Calcolatrice di numeri misti
Risultato
Numero misto
- Frazione impropria
- 15/4
- Prima della riduzione
- 30/8
Una calcolatrice di numeri misti fa aritmetica su numeri scritti nel modo scolastico — un intero e una frazione uno accanto all'altro, come 2 1/4 — e stampa la risposta allo stesso modo. Sommare 2 1/4 e 1 1/2 dà 3 3/4. Ne bastano tre, e il pannello ti sta mostrando qualcosa che una calcolatrice di frazioni non mostra: lo stesso risultato scritto in tre modi diversi. La prima riga è la risposta come numero misto, che è la forma in cui è arrivata la domanda e la forma in cui di solito si vuole la risposta. La seconda è quella stessa risposta come frazione impropria — 15/4 — che è quello che cerca chi corregge il procedimento, dato che è il passaggio attraverso cui il numero misto deve passare per diventare una frazione unica. La terza è il prodotto prima di qualunque riduzione: 30/8, l'uscita grezza dell'aritmetica, così che il passo di riduzione sia visibile invece che dato per buono. C'è una sola regola sui segni, e discende da come si legge la notazione: il meno in -1 1/2 appartiene a tutto quanto, perché -1 1/2 significa meno uno e mezzo, non meno uno più un mezzo. Quindi è il campo della parte intera a portare il segno, e la frazione che gli sta sopra porta soltanto una dimensione. È anche il motivo per cui il campo del numeratore non accetta un segno meno: 1 -1/2 si potrebbe leggere in due modi, e una pagina che ne sceglie uno in silenzio è peggio di una pagina che ti chiede di scrivere quello che intendevi. Una cosa da sapere sulla notazione in sé: la forma affiancata è davvero ambigua, e i matematici la leggono come una moltiplicazione. Scrivi 2 1/4 dentro un'espressione algebrica e quella dice due per un quarto, che non è quello che intendevi. Questa pagina stampa comunque la notazione, perché è la notazione di cui hai chiesto, e tiene la forma non ambigua sulla seconda riga, accanto.
Otto calcoli con numeri misti
| Primo | Secondo | Operazione | Risultato |
|---|---|---|---|
| 2 1/4 | 1 1/2 | + | 3 3/4 |
| 3 1/2 | 1 3/4 | − | 1 3/4 |
| 1 2/3 | 2 1/4 | × | 3 3/4 |
| 2 1/2 | 1 1/4 | ÷ | 2 |
| -1 1/2 | 2 1/4 | + | 3/4 |
| 1 1/2 | 4 0/1 | − | -2 1/2 |
| 1 1/3 | 1 1/3 | ÷ | 1 |
| 1 1/2 | 2 4/1 | × | 9 |
Ogni riga è la stessa sequenza di quattro passi — converti, opera, riduci, riconverti — su una coppia diversa di numeri misti, e le quattro colonne sono i due ingressi, il segno dell'operazione e la risposta in forma mista. Le prime quattro righe sono le quattro operazioni sugli stessi numeri piccoli, così l'effetto dell'operatore si legge scorrendo l'ultima colonna: sommando viene 3 3/4, sottraendo 1 3/4, moltiplicando di nuovo 3 3/4, e dividendo 2. Due delle quattro atterrano sulla stessa risposta, il che ricorda che sono domande genuinamente diverse che qui condividono il risultato. La quinta riga ha il primo numero negativo, dove il segno appartiene a tutto il numero misto e la conversione moltiplica la parte intera per il denominatore; la risposta è sotto uno, quindi la forma mista rinuncia e stampa una frazione semplice. La sesta riga sottrae un intero scritto come 4 0/1, e la risposta è negativa, stampata con il meno davanti a tutto il numero misto: -2 1/2. La settima riga divide un numero per se stesso e ottiene 1: la frazione sopravvive a tutto il calcolo e poi si annulla completamente. L'ottava riga moltiplica uno e mezzo per un intero scritto per esteso, 2 4/1, che è 2 + 4 e quindi 6; il prodotto è 9, un intero senza più nessuna frazione dentro. Scorrendo l'ultima colonna c'è una regolarità che vale la pena notare: la forma mista è complicata solo quanto gli ingressi, e collassa in una frazione semplice o in un intero secco ogni volta che la risposta non ha bisogno di una parte intera. Un'ultima cosa mentre leggi: i numeri della colonna Risultato li calcola il programma e portano il punto, mentre il testo di questa nota usa la virgola — sono lo stesso numero scritto in due modi, non due numeri diversi.
