Calcolatrice per moltiplicare frazioni
Risultato
Prodotto (ai minimi termini)
- Prima della riduzione
- 6/12
- Prima frazione, semplificata
- 1
- Seconda frazione, semplificata
- 1/2
Una calcolatrice per moltiplicare frazioni prende due frazioni e te ne dà il prodotto — e poi ti mostra la scorciatoia che rende la moltiplicazione facile. 2/3 per 3/4 fa 1/2, e la ragione per cui vale la pena mostrarlo è che la moltiplicazione grezza dà 6/12: corretto, e molto lontano dal risultato. La semplificazione incrociata ci arriva prima. Prima di moltiplicare, guarda ogni numeratore contro il denominatore che gli sta in diagonale e divide entrambi per quello che hanno in comune; qui il 2 sopra la linea si semplifica contro il 4 sotto l'altra linea, e il 3 si semplifica contro l'altro 3. Quello che resta è 1/1 per 1/2, che è il risultato senza alcun passo di riduzione alla fine. Entrambe quelle letture sono sul pannello. I quattro numeri che questa pagina stampa sono il prodotto ai minimi termini, lo stesso prodotto prima che venisse semplificato qualcosa, e i due fattori come appaiono una volta fatta la semplificazione — gli ultimi due sono ciò che rende la scorciatoia verificabile invece che un trucco da mandare a memoria. Moltiplicare frazioni è l'unica operazione che non ha bisogno di un denominatore comune, e vale la pena notare il perché: sommare quarti e terzi significa prima trovare i dodicesimi, mentre moltiplicarli moltiplica fra loro i due denominatori e un passo del genere non esiste. L'unica cosa che manda fuori strada è quali coppie si semplificano, e la risposta è quelle diagonali — un numeratore contro il denominatore opposto — mai i due numeratori fra loro, perché quelli si moltiplicano invece di semplificarsi.
Otto prodotti di frazioni, con le semplificazioni in chiaro
| Prima frazione | Seconda frazione | Prima semplificata | Seconda semplificata | Prodotto |
|---|---|---|---|---|
| 2/3 | 3/4 | 1 | 1/2 | 1/2 |
| 3/4 | 8/9 | 1 | 2/3 | 2/3 |
| 5/6 | 3/10 | 1/2 | 1/2 | 1/4 |
| 7/8 | 4/5 | 7/2 | 1/5 | 7/10 |
| -2/3 | 3/4 | -1 | 1/2 | -1/2 |
| -7/9 | 3/7 | -1/3 | 1 | -1/3 |
| 1/2 | 2 | 1 | 1 | 1 |
| 99/100 | 100/99 | 1 | 1 | 1 |
Ogni riga è la stessa sequenza di due passi — semplifica le diagonali, poi moltiplica in linea — su una coppia diversa, e le cinque colonne sono i due ingressi, i due fattori dopo la semplificazione e il risultato ai minimi termini. Moltiplicare fra loro le due colonne semplificate dà sempre il prodotto nell'ultima colonna, ed è il controllo che la semplificazione sia stata fatta contro i compagni giusti: se i due fattori semplificati non si moltiplicano nel prodotto, un numeratore è stato accoppiato con il denominatore sbagliato. Le prime tre righe sono coppie in cui entrambe le diagonali si semplificano e i fattori tornano semplici; la terza di esse, 5/6 per 3/10, si semplifica in entrambe le direzioni e atterra su 1/4. La quarta riga è l'altra forma, quella in cui una diagonale è coprima e passa intatta — 7 contro 5 — quindi il primo fattore semplificato conserva un denominatore 2 mentre l'altro si semplifica del tutto. La quinta riga è negativa, e il segno meno sopravvive alla semplificazione sul numeratore. La sesta riga ha le due frazioni che si semplificano completamente, 3 contro 9 e 7 contro 7, quindi il secondo fattore torna come un 1 nudo. La settima riga moltiplica un mezzo per un numero intero scritto come 2/1, che non ha bisogno di alcun caso particolare. L'ottava riga è una frazione per il suo reciproco: si semplifica tutto, entrambi i fattori tornano 1, e il risultato è 1 — la riga in cui la scorciatoia ha risparmiato più lavoro, dato che moltiplicare direttamente avrebbe scritto 9900 su 9900. Leggi le prime due colonne di seguito e i risultati in colonna: gli stessi quattro numeri riordinati danno prodotti diversi, ed è per questo che vale la pena controllare contro la riga non ridotta se sono stati inseriti nei campi sbagliati.
