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CalcMax

Calcolatrice del mcm

Risultato

180

Minimo comune multiplo

Primi quattro multipli comuni
180, 360, 540, 720

Il minimo comune multiplo è il più piccolo numero intero che tutti i numeri di un elenco dividono esattamente. Per 12, 18 e 30 è 180: 180 è quindici volte 12, dieci volte 18 e sei volte 30, e nessun numero più piccolo funziona per tutti e tre. La pagina stampa anche i primi quattro multipli comuni, perché il più piccolo da solo è difficile da verificare: 180 potrebbe essere un multiplo di ciascun numero e non essere comunque il più piccolo, e vedere 180, 360, 540, 720 in ordine è ciò che mostra che sotto 180 non è stato saltato niente. Tre strade portano al risultato. Elencare i multipli di ogni numero e prendere il primo che hanno in comune è quella che usa la tabella qui sotto; è la più chiara da seguire e la più lenta da fare. La fattorizzazione prima è più rapida: scrivi ogni numero come prodotto di primi e tieni ogni primo che compare in uno qualsiasi di essi, alla sua potenza più alta — 12 è 2² × 3, 18 è 2 × 3², 30 è 2 × 3 × 5, quindi i primi necessari sono 2², 3² e 5, e 4 × 9 × 5 fa 180. Nota la differenza rispetto al massimo comun divisore, che tiene la potenza più bassa dei primi condivisi; questa pagina tiene la potenza più alta di ogni primo che compare. La terza strada è raccogliere prima il massimo comun divisore e poi moltiplicare: per due numeri, il minimo comune multiplo moltiplicato per il massimo comun divisore è uguale al prodotto dei numeri, quindi 4 × 6 fa 24 e il massimo comun divisore di 4 e 6 è 2, il che lascia 12. Questa scorciatoia è esatta per due numeri ed è una fonte comune di errori oltre i due, dove non vale: la pagina ripiega i numeri due alla volta, ed è per questo che dà la risposta giusta anche su dieci di essi. I numeri coprimi sono il caso più facile: 7, 11 e 13 non condividono nessun primo, quindi non si semplifica niente e la risposta è il loro prodotto, 1001. Il multiplo è quello che ti serve per sommare o confrontare frazioni: 1/12 e 1/18 si possono sommare solo dopo averle riscritte entrambe su 36, che è il loro minimo comune multiplo, e lo stesso numero è quello che la calcolatrice minimo comune denominatore calcola per un insieme di frazioni.

I multipli di 4, 6 e 8 affiancati — la risposta è il primo numero che compare in tutte e tre le colonne

n4 × n6 × n8 × n
1468
281216
3121824
4162432
5203040
6243648
7284256
8324864

Leggi le righe di seguito e la risposta è la prima riga in cui le tre voci di destra concordano: 4 × 6, 6 × 4 e 8 × 3 fanno tutti 24, quindi il minimo comune multiplo di 4, 6 e 8 è 24. Leggerla così è il metodo stesso, ed è per questo che la tabella è una scala e non un risultato. Nota che le colonne non raggiungono il primo accordo allo stesso numero di riga — 24 è il sesto multiplo di 4, il quarto di 6 e il terzo di 8 — quindi la tabella va costruita finché un numero non compare in ogni colonna, e non per un numero fisso di righe. Nota anche che nessuna riga precedente li ha tutti e tre d'accordo: 12 compare sotto 4 e 6, e 16 sotto 4 e 8, e sono entrambe strade chiuse. È il punto che vale la pena portarsi via, perché un multiplo comune è facile da produrre e quello minimo è la vera domanda. La tabella è fissa su 4, 6 e 8 e non segue i numeri che hai digitato, e si ferma a otto righe perché 24 arriva prima. I numeri dentro la tabella sono calcolati dalla pagina: dove hanno decimali usano il punto al posto della virgola e non usano mai i separatori delle migliaia, mentre il testo che stai leggendo fa il contrario. Sono lo stesso numero scritto in due modi, non un errore.

