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CalcMax

Calcolatrice per sommare frazioni

Intervallo: 1 – 100.000

Intervallo: 1 – 100.000

Risultato

5/12

Somma (ai minimi termini)

Denominatore comune
12
Prima frazione, convertita
3/12
Seconda frazione, convertita
2/12

Una calcolatrice per sommare frazioni somma due frazioni e mostra il passo che lo rende possibile: le due frazioni vengono prima riscritte su un denominatore comune, e solo dopo i numeratori si sommano. Sommare 1/4 e 1/6 dà 5/12, e il lavoro è 3/12 più 2/12: un quarto è tre dodicesimi e un sesto è due dodicesimi, quindi il totale è cinque dodicesimi. Quel passo di riscrittura è tutto il soggetto di questa pagina. Le frazioni si possono sommare direttamente quando i denominatori coincidono già, perché il denominatore dà il nome alla dimensione delle parti e i numeratori le contano: 1/5 più 2/5 fa tre quinti, come una mela più due mele fa tre mele. Denominatori diversi danno nome a parti di dimensioni diverse, e contarle insieme sarebbe come sommare mele e arance, quindi ogni frazione viene prima convertita in una frazione uguale con lo stesso denominatore. Il denominatore comune usato qui è il minimo comune multiplo dei due denominatori, cioè il numero più piccolo che entrambi dividono: per 4 e 6 è 12 e non 24. Moltiplicare fra loro i denominatori dà sempre un denominatore comune valido, ed è quello che usa una calcolatrice di frazioni a quattro operazioni, ma le parti che produce non sono le più piccole e il fattore in più va tolto di nuovo dopo. Il denominatore comune più piccolo tiene anche i numeratori convertiti piccoli quanto possibile, ma non garantisce che la somma sia già ai minimi termini: 1/3 più 1/6 diventa 2/6 più 1/6, cioè 3/6 e poi 1/2, e 1/2 più 1/2 diventa 2/2 e poi 1. La somma viene semplificata prima di essere stampata, mentre le due frazioni convertite che le stanno accanto restano come sono, perché sono il passo che si sta mostrando. Il risultato si stampa come frazione, improprie comprese: sommando 3/4 e 5/8 si ottiene 11/8 e non un numero misto, così ogni cifra del pannello è scritta allo stesso modo. Qui numeratori e denominatori sono numeri interi, e i denominatori hanno un tetto, perché l'aritmetica è fatta esattamente in numeri interi e un denominatore nelle centinaia di migliaia è già molto oltre qualunque cosa una pagina debba sommare.

Somme frequenti e i loro denominatori comuni

Prima frazioneSeconda frazioneDenominatore comuneSomma
1/41/6125/12
1/21/365/6
1/41/243/4
1/31/661/2
2/31/665/6
3/45/8811/8
1/71/117718/77
1/21/221

La prima riga è il caso predefinito e l'esempio più chiaro di che cosa compra il minimo comune multiplo: 1/4 e 1/6 danno un denominatore comune di 12 e non di 24. La seconda riga è il caso in cui i due denominatori non hanno fattori in comune, quindi il denominatore comune è davvero il prodotto, ed è la riga che fa sembrare universale la scorciatoia. La terza riga ha un denominatore che divide l'altro, quindi il denominatore comune è semplicemente il maggiore dei due. La quarta riga è quella che mostra una somma che ha ancora bisogno di lavoro anche con il minimo denominatore comune: 1/3 più 1/6 è 2/6 più 1/6, e 3/6 va ridotto a 1/2. La seconda e la quinta riga arrivano entrambe a 5/6 per strade diverse, ed è una cosa che vale la pena notare: 1/2 più 1/3 e 2/3 più 1/6 si convertono entrambe in sesti e sommano entrambe a cinque di essi, quindi la stessa risposta arriva da due coppie di frazioni che non hanno nulla a che vedere l'una con l'altra. La sesta riga è un risultato improprio lasciato improprio, la settima è una coppia senza alcun fattore comune, che dà un denominatore comune di 77, e l'ultima riga sono due mezzi che fanno un intero, che il pannello stampa come 1. Ogni riga esce dalla stessa formula e nessuna riga ne è un caso particolare.