Formula
a/b × c/d = (a × c) / (b × d) Semplificazione incrociata: dividi a e d per MCD(a, d), e c e b per MCD(c, b), prima di moltiplicare Poi riduci il prodotto
- Primo numeratore
- La parte sopra della prima frazione: 2 in 2/3. Si semplifica contro il denominatore dell'altra frazione, non contro il proprio e non contro l'altro numeratore. Può essere negativo, e il segno viaggia con lui attraverso la semplificazione e fino al risultato
- Primo denominatore
- La parte sotto della prima frazione: 3 in 2/3. Deve essere positivo — una frazione porta il segno sul numeratore, ed è quella convenzione a rendere la semplificazione non ambigua. Si semplifica contro il numeratore della seconda frazione
- Secondo numeratore
- La parte sopra della seconda frazione: 3 in 3/4. Si semplifica contro il primo denominatore, che nel caso predefinito è lo stesso 3, quindi i due spariscono insieme ed entrambe le letture semplificate escono più semplici
- Secondo denominatore
- La parte sotto della seconda frazione: 4 in 3/4. Si semplifica contro il primo numeratore — il 2 contro il 4 nel caso predefinito — e deve essere positivo per la stessa ragione per cui deve esserlo il primo denominatore
- Semplificazione incrociata
- Dividere il numeratore di una frazione e il denominatore dell'altra per il loro massimo comun divisore prima di moltiplicare. Si semplificano entrambe le coppie diagonali, e il punto di farlo prima è che il prodotto arriva già ai minimi termini, quindi non c'è nessuna divisione lunga alla fine. Funziona perché dividere un fattore e moltiplicare per lo stesso numero si annullano
- Fattori semplificati
- Le due frazioni come appaiono dopo che le coppie diagonali sono state semplificate: 1/1 e 1/2 nel caso predefinito. Sono i fattori semplificati che, moltiplicati fra loro, danno il valore del risultato, ed è così che si controlla la scorciatoia: se le due letture non si moltiplicano nel prodotto, qualcosa è stato semplificato contro il compagno sbagliato. Si stampano così come sono, quindi un fattore che si semplifica completamente appare come un 1 nudo
- Prodotto prima della riduzione
- Quello che dà moltiplicare direttamente in linea, senza alcuna semplificazione: 6/12 nel caso predefinito. È lo stesso numero del risultato e una coppia di interi molto più grande, e si stampa perché la differenza fra le due strade resti visibile invece che affermata
Il primo uso è l'esercizio: moltiplicare frazioni si insegna prima di dividerle, ed è l'operazione in cui viene introdotta la semplificazione in diagonale, ed è per questo che il pannello stampa entrambi i fattori semplificati invece del solo risultato. Il secondo è il controllo di un lavoro fatto a mano: inserisci le due frazioni, confronta i fattori semplificati con i tuoi, e se i tuoi differiscono differirà anche il prodotto. Il terzo è un prodotto che si riduce di molto, come 99/100 per 100/99, dove moltiplicare direttamente dà 9900/9900 e la semplificazione incrociata dà 1 senza alcuna aritmetica. Il quarto è una frazione negativa, dove il segno deve sopravvivere alla semplificazione: -2/3 per 3/4 è -1/2, e il segno appartiene al numeratore che lo porta. Il quinto è una frazione moltiplicata per un numero intero, che è semplicemente la seconda frazione scritta con denominatore 1 — 1/2 per 2 è 1/2 per 2/1 — e la pagina la accetta senza alcun caso particolare.
Esempi svolti
2/3 × 3/4
- Semplifica le diagonali: 2 contro 4 condividono un fattore 2, che dà 1 e 2; 3 contro 3 condividono 3, che dà 1 e 1
- I due fattori sono ora 1/1 e 1/2
- Moltiplica in linea: (1 × 1) ÷ (1 × 2) = 1/2
- Senza semplificare sarebbe stato (2 × 3) ÷ (3 × 4) = 6/12, che è lo stesso numero
Il caso predefinito, e quello che mostra che cosa compra la semplificazione incrociata: le due strade producono 1/2 e 6/12, lo stesso valore, e solo una delle due è già ai minimi termini. Nota che il primo fattore semplificato si stampa come un 1 nudo invece che come 1/1 — tutti i suoi numeri si sono semplificati, e un denominatore pari a 1 si scrive senza. Il controllo sta nelle ultime due letture: moltiplicale e ottieni il risultato, 1 × 1/2 = 1/2.