Formula

12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5 ⇒ mcm(12, 18, 30) = 2² × 3² × 5 = 180, e i primi quattro multipli comuni sono 180, 360, 540, 720

12, 18, 30
I numeri con cui lavorare, da due a dieci, ciascuno un intero da 1 a 1.000.000. Spazi, virgole e punti e virgola separano tutti allo stesso modo, quindi 12 18 30 e 12, 18, 30 sono lo stesso ingresso. Lo 0, i negativi e i decimali vengono rifiutati: un multiplo è un'affermazione sul contare, e ognuno dei numeri dell'elenco deve averne uno
2² × 3² × 5
I primi necessari, ciascuno alla sua potenza più alta su tutto l'elenco: 2² da 12, 3² da 18 e 5 da 30. Prendere la potenza più alta invece della più bassa è ciò che separa questa pagina dal massimo comun divisore, ed è il motivo per cui questo numero è sempre almeno grande quanto il più grande degli ingressi
180
La risposta, e il primo multiplo comune. È un multiplo di ogni numero dell'elenco, e nessun numero più piccolo lo è — che è tutto il contenuto della parola minimo
180, 360, 540, 720
I primi quattro multipli comuni, stampati per rendere verificabile la risposta: sono 1, 2, 3 e 4 volte la risposta, e la distanza fra loro è la risposta stessa. Se esistesse un multiplo comune più piccolo dovrebbe cadere sotto 180, e l'elenco mostra che la sequenza comincia lì
mcm(a, b, c) = mcm(mcm(a, b), c)
Come si trattano più di due numeri: due alla volta, ripiegando il risultato corrente dentro il numero successivo. È lo stesso ripiegamento che usa la pagina del massimo comun divisore, ed è la ragione per cui qui non si usa la scorciatoia del prodotto e della divisione: quella è esatta solo per due numeri
1.000.000.000.000
Il tetto sulla risposta, non sugli ingressi. Un elenco di dieci numeri di sei cifre può arrivare a una risposta molto oltre ciò che una macchina tiene esattamente, e una risposta inesatta qui sembrerebbe del tutto normale. Oltre questo limite la pagina rifiuta invece di stampare qualcosa di quasi giusto

Sommare o confrontare frazioni è il posto in cui il multiplo si guadagna il suo spazio. 1/12 e 1/18 non si possono sommare così come sono; entrambe vengono riscritte su 36, e 36 è il loro minimo comune multiplo — andrebbe bene qualunque multiplo comune, ma il più piccolo tiene i numeri bassi, ed è per questo che è quello che si insegna per primo. Il denominatore di una somma è esattamente questa quantità, ed è anche il calcolo che la pagina del minimo comune denominatore fa su un insieme di frazioni. La pianificazione è la versione quotidiana fuori dall'aritmetica: due eventi che si ripetono ogni 12 e ogni 18 giorni tornano a coincidere dopo 36 giorni, tre luci che lampeggiano tornano a coincidere dopo il multiplo di tutti e tre, e la domanda quando si incontrano di nuovo è sempre il multiplo. Gli ingranaggi funzionano allo stesso modo, con lo schema di ingranamento che si ripete dopo un numero intero di giri completati da entrambe le ruote. Nei compiti il minimo comune multiplo viene chiesto direttamente e la tabella qui sotto è lo svolgimento atteso: elenca i multipli di ogni numero finché uno non compare in tutte le colonne. Due numeri che non condividono nessun primo sono il caso facile — il loro multiplo è semplicemente il prodotto — e riconoscerlo fa risparmiare ogni aritmetica.