Formula
Numeratore improprio = |parte intera| × denominatore + numeratore Poi: a/b + c/d = (a×d + c×b) / (b×d) b/d × c/f = (b×c) / (d×f)
- Parte intera
- L'intero davanti alla frazione, in uno qualsiasi dei due numeri misti: 2 in 2 1/4, oppure 1 in 1 1/2. Può essere negativo, e quando lo è il meno appartiene a tutto il numero misto — -1 1/2 è meno uno e mezzo, non meno un mezzo. È la parte che porta il segno.
- Numeratore
- La parte alta della frazione, in uno qualsiasi dei due numeri misti: 1 in 2 1/4. Deve essere zero o più: un segno meno qui renderebbe ambiguo il numero misto, e la pagina lo rifiuta invece di scegliere una lettura al posto tuo.
- Denominatore
- La parte bassa della frazione, in uno qualsiasi dei due numeri misti: 4 in 2 1/4. Deve essere positivo, per la stessa ragione per cui lo è sempre il denominatore di una frazione: il segno vive sul numeratore, e c'è un posto solo dove può vivere.
- Operazione
- Somma, sottrai, moltiplica o dividi. Tutte e quattro passano per la stessa conversione, quindi la scelta decide soltanto quale delle quattro combinazioni di numeratore e denominatore si forma alla fine.
- Numero misto
- La lettura principale: il risultato scritto come un intero e una frazione. 15/4 si stampa come 3 3/4. Quando il risultato è un intero la frazione sparisce del tutto, e quando è minore di uno sparisce l'intero: 3/4 non ha uno 0 davanti.
- Frazione impropria
- Lo stesso risultato come frazione unica ai minimi termini, 15/4. È esatta, ed è la forma in cui il numero misto deve essere trasformato prima di poter essere sommato, sottratto, moltiplicato o diviso con qualcos'altro.
- Prima della riduzione
- Il risultato dell'aritmetica prima di qualunque semplificazione: 30/8 nel caso predefinito. Serve a rendere visibile il procedimento — 30/8 e 15/4 sono lo stesso numero, e la seconda riga è come quel numero appare quando è ai minimi termini.
Il primo uso è il compito di casa, ed è la ragione per cui esiste la seconda riga: i numeri misti vanno convertiti prima di poter essere elaborati, quindi a una domanda posta in forma mista si risponde passando per la forma impropria, e entrambe vengono stampate. Il secondo è controllare un calcolo già fatto, dove inserire i due numeri misti e confrontare la terza riga con quello che hai scritto mostra se l'aritmetica grezza era giusta prima di qualunque semplificazione. Il terzo è quando devi sottrarre attraverso lo zero: 1 1/2 meno 4 fa -2 1/2, e la convenzione sui segni conta soprattutto proprio in quei casi. Il quarto è quando devi dividere due numeri misti e il risultato viene esatto: 2 1/2 diviso 1 1/4 fa 2, e la frazione semplicemente non c'è nella risposta, cosa che vale la pena vedere una volta. Il quinto è qualunque ricetta o misura che arriva in forma mista e va raddoppiata, dimezzata o scalata: raddoppiare 2 1/4 è una moltiplicazione per 2 0/1, e il quarto campo la accetta. Se invece ti serve soltanto convertire un numero misto in frazione impropria, senza fare aritmetica, quella è una pagina a parte.
Esempi svolti
2 1/4 + 1 1/2
- In forma impropria: 2 1/4 è 2 × 4 + 1 = 9, quindi 9/4; e 1 1/2 è 1 × 2 + 1 = 3, quindi 3/2
- Somma in croce: (9 × 2 + 3 × 4) ÷ (4 × 2) = (18 + 12) ÷ 8 = 30/8
- Riduci: 30/8 si divide per 2, e dà 15/4
- Torna in forma mista: 15 ÷ 4 fa 3 con resto 3, quindi 3 3/4
Il caso predefinito, e quello che mostra perché si stampano tre letture invece di una: 30/8, 15/4 e 3 3/4 sono lo stesso numero in tre stadi diversi. Il primo passo è la conversione su cui è costruita tutta la pagina — l'intero moltiplicato per il denominatore e sommato al numeratore — e l'ultimo passo la inverte, ed è per questo che la risposta torna nella forma in cui era stata chiesta. Rileggere i quattro passi è anche il controllo: se la frazione ridotta e il numero misto non concordano, uno dei due è stampato male.