7/8 × 4/5
- Semplifica le diagonali: 7 contro 5 non condividono nulla, quindi restano entrambi; 4 contro 8 condividono 4, che dà 1 e 2
- I due fattori sono ora 7/2 e 1/5
- Moltiplica in linea: (7 × 1) ÷ (2 × 5) = 7/10
- Senza semplificare: (7 × 4) ÷ (8 × 5) = 28/40, lo stesso numero con interi più grandi
Il caso in cui solo una delle due diagonali si semplifica: 7 e 5 sono coprimi, quindi quella coppia passa intatta e il primo fattore conserva un denominatore 2, mentre l'altra diagonale si semplifica del tutto e il secondo fattore scende a 1/5. Metà del lavoro della semplificazione incrociata è riconoscere quando non c'è nulla da fare, ed è per questo che una lettura che torna invariata è un'informazione e non un fallimento. Il risultato 7/10 è già ai minimi termini, e la riga non ridotta 28/40 mostra che cosa avrebbe consegnato la strada lunga.
99/100 × 100/99
- Semplifica le diagonali: 99 contro 99 condividono 99, che dà 1 e 1; 100 contro 100 condividono 100, che dà 1 e 1
- Entrambi i fattori sono ora 1/1
- Moltiplica in linea: 1 × 1 = 1
- Senza semplificare: (99 × 100) ÷ (100 × 99) = 9900/9900, che è pure 1
Una frazione moltiplicata per il suo reciproco, cioè il caso che mostra quanto faccia risparmiare la scorciatoia: la strada lunga costruisce 9900 su 9900 e poi deve ridurlo di nuovo a 1, mentre la semplificazione incrociata non scrive mai nessuno dei due numeri. Le due letture tornano come 1 nudi perché entrambi i fattori si sono semplificati del tutto, che è la forma di un reciproco in questa notazione. È anche l'illustrazione più chiara del perché la semplificazione funziona: il 99 e il 100 vengono moltiplicati e divisi ciascuno per la stessa quantità.
-2/3 × 3/4
- Semplifica le diagonali: -2 contro 4 condividono un fattore 2, che dà -1 e 2; 3 contro 3 condividono 3, che dà 1 e 1
- I due fattori sono ora -1/1 e 1/2
- Moltiplica in linea: (-1 × 1) ÷ (1 × 2) = -1/2
- Il segno appartiene al numeratore per tutta la durata del calcolo
Una frazione negativa, dove il segno viaggia insieme al numeratore attraverso la semplificazione: -2 e 4 condividono un fattore 2, e quello che resta è -1 e 2, quindi il meno è ancora lì dopo la semplificazione invece di essere cancellato insieme al resto. Nota che il denominatore resta positivo su ogni riga — una frazione porta il segno sopra, ed è esattamente la convenzione che tiene la cosa non ambigua. Un fattore negativo fa un prodotto negativo; due ne avrebbero fatto uno positivo.
1/2 × 2
- Scrivi il numero intero come frazione: 2 è 2/1
- Semplifica le diagonali: 1 contro 1 non condividono nulla; 2 contro 2 condividono 2, che dà 1 e 1
- Moltiplica in linea: 1 × 1 = 1
- Quindi la metà di due è uno
Un numero intero, che non ha bisogno di alcun caso particolare: 2 è 2/1, quindi la pagina lo tratta come qualunque altra frazione e la semplificazione in diagonale trova il 2 contro il 2. Senza quel passo il prodotto sarebbe 2/2 e andrebbe comunque ridotto, ed è la differenza che la scorciatoia fa su un esempio così piccolo. Il risultato che esce come un 1 nudo invece che come 1/1 è la stessa convenzione del resto della pagina: un denominatore pari a uno non si scrive.
