscita del periodo a zero a dirlo — uno zero qui significa che non si è arrotondato e non si è buttato via niente, il che ne fa la prima cosa da guardare quando l'esattezza di un decimale conta.

  2. Un terzo — un decimale che non si ferma mai

    1. Dividi: 1 ÷ 3 = 0,333333…
    2. Tre non è fatto di due e di cinque, quindi lo sviluppo non finisce mai
    3. Il blocco che si ripete è la sola cifra 3, quindi il periodo è 1
    4. Il display mostra i primi sei posti, 0,333333

    Il caso per cui l'uscita del periodo esiste, e quello in cui il decimale è meno affidabile. 0,333333 non è un terzo — è un terzo arrotondato al sesto posto, e moltiplicandolo per tre si ottiene 0,999999 invece di 1. Il periodo di 1 ti dice che il display è una vista di uno sviluppo infinito e non la risposta intera; un periodo di zero sulla stessa pagina direbbe l'opposto. Sommare un terzo e due terzi è la dimostrazione classica: i decimali danno 0,999999 mentre le frazioni danno esattamente 1.

  3. Ventidue settimi — un periodo lungo e una frazione impropria

    1. Dividi: 22 ÷ 7 = 3,142857142857…
    2. Sette porta un fattore primo diverso da due o da cinque, quindi il decimale si ripete
    3. Il blocco che si ripete è 142857, lungo sei cifre
    4. Il display mostra 3,142857, e la frazione è già ai minimi termini

    Una frazione più grande di uno, quindi il decimale ha una parte intera, e un denominatore sette, il cui ciclo è di sei cifre — il più lungo che un denominatore a una cifra produca. Ventidue settimi è l'approssimazione classica di pi greco, corretta a due decimali, e il blocco 142857 è a sua volta famoso come il ciclo di un settimo. Qui l'uscita del periodo fa un lavoro vero: dice che le sei cifre mostrate sono il blocco intero e non un frammento arrotondato di uno più lungo.

  4. Due quarti viene riportato come un mezzo

    1. Riduci prima: 2 e 4 condividono il fattore 2, quindi la frazione è 1/2
    2. Dividi la forma ridotta: 1 ÷ 2 = 0,5
    3. Due è fatto di soli due, quindi il periodo è 0

    La pagina riduce prima di dividere, ed è questo che aspetto ha: l'uscita della frazione è 1/2 e non il 2/4 che è stato digitato. Il valore è identico in entrambi i modi, e la forma ridotta è quella da cui va letto il comportamento ripetitivo — il denominatore che decide se un decimale si ferma è quello ridotto. Vederlo una volta spiega perché una frazione digitata in una forma che non ti aspettavi torna in una forma diversa.

  5. Un novantasettesimo — un ciclo più lungo del display

    1. Dividi: 1 ÷ 97 = 0,010309278350515…
    2. Novantasette è primo e non è né due né cinque, quindi il decimale si ripete
    3. Il ciclo è lungo 96 cifre
    4. Il display mostra i primi sei posti, 0,010309

    Il caso estremo, e la ragione per cui vale la pena stampare il periodo anche quando è grande. Novantasei cifre sono molte più delle sei sul display, quindi quello che vedi è un sedicesimo della prima ripetizione — un numero che andrebbe portato a moltissimi posti prima che il suo schema comparisse. Un periodo di 96 accanto a un decimale di sei posti è un avvertimento: non significa che il decimale sia sbagliato, significa che il decimale è un'istantanea. Confrontalo con il caso di un terzo, dove il periodo di 1 rende quegli stessi sei posti una rappresentazione molto migliore del numero.