Esempi svolti

  1. Il minimo comune multiplo di 12, 18 e 30

    1. Multipli di 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, … 180
    2. Multipli di 18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180
    3. Multipli di 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180
    4. Il primo numero che compare in tutti e tre gli elenchi è 180
    5. Per fattorizzazione prima: 2² da 12, 3² da 18 e 5 da 30, quindi 4 × 9 × 5 = 180

    L'ingresso predefinito. Nota che 36 è un multiplo sia di 12 sia di 18 ma non di 30, e che 60 è un multiplo di 12 e di 30 ma non di 18: la risposta deve soddisfare ogni numero dell'elenco, non la maggior parte di essi. Le due strade concordano, e la strada della fattorizzazione è quella da usare quando gli elenchi diventerebbero lunghi.

  2. Due numeri: 4 e 6

    1. Multipli di 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24
    2. Multipli di 6: 6, 12, 18, 24
    3. Il primo numero condiviso è 12
    4. Verifica con la regola del prodotto: 4 × 6 = 24, e il massimo comun divisore di 4 e 6 è 2, quindi 24 ÷ 2 = 12

    Il caso a due numeri è l'unico in cui vale la regola del prodotto, e la verifica qui sopra vale la pena di farla una volta a mano perché mostra perché la regola smette di funzionare oltre i due: per 4, 6 e 9 il prodotto è 216 mentre la risposta è 36, e dividere per il massimo comun divisore di 4 e 6 da solo non corregge il terzo numero. La pagina ripiega due alla volta e non ci casca mai.

  3. Numeri coprimi: 7, 11 e 13

    1. 7, 11 e 13 sono tutti primi, quindi nessuna coppia condivide un fattore
    2. Nel prodotto non si semplifica niente, quindi il minimo comune multiplo è 7 × 11 × 13
    3. 7 × 11 = 77, e 77 × 13 = 1001
    4. I primi quattro multipli comuni avanzano di 1001 alla volta

    Quando non si condivide nessun primo la risposta è semplicemente il prodotto, e questo è l'unico caso in cui la risposta è così grande. 1001 è un numero familiare per una ragione che non c'entra: si scompone come 7 × 11 × 13, ed è esattamente il motivo per cui funziona il trucco di riconoscere una cifra ripetuta tre volte. La pagina lo tratta come tratta tutto il resto.

  4. Un elenco in cui un numero divide gli altri: 6, 8 e 12

    1. 12 è un multiplo di 6, quindi 6 non aggiunge niente che 12 non richieda già
    2. Multipli di 8: 8, 16, 24
    3. Multipli di 12: 12, 24
    4. Il primo numero condiviso è 24, e la risposta non è un multiplo del numero più grande dell'elenco

    La risposta non deve per forza essere uno dei numeri che hai digitato, ed è l'opposto di quello che succede con il massimo comun divisore, dove la risposta è sempre un divisore del numero più piccolo. Qui la risposta 24 è più grande di ogni numero dell'elenco, perché un multiplo comune deve essere un numero in cui tutti gli altri entrano. Togliere il 6 non cambia niente: 12 porta già con sé ogni primo che 6 richiede, quindi il ripiegamento lascia la risposta dov'è.

Limiti

Ogni numero deve essere un intero da 1 a 1.000.000, e devono essere fra due e dieci. Gli ingressi sono limitati lì, ma il tetto che conta davvero è quello sulla risposta: il minimo comune multiplo deve restare a 1.000.000.000.000 o sotto, e un elenco di dieci numeri grandi lo supererà molto prima di esaurire l'intervallo degli ingressi. Oltre quel tetto la pagina rifiuta invece di stampare una risposta, perché un numero così grande non può essere tenuto esattamente e tornerebbe indietro sembrando un risultato qualsiasi. Lo zero e i numeri negativi vengono rifiutati: ogni numero intero è multiplo di 0 non è un'affermazione utile, e un minimo comune multiplo è definito sui numeri positivi. I decimali e le frazioni vengono rifiutati invece di essere arrotondati, per la stessa ragione della pagina sui fattori. I separatori possono essere spazi, virgole o punti e virgola, anche mescolati. Le voci ripetute sono accettate e non cambiano niente, e un numero che ne divide un altro dello stesso elenco è semplicemente ridondante. La tabella di riferimento qui sotto è fissa su 4, 6 e 8 e non segue quello che hai digitato: il pannello risponde ai tuoi numeri, la tabella mostra come si legge la risposta. La risposta stessa è sempre esatta, mai arrotondata.