Formula

Il denominatore comune = minimo comune multiplo dei due denominatori Frazioni convertite = ogni numeratore × (denominatore comune ÷ il proprio denominatore) Somma = (prima convertita + seconda convertita) ÷ denominatore comune, semplificata

Prima frazione
Il primo numeratore e il primo denominatore. Il denominatore non può essere zero, e il numeratore è quello che porta il segno meno se la frazione è negativa
Seconda frazione
Il secondo numeratore e il secondo denominatore, trattati esattamente come i primi: l'ordine dei due addendi non cambia la somma
Denominatore comune
Il minimo comune multiplo dei due denominatori: 12 per 1/4 più 1/6. È il numero più piccolo che entrambi i denominatori dividono, ed è ciò che rende i numeratori contabili insieme
Frazioni convertite
Ogni frazione riscritta sul denominatore comune, il che significa moltiplicare il suo numeratore per lo stesso fattore per cui è stato moltiplicato il denominatore: 1/4 diventa 3/12 e 1/6 diventa 2/12. I valori non cambiano, cambia solo la dimensione delle parti
Somma
I due numeratori convertiti sommati sopra il denominatore comune e poi ridotti alla forma più semplice. Si stampa come frazione, e una impropria resta impropria invece di diventare un numero misto

Due frazioni si sommano con questo metodo ogni volta che i denominatori differiscono, cioè quasi sempre nella pratica. Il primo uso è il compito di scuola, dove il punto è il passo di conversione e non la risposta: il pannello stampa le due frazioni convertite perché il procedimento si possa confrontare con un foglio di esercizi invece che solo con il numero finale. Il secondo è una misura che arriva in frazioni di dimensioni diverse, come un quarto d'ora più un sesto d'ora, dove la somma ha senso solo quando entrambe sono contate nella stessa unità, in questo caso dodicesimi d'ora. Il terzo è il controllo del calcolo di qualcun altro: un totale uscito come 10/24 per un quarto più un sesto è stato ottenuto moltiplicando fra loro i denominatori, il che è corretto ma non ridotto, e il denominatore comune di 12 di questa pagina mostra che la stessa somma si può fare con parti più piccole. Quando i denominatori coincidono già, il passo di conversione non cambia nulla e i numeratori si sommano e basta.

Esempi svolti

  1. 1/4 + 1/6

    1. Minimo comune multiplo di 4 e 6: 12
    2. Converti la prima: 1/4 = 3/12, perché 12 ÷ 4 = 3
    3. Converti la seconda: 1/6 = 2/12, perché 12 ÷ 6 = 2
    4. Somma i numeratori: 3 + 2 = 5, che dà 5/12

    Il caso predefinito, e quello che mostra che cosa compra il denominatore comune: le parti sono dodicesimi e non ventiquattresimi, perché 12 è il numero più piccolo che 4 e 6 dividono entrambi. La somma è già ai minimi termini.

  2. 1/2 + 1/3

    1. Minimo comune multiplo di 2 e 3: 6
    2. Converti la prima: 1/2 = 3/6
    3. Converti la seconda: 1/3 = 2/6
    4. Somma i numeratori: 3 + 2 = 5, che dà 5/6

    Qui il denominatore comune coincide per caso con il prodotto dei due denominatori, perché 2 e 3 non hanno fattori in comune. È l'unico caso in cui moltiplicare i denominatori dà lo stesso risultato del minimo comune multiplo, ed è per questo che la scorciatoia sembra funzionare sempre.

  3. 3/4 + 5/8, un risultato improprio

    1. Minimo comune multiplo di 4 e 8: 8, visto che 8 è già un multiplo di 4
    2. Converti la prima: 3/4 = 6/8
    3. Converti la seconda: 5/8 è già in ottavi
    4. Somma i numeratori: 6 + 5 = 11, che dà 11/8

    Un denominatore divide l'altro, quindi il denominatore comune è il maggiore dei due e non il prodotto. Il totale è più di uno, e si stampa come 11/8: una frazione impropria è un modo del tutto legittimo di scriverlo, e tiene ogni cifra nella stessa notazione.

