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CalcMax

Calcolatrice per sottrarre frazioni

Intervallo: 1 – 100.000

Intervallo: 1 – 100.000

Risultato

7/12

Differenza (ai minimi termini)

Denominatore comune
12
Prima frazione, convertita
9/12
Seconda frazione, convertita
2/12

Una calcolatrice per sottrarre frazioni prende due frazioni e mostra il passo che i denominatori diversi ti obbligano a fare: nessuna delle due si può sottrarre finché entrambe non sono state riscritte sopra un denominatore comune. 3/4 meno 1/6 fa 7/12, e le letture che rendono il risultato verificabile sono la coppia che gli sta sotto: 9/12 e 2/12, le stesse due frazioni riscritte in dodicesimi. Il denominatore su cui si incontrano è 12, il minimo comune multiplo di 4 e 6, e non il loro prodotto 24: 4 e 6 condividono un fattore 2, quindi 4 per 6 conta due volte tutto ciò che sta in quel fattore condiviso. Trovare il denominatore comune è la metà del lavoro, non la fine: la differenza va ancora ridotta, perché 5/6 meno 1/3 diventa 5/6 meno 2/6, che è 3/6, e 3/6 è 1/2. Il risultato si stampa ai minimi termini mentre le due letture convertite si stampano come sono state convertite, così la dimensione della riscrittura resta visibile invece di essere messa a posto di nascosto. Due frazioni uguali si sottraggono a nulla, e quel nulla si stampa come uno 0 nudo e non come 0/2. I numeratori possono essere negativi, e due frazioni negative si sottraggono con lo stesso identico metodo; la differenza però può essere negativa anche quando entrambe le frazioni sono positive, perché la sottrazione è l'operazione che può portare un numero positivo oltre lo zero: 5/8 meno 3/4 è -1/8. Il segno sta sempre sul numeratore e mai sul denominatore.

Otto sottrazioni di frazioni, con il denominatore comune in chiaro

Prima frazioneSeconda frazioneDenominatore comuneDifferenza
3/41/6127/12
1/71/11774/77
5/61/361/2
3/41/241/4
1/21/220
5/83/48-1/8
1/35/66-1/2
-3/81/48-5/8

Ogni riga è la stessa sequenza di quattro passi — trova il minimo comune multiplo, converti, sottrai, riduci — su una coppia diversa, e le colonne sono i due ingressi, il denominatore su cui si incontrano e il risultato ai minimi termini. Le letture intermedie non stanno in questa tabella di proposito: sono negli esempi svolti qui sopra, dove c'è spazio per mostrare i moltiplicatori. Leggi prima la terza colonna. La prima riga è la coppia predefinita, 3/4 e 1/6, dove i denominatori condividono un fattore e il denominatore comune è 12 invece di 24. La seconda riga è l'altro estremo, 1/7 e 1/11, dove non si condivide nulla e il denominatore comune è davvero il prodotto. La terza riga è quella che mostra che il denominatore comune non è la fine del lavoro: 5/6 meno 1/3 si converte in 5/6 meno 2/6, e la differenza è 1/2 invece di 3/6. La quarta riga ha un denominatore che divide l'altro, quindi solo una frazione viene convertita: 3/4 resta e 1/2 diventa 2/4. La quinta riga sono due frazioni uguali, e la differenza si stampa come uno 0 nudo senza denominatore. La sesta e la settima riga danno entrambe un risultato negativo partendo da frazioni positive, e in entrambe è la seconda frazione a essere la più grande. L'ottava riga ha un numeratore negativo sulla prima frazione, e il segno meno attraversa la conversione fino al risultato. Leggi la terza colonna dall'alto: è 12, 77, 6, 4, 2, 8, 6, 8 — ognuno il numero più piccolo che entrambi i denominatori dividono, e mai il semplice prodotto a meno che i due denominatori non siano coprimi.

Formula

a/b − c/d = (a × (L ÷ b) − c × (L ÷ d)) ÷ L dove L = mcm(b, d), il minimo comune multiplo dei due denominatori Poi riduci la differenza