3 1/2 − 1 3/4
- In forma impropria: 3 1/2 è 3 × 2 + 1 = 7, quindi 7/2; e 1 3/4 è 1 × 4 + 3 = 7, quindi 7/4
- Sottrai in croce: (7 × 4 − 7 × 2) ÷ (2 × 4) = (28 − 14) ÷ 8 = 14/8
- Riduci: 14/8 si divide per 2, e dà 7/4
- Torna in forma mista: 7 ÷ 4 fa 1 con resto 3, quindi 1 3/4
Una sottrazione, dove gli interi si sottraggono attraverso la stessa conversione invece che separatamente: 3 meno 1 darebbe 2, e la risposta è 1 3/4, perché le frazioni si riprendono più di un intero. Fare prima la sottrazione sugli interi è l'errore che questa forma è fatta per intercettare, e basta un'occhiata alla riga ridotta per vederlo: 7/4 è meno di 2, quindi la risposta non può essere 2 e qualcosa. Nota che qui il numeratore esce positivo; quando esce negativo il segno va davanti a tutto il numero misto.
1 2/3 × 2 1/4
- In forma impropria: 1 2/3 è 1 × 3 + 2 = 5, quindi 5/3; e 2 1/4 è 2 × 4 + 1 = 9, quindi 9/4
- Moltiplica in croce: (5 × 9) ÷ (3 × 4) = 45/12
- Riduci: 45/12 si divide per 3, e dà 15/4
- Torna in forma mista: 15 ÷ 4 fa 3 con resto 3, quindi 3 3/4
Una moltiplicazione, che è l'unica operazione in cui i numeri misti non devono essere allineati in alcun modo: 45/12 e la sua forma ridotta 15/4 sono lo stesso numero, e si arriva a entrambi moltiplicando numeratori e denominatori direttamente in croce. Nota che la stessa risposta, 3 3/4, è uscita anche dal caso predefinito dell'addizione: domanda diversa, stesso risultato, che è una coincidenza di questi due esempi e un promemoria a leggere i campi invece della risposta. Nota anche che la terza riga, 45/12, è il numero più grande della pagina: il prodotto grezzo di due frazioni è sempre maggiore della sua forma ridotta.
2 1/2 ÷ 1 1/4
- In forma impropria: 2 1/2 è 5/2, e 1 1/4 è 5/4
- Dividi invertendo la seconda: (5 × 4) ÷ (2 × 5) = 20/10
- Riduci: 20/10 fa 2
- La forma mista di 2 è semplicemente 2 — non resta nessuna frazione da scrivere
Una divisione che viene esatta, ed è il caso che mostra la notazione del numero misto che rinuncia: 2 si stampa come 2, non come 2 0/1, perché un numeratore nullo non ha niente da scrivere sopra la linea. L'aritmetica in sé è la stessa conversione di tutto il resto, con la seconda frazione capovolta — 20/10 si riduce a 2, e la riga grezza serve a far vedere il 20 e il 10 prima che si annullino. È anche la forma in cui un numero misto è davvero lo strumento sbagliato: la risposta non è mai stata un numero misto.
-1 1/2 + 2 1/4
- In forma impropria: -1 1/2 è −(1 × 2 + 1) = −3, quindi −3/2; e 2 1/4 è 9/4
- Somma in croce: (−3 × 4 + 9 × 2) ÷ (2 × 4) = (−12 + 18) ÷ 8 = 6/8
- Riduci: 6/8 si divide per 2, e dà 3/4
- Il risultato è minore di uno, quindi la forma mista è semplicemente la frazione
La regola del segno al lavoro: il meno appartiene a tutto il numero misto, quindi -1 1/2 si converte in −3/2 e non in −1/2. Il primo passo è dove questo si vede, e la moltiplicazione per il denominatore lo rende concreto: la parte intera contribuisce −1 × 2, non +1 × 2 con un meno sperduto da qualche altra parte. La risposta è fra zero e uno, quindi la forma mista collassa in una frazione semplice e le prime due righe concordano esattamente; la terza è l'unica che conserva ancora il 6/8 non semplificato.
Limiti
Il numeratore di uno qualsiasi dei due numeri misti deve essere zero o più. Un segno meno lì sarebbe ambiguo — 1 -1/2 potrebbe significare uno meno un mezzo oppure uno più un mezzo negativo, e -1 -1/2 non ha alcuna lettura — quindi la pagina lo rifiuta e ti chiede di mettere il segno sulla parte intera, dove ha un significato solo. La parte intera può essere negativa, ed è così che si scrive un numero misto negativo. I denominatori devono essere positivi, dato che il segno vive sul numeratore. Entrambi i numeri misti sono limitati in grandezza: le parti intere e i numeratori sono limitati a centomila, e il numeratore improprio in cui un numero misto si converte è limitato in modo che i due si possano moltiplicare fra loro senza uscire dall'intervallo degli interi rappresentabili esattamente — un prodotto di due numeri oltre i novantaquattro milioni circa sarebbe inesatto senza dirlo, quindi la pagina rifiuta l'ingresso. La divisione per zero è rifiutata, dove zero significa che tutto il secondo numero misto è zero, il che comprende forme come 0 0/4 che a prima vista non sembrano uno zero. Il risultato non è mostrato con un numero fisso di cifre decimali, perché non ci sono decimali: ogni lettura di questa pagina è esatta, ed è per questo che le frazioni valgono la fatica. Quello che la pagina non farà è decidere se un numero misto sia il modo giusto di scrivere la tua risposta: un matematico direbbe che di solito non lo è, e quell'obiezione è reale, anche se non è aritmetica.