Limiti

Il decimale è mostrato su sei posti, quindi è esatto solo quando il periodo è zero. Quando il periodo è maggiore di zero il numero non ha una forma decimale finita e le sei cifre sono lo sviluppo arrotondato al sesto posto — un terzo compare come 0,333333, che non è un terzo, e un terzo sommato a due terzi si mostra come 0,999999 invece che come 1. Un periodo più grande di sei significa che il display sta mostrando solo una parte di una singola ripetizione. La pagina riduce prima di dividere, quindi una frazione inserita in una forma diversa da quella ai minimi termini torna ridotta: 2/4 viene riportato come 1/2 e 100/8 come 25/2, e il periodo, essendo una proprietà del denominatore ridotto, si calcola da quella forma ridotta. I risultati interi sono stampati come interi invece che come frazioni su uno, quindi 5/1 torna come 5 e un numeratore zero come 0. I numeri misti non sono accettati: due e un quarto va inserito come 9/4, perché la divisione lavora su un solo numeratore e un solo denominatore, e un valore non intero in uno dei due campi viene rifiutato invece che convertito. I denominatori sono limitati a centomila, il che limita anche il periodo — il ciclo più lungo che un denominatore ammesso possa produrre è appena sotto le centomila cifre. E il periodo è riportato come un conteggio di cifre e non come le cifre stesse: la pagina ti dice che lo sviluppo di un novantasettesimo si ripete ogni novantasei posti senza mostrarti quali novantasei cifre siano. Un decimale periodico letto all'indietro, cioè la sua frazione esatta, resta fuori da quello che questa pagina sa fare.

Domande frequenti

Come faccio a convertire una frazione in decimale?
Dividi il numeratore per il denominatore: tre ottavi è 3 ÷ 8 = 0,375, e un mezzo è 1 ÷ 2 = 0,5. La divisione è tutto il metodo — l'unica cosa che vale la pena fare prima è ridurre la frazione ai minimi termini, perché è il denominatore ridotto a decidere se il decimale si fermerà o continuerà per sempre.
Come faccio a sapere se il decimale si ferma?
Guarda i fattori primi del denominatore ridotto. Se è fatto solo di due e di cinque, il decimale si ferma: 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25 e 100 danno tutti un decimale che termina. Se contiene qualsiasi altro primo — un tre, un sette, un undici — il decimale si ripete all'infinito e non si può scrivere esattamente in un numero finito di posti. L'uscita del periodo ti dice in quale caso ti trovi: zero significa che il decimale si ferma, e qualunque altro valore è la lunghezza del blocco che si ripete.
Perché 1/3 compare come 0,333333?
Perché il display porta sei cifre decimali e un terzo non ha una forma decimale finita, quindi il sesto posto è dove lo sviluppo viene arrotondato. 0,333333 non è esattamente un terzo — moltiplicalo per tre e ottieni 0,999999 invece di 1, che è il modo aritmetico di vedere la differenza. Il periodo di 1 è la pagina che te lo sta dicendo: il decimale continua, e quello che è mostrato è una sua vista e non la risposta.
Perché 2/4 viene mostrato come 1/2?
Perché la pagina riduce la frazione prima di dividere, e la forma ridotta è quella che conta per tutto il resto di ciò che riporta. Il valore è lo stesso in entrambi i modi — 0,5 — ma il periodo è una proprietà del denominatore ridotto, quindi la riduzione deve avvenire prima: è il 2 di 1/2 a dire che il decimale si ferma, non il 4 che hai digitato. Le frazioni inserite in una forma più alta del necessario tornano sempre ridotte.
Che cosa significa un periodo di 96?
Che lo sviluppo decimale di quella frazione si ripete ogni novantasei cifre — per un novantasettesimo, il blocco di novantasei cifre continua all'infinito. Non è una misura di quanto sia accurato il decimale mostrato: i sei posti visualizzati sono comunque corretti per quanto arrivano, sono semplicemente una piccola parte di una sola ripetizione. Quello che ti dice è che sei posti decimali non possono rappresentare bene il numero, dato che le cifre che seguono non sono la continuazione dello schema visibile ma di uno molto più lungo.
Il risultato può essere più grande di uno, o negativo?
Entrambe le cose sono ordinarie. Un numeratore più grande del denominatore dà un decimale sopra uno — ventidue settimi è 3,142857 — e l'uscita della frazione resta impropria invece di diventare un numero misto. Un numeratore negativo dà un decimale negativo, e il segno resta sul numeratore della frazione: meno tre quarti è meno 0,75 e si stampa come -3/4. Il periodo non è toccato né dall'una né dall'altra cosa, perché dipende solo dal denominatore.

Riferimenti

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