Primo numeratore
La parte sopra della frazione da cui si sottrae: 3 in 3/4. Viene moltiplicato per quante volte il suo denominatore entra nel denominatore comune — per 3, nel caso predefinito, il che trasforma 3/4 in 9/12. Può essere negativo, e il segno viaggia con lui
Primo denominatore
La parte sotto della prima frazione: 4 in 3/4. Deve essere positivo, ed è uno dei due numeri il cui minimo comune multiplo diventa il denominatore comune. Resta nel pannello così com'è stato scritto, perché la riscrittura si possa controllare proprio contro di lui
Secondo numeratore
La parte sopra della frazione che viene tolta: 1 in 1/6. Il suo moltiplicatore è diverso da quello del primo — 2 nel caso predefinito, che dà 2/12 — e proprio quell'asimmetria è ciò che le due letture convertite mostrano
Secondo denominatore
La parte sotto della seconda frazione: 6 in 1/6. Insieme al primo denominatore fissa il denominatore comune a 12. Deve essere positivo per la stessa ragione per cui deve esserlo il primo
Denominatore comune (L)
Il minimo comune multiplo dei due denominatori: 12 per 4 e 6, e 77 per la coppia coprima 7 e 11, dove esce davvero come il semplice prodotto. Si calcola dividendo un denominatore per il massimo comun divisore dei due e moltiplicando il risultato per l'altro, che è lo stesso numero per una via che non eccede i limiti degli interi. Si stampa su una riga sua perché è il numero su cui gira tutto il metodo, e perché un denominatore comune più grande del necessario è lo sbaglio di calcolo più frequente su questa operazione
Frazioni convertite
Le due frazioni dopo che entrambe sono state riscritte sul denominatore comune: 9/12 e 2/12 nel caso predefinito. Si stampano come convertite e non come ridotte, perché ridurle nasconderebbe il moltiplicatore che ha fatto il lavoro. La sottrazione avviene fra questi due numeratori
Differenza
Quello che resta dopo che i due numeratori convertiti sono stati sottratti: 9 − 2 = 7 su 12. Si stampa ai minimi termini, quindi può differire da quello che ha dato la sottrazione dei numeratori convertiti — 5/6 meno 1/3 lascia 3/6, che si stampa come 1/2 — e collassa in uno 0 nudo quando le due frazioni sono uguali

Il primo uso è l'esercizio in sé, che si insegna appena i denominatori differiscono, e il pannello è costruito intorno al procedimento del libro: trova il denominatore comune, converti, sottrai, riduci. Il secondo è il controllo di un lavoro fatto a mano, dove la parte utile sono le due letture convertite: se le tue non sono queste, tutto quello che viene dopo differisce allo stesso modo. Il terzo è una coppia di denominatori che condividono un fattore, come 4 e 6, dove il denominatore comune è più piccolo del prodotto e il pannello mostra il risparmio. Il quarto è una coppia di denominatori coprimi come 7 e 11, l'altro estremo: non condividono nulla, il denominatore comune è il prodotto, e il risultato di solito arriva già ai minimi termini. Il quinto è una coppia di frazioni uguali, dove la differenza è zero e il pannello la stampa come uno 0 nudo, l'unica lettura di questa pagina che non è una frazione. La pagina non somma, non moltiplica e non divide: l'operazione è una sottrazione fra due frazioni e nient'altro, e non accetta numeri misti, che sono tre altre pagine.

Esempi svolti

  1. 3/4 − 1/6

    1. Trova il denominatore comune: il minimo comune multiplo di 4 e 6 è 12, non 24, perché entrambi dividono 12 e 4 × 6 ha contato due volte il loro fattore condiviso 2
    2. Converti la prima frazione: 12 ÷ 4 = 3, quindi 3/4 diventa (3 × 3)/(4 × 3) = 9/12
    3. Converti la seconda frazione: 12 ÷ 6 = 2, quindi 1/6 diventa (1 × 2)/(6 × 2) = 2/12
    4. Sottrai i numeratori sopra il denominatore comune: 9 − 2 = 7, che dà 7/12
    5. 7 e 12 non condividono nulla, quindi 7/12 è già ai minimi termini

    Il caso predefinito, e quello che mostra perché il denominatore comune non è semplicemente il prodotto: 4 e 6 dividono entrambi 12, e 12 è il numero più piccolo che entrambi dividono, quindi i dodicesimi bastano e i ventiquattresimi sarebbero stati il doppio del lavoro. Le due letture convertite sono la prova: 9/12 e 2/12 hanno lo stesso denominatore, ed è esattamente questo che rende legale la sottrazione. Nota che i numeri convertiti si stampano come sono stati convertiti e non ridotti: 2/12 si potrebbe scrivere 1/6, ma allora sparirebbe il moltiplicatore che l'ha prodotto, e il moltiplicatore è il passo che si sta mostrando.