Domande frequenti
- Come si sommano i numeri misti?
- Converti entrambi in frazioni improprie, fai l'aritmetica, poi torna indietro. 2 1/4 è 2 × 4 + 1 = 9, quindi 9/4; 1 1/2 è 3/2. Sommando si ottiene (9 × 2 + 3 × 4) ÷ (4 × 2) = 30/8, che si riduce a 15/4, che è 3 3/4. La pagina esegue tutti e quattro i passi e ne stampa gli ultimi tre.
- Perché la risposta è stampata tre volte?
- Perché sono tre cose diverse che ti possono servire. Il numero misto è la risposta nella forma in cui era stata chiesta la domanda. La frazione impropria è la forma attraverso cui deve passare il procedimento, e la forma in cui una frazione si può usare. La terza riga è il risultato prima di qualunque semplificazione, ed è quella con cui confrontarsi se stai controllando a mano il tuo procedimento.
- Posso inserire un numero misto negativo?
- Sì, mettendo il meno sul campo della parte intera: -1 1/2 è meno uno e mezzo. Il campo del numeratore non accetta un segno meno, ed è voluto: 1 -1/2 si può leggere come uno meno un mezzo o come uno più un mezzo negativo, e -1 -1/2 è peggio. Un segno solo, nell'unico posto dove ha un significato unico.
- La pagina usa un denominatore comune?
- No, e non ne stampa nemmeno uno. Addizione e sottrazione moltiplicano fra loro i due denominatori e moltiplicano in croce i numeratori, il che dà la stessa risposta che si otterrebbe cercando il minimo comune denominatore — 30/8 invece di 15/4 nel caso predefinito, lo stesso numero. Il denominatore comune vale la fatica in più solo quando il pannello lo mostra, ed è quello che fa la pagina per sommare le frazioni.
- 2 1/4 è il modo giusto di scrivere due e un quarto?
- È il modo in cui di solito si scrive in una ricetta o a scuola, ed è ambiguo. I matematici leggono due simboli affiancati come una moltiplicazione, quindi 2 1/4 dice due per un quarto, che è un mezzo. La voce di MathWorld stessa sull'argomento racconta che il suo autore perse punti a un esame di analisi per averlo scritto così. Questa pagina lo stampa perché è la notazione di cui hai chiesto, e tiene 9/4 sulla riga sotto.
- Che succede se la risposta è un numero intero?
- La frazione sparisce. Dividere 2 1/2 per 1 1/4 dà 20/10, che si riduce a 2, e 2 si stampa come 2 invece che come 2 0/1: un numeratore nullo non ha niente da mettere sopra la linea. La stessa regola vale nell'altro verso: una risposta sotto 1 si stampa come frazione semplice, senza uno 0 davanti.
- Perché non divide per 0 0/4?
- Perché 0 0/4 è zero. Il divisore è tutto il secondo numero misto, e un numero misto è zero quando la sua parte intera e la sua frazione sono entrambe nulle — una forma che non sembra uno zero finché non la converti. Lo zero non ha reciproco, quindi la divisione non ha risposta, e la pagina te lo dice invece di stampare qualcosa.
Riferimenti
- Mixed Fraction — the definition of a mixed fraction as an improper fraction written as a whole number beside a fraction, the ambiguity of that notation in algebra, and the author's own account of losing marks on a calculus exam for using it — Wolfram MathWorld (United States)
- Improper Fraction — a fraction whose numerator is at least its denominator, which is the form both mixed numbers are converted into before the arithmetic runs — Wolfram MathWorld (United States)
- Proper Fraction — a fraction whose numerator is smaller than its denominator, which is what is left over beside the whole number when a result is written as a mixed number — Wolfram MathWorld (United States)
- Reduced Fraction — the lowest terms of a fraction, which is the step between the raw result on the third line and the two readings above it — Wolfram MathWorld (United States)
- Greatest Common Divisor — the largest integer dividing two given integers, used to cancel the raw result down to lowest terms — Wolfram MathWorld (United States)