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Calcolatrice minimo comune denominatore

Risultato

60

Minimo comune denominatore

Frazioni con il denominatore comune
45/60, 50/60, 42/60

Un minimo comune denominatore è il più piccolo numero in cui si dividono esattamente tutti i denominatori di un gruppo di frazioni. Per 3/4, 5/6 e 7/10 è 60: 60 è 15 volte 4, 10 volte 6 e 6 volte 10, e nessun numero più piccolo va bene per tutti e tre. Scritte per esteso, le tre frazioni diventano 45/60, 50/60 e 42/60: stesso valore, un solo denominatore condiviso, cioè la forma che ti serve prima di poterle sommare, sottrarre o confrontare. Una nota sul nome: in italiano il termine si scrive sempre per esteso e non si abbrevia in mcd, perché quella sigla qui indica anche il massimo comun divisore, e due cose diverse non possono stare dietro le stesse tre lettere. Due passaggi portano al risultato, e il primo è facile da saltare. Ogni frazione va prima ridotta ai minimi termini, perché 6/8 e 3/4 sono lo stesso numero con denominatori diversi, e leggere il denominatore senza ridurre dà una risposta che è un denominatore comune ma non il più piccolo: riduci 6/8 e 10/12 a 3/4 e 5/6, e la risposta è 12 invece di 24. Poi i denominatori si combinano: il minimo comune denominatore di un gruppo di frazioni è il minimo comune multiplo dei loro denominatori ridotti. Tutto il calcolo è qui, ed è il motivo per cui questa pagina e quella del minimo comune multiplo arrivano allo stesso numero da due direzioni diverse. Con tre o più frazioni il conto si piega due alla volta, quindi 4, 6 e 10 danno prima 12 e poi 60. Leggerlo da una tabella è il metodo su cui ripiegare: elenca i multipli di ogni denominatore ridotto e prendi il primo numero che compare in tutte le liste. Due casi particolari capitano abbastanza spesso da conoscerli. I numeri interi sono accettati e contano come frazioni con denominatore 1, quindi non alzano mai la risposta; vengono però riscritti con il denominatore comune attaccato, dato che 2 diventa 4/2 quando tutto è su 2. E un denominatore che è multiplo di un altro, il 4 fra 2 e 4, non aggiunge niente: 2 entra già in 4. Il risultato è esattamente la quantità che serve per sommare frazioni con denominatori diversi, e il denominatore della somma è questo numero.

1/2, 2/3 e 3/4 riscritte sul loro minimo comune denominatore

frazionedenominatorecol denominatore comune
1/226/12
2/338/12
3/449/12

Leggi la colonna centrale verso il basso e i tre numeri sono 2, 3 e 4. Il minimo comune multiplo di quei tre è 12, che è la risposta, ed è il primo numero in cui tutti e tre si dividono: 12 è il sesto multiplo di 2, il quarto di 3 e il terzo di 4. La colonna di destra mostra poi ogni frazione riscritta su 12, e vale la pena controllare ogni voce contro quella che ha sostituito: 6/12 è un mezzo, 8/12 sono due terzi e 9/12 sono tre quarti, e continuano a esserlo, perché numeratore e denominatore sono stati moltiplicati per lo stesso numero. Quel fattore di moltiplicazione è la risposta divisa per il denominatore della frazione: 12 ÷ 2 = 6 per la prima riga, 12 ÷ 3 = 4 per la seconda, 12 ÷ 4 = 3 per la terza. Nota che il terzo denominatore, il 4, non è il contributo più grande anche se è il numero più grande: quello che conta sono i fattori primi, e 12 ha bisogno di due 2 che possono venire dal 2 o dal 4, più il 3 che solo il 3 porta. La tabella è fissa su queste tre frazioni e non segue quello che hai scritto: il pannello sopra risponde al tuo ingresso, questa mostra il metodo con righe abbastanza corte da essere controllate a occhio. I numeri dentro la tabella sono calcolati dalla pagina e seguono la notazione del calcolo, mentre il testo che stai leggendo scrive i numeri secondo l'uso italiano: sono lo stesso numero scritto in due modi, non un errore.

Formula

3/4, 5/6, 7/10 ⇒ minimo comune denominatore = mcm(4, 6, 10) = 60 ⇒ 45/60, 50/60, 42/60