Domande frequenti

Come si trova il minimo comune multiplo a mano?
Scrivi i multipli di ogni numero finché un valore non compare in tutti gli elenchi. Per 12, 18 e 30 è 180: è il quindicesimo multiplo di 12, il decimo di 18 e il sesto di 30. La strada più rapida è la fattorizzazione prima — tieni ogni primo che compare in un punto qualsiasi dell'elenco alla sua potenza più alta, quindi 2², 3² e 5 per quei tre numeri, che danno 180. Entrambe le strade sono mostrate negli esempi qui sopra.
Qual è la differenza fra il minimo comune multiplo e il massimo comun divisore?
Il massimo comun divisore è il più grande numero che divide tutti gli ingressi; il minimo comune multiplo è il più piccolo numero che tutti gli ingressi dividono. Il divisore non è mai più grande del più piccolo degli ingressi, il multiplo non è mai più piccolo del più grande. Nella fattorizzazione prima la differenza è una parola sola: il divisore tiene la potenza più bassa dei primi condivisi, il multiplo tiene la potenza più alta di ogni primo presente.
Posso semplicemente moltiplicare i numeri fra loro?
Così ottieni un multiplo comune ma raramente quello minimo, e per due numeri la regola esatta è che il prodotto è uguale al minimo comune multiplo moltiplicato per il massimo comun divisore. Per 4 e 6 il prodotto è 24 e il massimo comun divisore è 2, quindi la risposta è 12. Oltre due numeri quella regola non vale, ed è per questo che la pagina ripiega i numeri due alla volta invece di moltiplicarli tutti insieme.
Perché la pagina rifiuta risposte molto grandi?
Perché una macchina smette di tenere i numeri interi esattamente oltre una certa dimensione, e una risposta così grande tornerebbe arrotondata sembrando del tutto normale. Gli ingressi sono limitati a 1.000.000 ciascuno, ma la risposta può crescere molto oltre: un elenco di dieci numeri di sei cifre si moltiplica in modo enorme. Quindi la pagina controlla anche la risposta contro un tetto e rifiuta, invece di stampare qualcosa di quasi giusto.
Qual è il minimo comune multiplo di due numeri coprimi?
Il loro prodotto, perché non si semplifica niente: 7 e 11 sono coprimi, quindi il loro minimo comune multiplo è 77. Coprimi significa che i due numeri non condividono nessun primo, quindi la potenza più alta di ciascun primo dell'elenco è semplicemente quel primo. Due numeri interi consecutivi sono sempre coprimi, e lo è anche un numero primo accoppiato con qualcosa che non è un suo multiplo.
Dove si usa il minimo comune multiplo?
Sommare o confrontare frazioni richiede un denominatore comune, e il più piccolo è questa quantità: 1/12 e 1/18 vengono riscritte entrambe su 36. Fuori dall'aritmetica, tutto ciò che si ripete su due cicli torna a coincidere dopo il loro minimo comune multiplo: eventi che accadono ogni 12 e ogni 18 giorni si incontrano di nuovo dopo 36 giorni, e i denti di due ingranaggi si incastrano in uno schema che si ripete dopo il multiplo dei loro numeri di denti.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice del MCDTutti i divisori comuni di due o più numeri, e il più grande.Calcolatrice minimo comune denominatoreMinimo comune denominatore di un insieme di frazioni.Calcolatrice per sommare frazioniSomma frazioni con denominatori diversi e semplifica.Calcolatrice di frazioniSomma, sottrae, moltiplica e divide frazioni e le semplifica.Calcolatrice dei fattoriTutti i fattori di un numero e le sue coppie di fattori.