  2. 5/6 − 1/3

    1. Trova il denominatore comune: 3 divide 6, quindi il minimo comune multiplo è 6
    2. La prima frazione non ha bisogno di conversioni: 6 ÷ 6 = 1, quindi resta 5/6
    3. Converti la seconda: 6 ÷ 3 = 2, quindi 1/3 diventa 2/6
    4. Sottrai: 5 − 2 = 3 su 6, che dà 3/6
    5. Riduci: il massimo comun divisore di 3 e 6 è 3, quindi 3/6 = 1/2

    Il caso che mostra come un denominatore comune non chiuda il lavoro. La differenza dei numeratori convertiti è 3/6, e 3/6 non è il risultato: il risultato è 1/2, perché 3 e 6 condividono ancora un fattore. Un metodo che si ferma al denominatore comune qui stampa 3/6 ed è sbagliato in un modo che la pagina non può vedere, ed è per questo che questa riga sta sia nella tabella sia fra gli esempi svolti invece di essere lasciata al caso. Nota anche che una delle due letture convertite è invariata: quando un denominatore divide l'altro, solo una frazione va riscritta, e la lettura che torna indietro com'era entrata è il resoconto onesto di questo.

  3. 1/7 − 1/11

    1. Trova il denominatore comune: 7 e 11 non condividono alcun fattore, quindi il minimo comune multiplo è il loro prodotto, 77
    2. Converti la prima frazione: 77 ÷ 7 = 11, quindi 1/7 diventa 11/77
    3. Converti la seconda: 77 ÷ 11 = 7, quindi 1/11 diventa 7/77
    4. Sottrai: 11 − 7 = 4 su 77, che dà 4/77
    5. 4, 7 e 11 non condividono alcun fattore, quindi 4/77 è già ai minimi termini

    L'altro estremo del denominatore comune: due denominatori che non hanno nulla in comune, quindi il minimo comune multiplo è davvero il prodotto ed entrambe le frazioni vanno riscritte. È il caso in cui chi salta il minimo comune multiplo e moltiplica sempre i denominatori ottiene la stessa risposta — e la ragione per cui vale la pena mostrarlo lo stesso è che l'esempio precedente, 4 e 6, è quello in cui sbaglia. Nota che il risultato è 4/77 e non qualcosa come 4/77 ridotto: denominatori coprimi non garantiscono un risultato ridotto, lo rendono solo probabile, e la riduzione viene fatta sul risultato in ogni caso.

  4. 5/8 − 3/4

    1. Trova il denominatore comune: 4 divide 8, quindi il minimo comune multiplo è 8
    2. La prima frazione resta: 8 ÷ 8 = 1, e dà 5/8
    3. Converti la seconda: 8 ÷ 4 = 2, quindi 3/4 diventa 6/8
    4. Sottrai: 5 − 6 = -1 su 8, che dà -1/8

    Entrambe le frazioni sono positive e il risultato non lo è: sottrarre una frazione più grande da una più piccola porta il risultato oltre lo zero, e il pannello lo dice con un segno meno invece di rifiutare l'inserimento. Il denominatore comune è 8 e le due letture convertite sono 5/8 e 6/8, ed è questo che rende l'esito ovvio ancora prima di fare la sottrazione: il secondo numeratore è il più grande. Il segno vive sul numeratore e da nessun'altra parte: il risultato è -1/8, non 1/-8, e il denominatore resta positivo su ogni riga del pannello.

  5. 1/2 − 1/2

    1. I denominatori sono uguali, quindi il minimo comune multiplo è quel denominatore, 2
    2. Nessuna delle due frazioni va convertita: sono già scritte su 2
    3. Sottrai: 1 − 1 = 0 su 2, che dà 0/2
    4. Riduci: il massimo comun divisore di 0 e 2 è 2, quindi 0/2 diventa 0/1, che si scrive come uno 0 nudo

    Il caso in cui il risultato non è affatto una frazione. Frazioni uguali hanno differenza zero, e zero si riduce a 0/1, che la notazione frazionaria scrive senza denominatore — quindi la lettura principale è uno 0 nudo mentre la riga del denominatore comune dice ancora 2 ed entrambe le letture convertite dicono ancora 1/2. È proprio questo il punto: i due ingressi erano frazioni vere e il metodo è davvero stato eseguito, e solo il risultato è collassato. È anche l'unico punto in cui il pannello appare diverso dalla stessa sottrazione fatta sulla pagina delle addizioni, dove una somma collassa solo quando raggiunge un numero intero.