  4. 1/2 + 1/2, che viene un intero

    1. I denominatori coincidono già, quindi il denominatore comune è 2
    2. Conversione: entrambe le frazioni sono già in mezzi
    3. Somma i numeratori: 1 + 1 = 2, che dà 2/2
    4. Semplifica: 2/2 è 1

    Due mezzi fanno un intero, e il pannello lo scrive come 1 e non come 2/2 o 1/1. Il passo di semplificazione non è facoltativo nemmeno quando il denominatore comune è il più piccolo: le frazioni convertite sono ai minimi termini, ma la somma non lo è automaticamente.

Limiti

Entrambi gli ingressi devono essere numeri interi, quindi 0,5 più 1/3 non è qualcosa che questa pagina sommi: converti prima il decimale in frazione, e la ragione è che l'intero calcolo è fatto in aritmetica intera esatta, che smette di essere esatta nel momento in cui entra un decimale. I denominatori devono essere positivi e sono limitati, e anche i numeratori lo sono, perché i due numeratori convertiti vengono moltiplicati prima di essere sommati. Il risultato è sempre scritto come frazione e mai come numero misto, quindi una somma di 11/8 resta 11/8 invece di diventare 1 3/8. Il denominatore comune è il minimo comune multiplo, che è un passo intermedio diverso da quello che mostra una calcolatrice di frazioni a quattro operazioni: sommando la stessa coppia là si ottiene 6/24 e 4/24 invece di 3/12 e 2/12, ed entrambi sono corretti, solo che costruiscono parti di dimensioni diverse. Qui si fa solo la somma: sottrazione, moltiplicazione e divisione sono pagine separate, e un risultato negativo si scrive con il segno meno sul numeratore. Infine, la pagina somma frazioni e nient'altro, quindi un numero misto va trasformato in frazione impropria prima di poter essere inserito.

Domande frequenti

Come si sommano due frazioni con denominatori diversi?
Riscrivi entrambe le frazioni in modo che condividano un denominatore, poi somma i numeratori e tieni quel denominatore. È tutta qui la formula: per 1/4 e 1/6 il denominatore condiviso è 12, quindi diventano 3/12 e 2/12 e il totale è 5/12.
Come si trova il denominatore comune?
È il minimo comune multiplo dei due denominatori: il numero più piccolo che entrambi dividono. Per 4 e 6 è 12. Moltiplicare fra loro i due denominatori dà sempre una risposta utilizzabile, ma spesso più grande del necessario.
Perché non moltiplicare semplicemente i denominatori fra loro?
Puoi farlo, e la risposta sarà giusta, ma le parti saranno più piccole del necessario: 1/4 più 1/6 fatto così dà 6/24 più 4/24, cioè 10/24, che va comunque ridotto a 5/12. Usare il minimo comune multiplo fa lo stesso lavoro con i dodicesimi invece che con i ventiquattresimi.
La risposta va semplificata dopo?
A volte sì, e la pagina lo fa prima di stampare il risultato. Usare il minimo denominatore comune tiene le parti grandi quanto possibile, ma non promette che i numeratori si sommino in qualcosa senza fattori in comune: 1/3 più 1/6 è 2/6 più 1/6, cioè 3/6, che si semplifica in 1/2.
Il risultato può essere una frazione impropria?
Sì, e viene stampato così: 3/4 più 5/8 è 11/8, che è più di uno. Scriverlo come numero misto è una conversione separata, e questa pagina tiene ogni cifra nella stessa forma, numeratore su denominatore.
Che cosa sono le due frazioni convertite sul pannello?
Sono i due addendi riscritti sul denominatore comune, cioè il passo da cui la somma dipende: 1/4 diventa 3/12 e 1/6 diventa 2/12. I loro valori non sono cambiati, è cambiata solo la dimensione delle parti con cui vengono contati.
Posso sommare un decimale e una frazione qui?
No. Entrambi i numeratori e entrambi i denominatori devono essere numeri interi, quindi 0,5 più 1/3 viene rifiutato. La ragione è che la conversione e la somma sono fatte in aritmetica intera esatta, e convertire prima il decimale in frazione mantiene quella proprietà.

Riferimenti

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