3/4, 5/6, 7/10
Le frazioni con cui lavorare, da due a dieci, ognuna scritta come numeratore/denominatore con entrambe le parti intere da 1 a 1.000.000, separate da spazi, virgole o punti e virgola. I numeri interi come 2 sono accettati e letti come 2/1. Ogni frazione viene ridotta ai minimi termini prima che il suo denominatore venga usato, ed è il passaggio che impedisce alla risposta di uscire troppo grande
4, 6, 10
I denominatori ridotti. Ridurre per primi è ciò che li rende 4, 6 e 10 invece di qualcosa di più grande: 6/8 contribuirebbe con 8 se non fosse ridotto a 3/4. Tutto quello che viene dopo lavora soltanto su questi numeri; i numeratori non influiscono per niente sulla risposta
minimo comune denominatore = mcm(4, 6, 10)
Tutto il calcolo in una riga: il minimo comune denominatore è il minimo comune multiplo dei denominatori ridotti. 4 è 2², 6 è 2 × 3 e 10 è 2 × 5, quindi i fattori primi che servono sono 2², 3 e 5, e danno 4 × 3 × 5 = 60. Con più di due frazioni il conto si piega due alla volta: 4 e 6 danno 12, poi 12 e 10 danno 60
60
La risposta. Ogni denominatore ridotto la divide esattamente, e nessun numero più piccolo ci riesce: è questo che la rende il denominatore più basso e non soltanto uno condiviso
n × (60 ÷ d)
Come si riscrive ogni frazione: moltiplica il numeratore per la risposta divisa per il denominatore di quella frazione. Per 3/4 è 3 × 15 = 45, quindi 3/4 diventa 45/60. Il valore della frazione non cambia: numeratore e denominatore vengono moltiplicati per lo stesso numero, che è ciò che significa frazioni equivalenti
45/60, 50/60, 42/60
Le frazioni riscritte, tutte sul denominatore comune. Un numero intero nell'ingresso compare qui con il denominatore attaccato invece che ridotto: 2 torna come 4/2 quando la risposta è 2, perché una riga stampata come un intero nudo in questa colonna si leggerebbe come una riga saltata

Sommare frazioni con denominatori diversi comincia da qui: 3/4 e 5/6 non si possono unire finché non sono entrambe su 12, e il denominatore comune è la prima riga dello svolgimento. Confrontare frazioni è lo stesso passaggio: non riesci a dire se 5/6 è più grande di 7/10 guardandole, ma 50/60 contro 42/60 lo stabilisce subito, e l'accordo dei denominatori significa che basta leggere i numeratori. Anche la sottrazione ha lo stesso requisito. Fuori dall'aula, ogni volta che delle quantità sono registrate in unità frazionarie diverse il denominatore condiviso è ciò che permette di sommarle. La tabella qui sotto è il metodo a mano: i multipli di ogni denominatore ridotto e il primo numero che compare in tutte le colonne. Due scorciatoie risparmiano quasi tutto il lavoro e capitano spesso: un denominatore che è multiplo di un altro si può ignorare, e denominatori che non hanno nessun fattore primo in comune — 6 e 5, per esempio — si moltiplicano fra loro e danno la risposta direttamente. Quando una frazione non è ai minimi termini la riduzione non è facoltativa, e conviene farla per prima invece che per ultima, perché è l'unico passaggio la cui omissione produce una risposta dall'aspetto del tutto ragionevole.

Esempi svolti

  1. Tre frazioni: 3/4, 5/6 e 7/10

    1. Tutte e tre sono già ai minimi termini, quindi i denominatori da combinare sono 4, 6 e 10
    2. Multipli di 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60
    3. Multipli di 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60
    4. Multipli di 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60
    5. Il primo numero presente in tutte e tre le liste è 60, quindi il minimo comune denominatore è 60
    6. 3/4 diventa 45/60 perché 60 ÷ 4 = 15 e 3 × 15 = 45
    7. 5/6 diventa 50/60 perché 60 ÷ 6 = 10 e 5 × 10 = 50
    8. 7/10 diventa 42/60 perché 60 ÷ 10 = 6 e 7 × 6 = 42

    L'ingresso predefinito. La via piegata è più corta degli elenchi: 4 e 6 danno 12, e 12 con 10 dà 60. La colonna riscritta è il controllo utile, perché ognuna delle tre nuove frazioni deve valere quella che ha sostituito: 45/60 è 3/4, 50/60 è 5/6 e 42/60 è 7/10, e se una non lo fosse il moltiplicatore sarebbe stato applicato a una sola parte della frazione.

  2. Perché prima si riduce: 6/8 e 10/12

    1. 6/8 e 10/12 non sono ai minimi termini
    2. Dividi per 2 entrambe le parti di 6/8: diventa 3/4, con denominatore 4
    3. Dividi per 2 entrambe le parti di 10/12: diventa 5/6, con denominatore 6
    4. Il minimo comune multiplo di 4 e 6 è 12, quindi il minimo comune denominatore è 12
    5. 3/4 diventa 9/12 e 5/6 diventa 10/12
    6. Leggendo invece i denominatori non ridotti si sarebbero ottenuti 8 e 12, il cui minimo comune multiplo è 24

    La risposta per cui questa pagina esiste. 24 non è un denominatore comune sbagliato — 6/8 e 10/12 si possono davvero scrivere entrambe su 24 — è solo che non è il più piccolo, e un pannello che mostrasse 24 sembrerebbe perfettamente normale. Ridurre per primi è ciò che li separa, ed è il motivo per cui il campo riduce ogni frazione prima di leggerne il denominatore.