Limiti
Entrambi i denominatori devono essere positivi, dato che una frazione porta il segno sul numeratore — e qui quella convenzione fa un lavoro vero, perché la semplificazione accoppia i numeri in diagonale e sarebbe ambigua se uno dei due denominatori potesse essere negativo. I numeratori possono essere negativi, e il segno viaggia fino al risultato. Tutti e quattro i numeri sono limitati in dimensione: i denominatori a 100000 ciascuno, e i numeratori a circa novantacinque milioni, che è il valore più grande per cui i due numeratori moltiplicati fra loro cadono ancora su un intero rappresentabile esattamente. Un prodotto oltre quello sarebbe inesatto senza dirlo, quindi la pagina rifiuta l'inserimento invece di stampare un numero che sembra giusto. Lo zero è accettato in un numeratore — il prodotto è allora zero, ed entrambi i fattori semplificati tornano come zero su qualcosa — ma un denominatore zero no, perché la frazione non esisterebbe. La pagina moltiplica due frazioni e nient'altro: non somma, non sottrae e non divide, e non gestisce un numero misto scritto come un intero accanto a una frazione, che va prima trasformato in frazione impropria. Infine, il risultato è ai minimi termini mentre le letture dei fattori non lo sono per forza: un fattore semplificato può ancora stampare qualcosa come 2/2 se i suoi numeri condividono a loro volta un fattore, e quella è la lettura che dice onestamente che cosa ha fatto la semplificazione, non un risultato sbagliato.
Domande frequenti
- Come si moltiplicano due frazioni?
- Moltiplica fra loro i numeratori e fra loro i denominatori. 2/3 per 3/4 è (2 × 3) su (3 × 4), cioè 6/12, e 6/12 si riduce a 1/2. Non serve alcun denominatore comune, a differenza della somma: è l'unica cosa della moltiplicazione di frazioni che la rende più facile dell'addizione.
- Che cos'è la semplificazione incrociata?
- Dividere un numeratore e il denominatore che gli sta in diagonale per il loro massimo comun divisore prima di moltiplicare. In 2/3 per 3/4, il 2 si semplifica con il 4 e il 3 si semplifica con l'altro 3, lasciando 1/1 per 1/2 — che è già il risultato. Funziona perché dividere un fattore e moltiplicare per lo stesso numero si annullano.
- Quali numeri si semplificano, quelli in diagonale o quelli in colonna?
- Sempre in diagonale: ogni numeratore contro il denominatore dell'altra frazione. I due numeratori si moltiplicano fra loro, non si semplificano l'uno con l'altro, e lo stesso vale per i due denominatori. Semplificare la coppia sbagliata dà un risultato sbagliato invece che nessun risultato, ed è per questo che i due fattori semplificati sono stampati sul pannello.
- La semplificazione incrociata è obbligatoria?
- No, e la pagina mostra entrambe le strade: 6/12 e 1/2 sono lo stesso numero. Quello che la semplificazione incrociata compra è che il prodotto arriva già ai minimi termini, quindi non c'è alcun passo di riduzione alla fine — su 99/100 per 100/99 la scorciatoia dà 1 mentre la strada lunga scrive prima 9900 su 9900.
- Posso moltiplicare una frazione per un numero intero?
- Sì. Scrivi il numero intero sopra 1 — 2 diventa 2/1 — e poi è una moltiplicazione ordinaria. 1/2 per 2 è 1/2 per 2/1, i due 2 si semplificano in diagonale, e il risultato è 1. Non c'è alcuna regola speciale per i numeri interi.
- E le frazioni negative?
- Il segno appartiene al numeratore e viaggia con lui. -2/3 per 3/4 è -1/2: il -2 si semplifica con il 4 lasciando -1 e 2, quindi il meno sopravvive alla semplificazione. I denominatori restano positivi per tutta la durata del calcolo, ed è la convenzione che rende l'accoppiamento in diagonale non ambiguo.
- Perché uno dei fattori semplificati è stampato come un 1 nudo?
- Perché in quel fattore si è semplificato tutto. Quando un numeratore e il denominatore opposto condividono tutti i loro fattori, quello che resta è 1 su 1, e un denominatore pari a 1 si scrive senza — la stessa convenzione usata nel resto della pagina. Un 1 nudo è un fattore che è stato ridotto via del tutto, non una lettura mancante.
Riferimenti
- Fraction — the quotient of two integers written with a numerator and a denominator, and the arithmetic of multiplying two of them — Wolfram MathWorld (United States)
- Reduced Fraction — the lowest terms of a fraction, which is the form the answer on this page is printed in and the form the unreduced line has to be reduced to — Wolfram MathWorld (United States)
- Greatest Common Divisor — the largest integer dividing two given integers, which is the number each diagonal pair is divided by before the multiplication — Wolfram MathWorld (United States)
- Relatively Prime — two integers with no common factor greater than one, the case in which a diagonal pair has nothing to cancel and passes through unchanged — Wolfram MathWorld (United States)
- Improper Fraction — a fraction whose numerator is at least its denominator, which is what a whole number written as a fraction over 1 always is — Wolfram MathWorld (United States)