Limiti

Entrambi i denominatori devono essere positivi, perché una frazione porta il segno sul numeratore — e le letture convertite dipendono da questo, dato che ogni numeratore viene moltiplicato per un numero intero di volte e il segno deve restare in un posto solo. I numeratori possono essere negativi, e la differenza può essere negativa anche quando entrambi gli ingressi sono positivi: 5/8 − 3/4 è -1/8, che è una risposta corretta e non un errore. I numeri sono limitati in dimensione. Ogni denominatore è limitato a 100000, e ogni numeratore a circa 4,5 × 10¹⁰, che è il valore più grande per cui i due numeratori convertiti cadono ancora su interi rappresentabili esattamente. Oltre quello la sottrazione sarebbe inesatta senza dirlo, quindi la pagina rifiuta l'inserimento invece di stampare un numero che sembra giusto. In nessuna delle quattro caselle si accettano numeri con la virgola: un numeratore decimale viene rifiutato, e la pagina rimanda alla pagina di conversione da decimale a frazione. Lo zero in un numeratore va bene: si converte in 0 sul denominatore comune come qualunque altro valore. La pagina sottrae due frazioni e nient'altro: non somma, non moltiplica e non divide, e non accetta un numero misto scritto come un intero accanto a una frazione, che va prima trasformato in frazione impropria — a questo serve la pagina dei numeri misti. Le letture intermedie qui sono deliberatamente diverse da quelle della calcolatrice di frazioni e della pagina dei numeri misti: quelle due moltiplicano i denominatori in croce e stampano il prodotto prima della riduzione, mentre questa pagina trova il minimo comune multiplo e stampa le due frazioni convertite. La stessa sottrazione mostra quindi 9/12 e 2/12 qui e una coppia intermedia diversa là, e i risultati coincidono. Infine, il risultato è sempre ridotto ma le letture convertite no: una frazione convertita può stampare qualcosa come 6/8, e quella è la lettura che registra la conversione, non una riduzione dimenticata.

Domande frequenti

Come si sottraggono due frazioni con denominatori diversi?
Riscrivi entrambe le frazioni sopra un denominatore comune, poi sottrai i numeratori e tieni quel denominatore. 3/4 meno 1/6 diventa 9/12 meno 2/12, che è 7/12. Moltiplicare fra loro i due denominatori dà sempre un denominatore comune utilizzabile, e prendere il minimo comune multiplo ne dà uno più piccolo.
Perché per 3/4 e 1/6 il denominatore comune è 12 e non 24?
Perché 12 è il numero più piccolo che sia 4 sia 6 dividono. Moltiplicare 4 per 6 conta due volte il fattore 2 che i due denominatori condividono, il che raddoppia ogni numero del calcolo. I ventiquattresimi arriverebbero alla stessa risposta con il doppio dell'aritmetica: il pannello stampa il più piccolo, così i moltiplicatori restano piccoli.
Bisogna ancora ridurre dopo aver trovato il denominatore comune?
Sì. Un denominatore comune rende possibile la sottrazione, non rende ridotto il risultato. 5/6 meno 1/3 è 5/6 meno 2/6, che è 3/6, e 3/6 è 1/2. La pagina riduce la differenza e lascia le due letture convertite come sono state convertite, così entrambi i fatti restano visibili.
Il risultato può essere negativo?
Sì. 5/8 meno 3/4 è 5/8 meno 6/8, che è -1/8: sottrarre una frazione più grande da una più piccola porta il risultato sotto zero, e quella è una risposta vera e non un errore. Il segno sta sul numeratore, quindi il risultato si scrive -1/8 e mai come una frazione con il denominatore negativo.
Che cosa succede quando le due frazioni sono uguali?
La differenza è zero. 1/2 meno 1/2 si converte in 1/2 meno 1/2, i numeratori si sottraggono a 0, e 0 su 2 si riduce a 0 su 1 — che si scrive come uno 0 nudo, senza denominatore. La riga del denominatore comune dice comunque 2, perché il metodo è davvero stato eseguito.
Posso sottrarre numeri misti qui?
No. Questa pagina prende quattro numeri interi che formano due frazioni, quindi un numero misto come 4 1/2 va trasformato in frazione impropria — 9/2 — prima di poter essere inserito, e quella conversione è ciò che fa la pagina da numero misto a frazione impropria. Anche somma, moltiplicazione e divisione sono tre altre pagine.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice di frazioniSomma, sottrae, moltiplica e divide frazioni e le semplifica.Calcolatrice per sommare frazioniSomma frazioni con denominatori diversi e semplifica.Calcolatrice per semplificare frazioniRiduce una frazione ai minimi termini e mostra il divisore.Calcolatrice di numeri mistiAritmetica con numeri misti e frazione impropria equivalente.