  3. Un numero intero fra le frazioni: 1/2, 2 e 3

    1. 2 e 3 vengono letti come 2/1 e 3/1, con denominatore 1
    2. I denominatori da combinare sono 2, 1 e 1
    3. Ogni numero intero è un multiplo di 1, quindi 1 non contribuisce alla risposta
    4. Il minimo comune multiplo di 2, 1 e 1 è 2
    5. 1/2 resta 1/2, mentre 2 diventa 4/2 e 3 diventa 6/2

    Il 4/2 e il 6/2 sono voluti e non sono una mancata riduzione. La pagina si chiama frazioni con il denominatore comune e ogni riga deve portare quel denominatore, altrimenti una riga stampata come un 2 nudo si leggerebbe come una riga lasciata stare. Il valore non cambia in nessuno dei due casi — 4/2 è 2 — e questo è l'unico punto della pagina in cui un'uscita sembra non ridotta di proposito.

  4. Vicino al tetto: 1/1000 e 2/999983

    1. 1000 è 2³ × 5³ e 999.983 è primo, quindi i due denominatori non hanno nulla in comune
    2. Senza nulla in comune il minimo comune multiplo è il prodotto: 1000 × 999.983 = 999.983.000
    3. 1/1000 diventa una frazione con numeratore 999.983 e denominatore 999.983.000, perché 999.983.000 ÷ 1000 = 999.983
    4. 2/999.983 diventa una frazione con numeratore 2000 e denominatore 999.983.000, perché 999.983.000 ÷ 999.983 = 1000 e 2 × 1000 = 2000

    Due denominatori senza nessun fattore primo in comune è il caso in cui la risposta è grande quanto può diventare per una data coppia, e questo esempio sta appena sotto il tetto oltre il quale la pagina si ferma. I numeratori restano esatti — 999.983 è un valore di sei cifre e sta ancora dentro l'intervallo in cui una macchina tiene i numeri interi precisi — ma una frazione con un numeratore più grande spingerebbe il prodotto oltre quel confine, ed è per questo che la pagina rifiuta oltre un certo denominatore invece di stampare una riscrittura arrotondata.

Limiti

Ogni frazione si scrive numeratore/denominatore con entrambe le parti intere da 1 a 1.000.000, e devono essere fra due e dieci. I decimali vengono rifiutati invece che convertiti: 0,75 non è una frazione scritta come frazione, e trasformarla in 3/4 significherebbe indovinare che cosa intendeva chi l'ha scritta. Il segno meno è accettato solo davanti al numeratore — 3/-4 viene rifiutato, perché il segno di una frazione sta in un posto solo e la pagina non sceglie per te. Un denominatore uguale a zero viene rifiutato, dato che non si possono fare zero parti di niente. C'è un solo tetto e non è sull'ingresso ma sulla risposta: il minimo comune denominatore deve restare entro 1.000.000.000, e oltre quel valore la pagina rifiuta invece di stampare le frazioni riscritte. Il motivo è che ogni numeratore riscritto è il numeratore originale moltiplicato per la risposta divisa per il suo denominatore, quindi un denominatore comune grande moltiplicato per un numeratore grande smette di essere esatto, e una riscrittura inesatta avrebbe l'aspetto di qualsiasi altra riga. Due frazioni sono il minimo, perché una frazione sola non ha niente con cui condividere un denominatore. Una frazione ripetuta nella lista non cambia nulla, e un denominatore che è multiplo di un altro è semplicemente ridondante. I due campi accettano solo cifre e le frazioni si separano con spazi, virgole o punti e virgola: i due limiti qui sopra si digitano 1000000 e 1000000000, senza i punti di separazione delle migliaia, perché è la stessa funzione che legge il valore a rifiutarli. La tabella di riferimento qui sotto è fissa su 1/2, 2/3 e 3/4 e non segue il tuo ingresso; il pannello sopra risponde alle tue frazioni, la tabella mostra il metodo e le tre righe riscritte. La risposta è esatta, mai arrotondata.

Domande frequenti

Che differenza c'è fra un denominatore comune e il minimo comune denominatore?
Qualsiasi numero in cui si dividono tutti i denominatori è un denominatore comune; il minimo è il più piccolo di quei numeri. Per 4, 6 e 10 sia 60 sia 120 sono denominatori comuni, e 60 è il più basso. Vale la pena calcolare a mano solo il più basso, perché uno più grande significa numeri più grandi in ogni frazione riscritta, e i numeri grandi sono il posto dove nascono gli errori di calcolo. La pagina restituisce sempre il più basso.
Perché le frazioni vengono ridotte prima di leggere il denominatore?
Perché due frazioni che valgono lo stesso numero possono avere denominatori diversi. 6/8 e 3/4 sono uguali, ma costruendo un denominatore comune a partire da 8 si ottiene 24 dove la risposta corretta è 12. La risposta sbagliata non è palesemente sbagliata — 24 è un denominatore comune autentico di quelle frazioni — quindi la pagina riduce ogni frazione ai minimi termini per prima, e l'esempio qui sopra fissa proprio quel caso.
Che legame c'è fra il minimo comune denominatore e il minimo comune multiplo?
Sono lo stesso calcolo su ingressi diversi. Prendi i denominatori delle frazioni ridotte e cerca il loro minimo comune multiplo: quello è il minimo comune denominatore. È il motivo per cui le due pagine di questo sito concordano: 4, 6 e 10 hanno minimo comune multiplo 60, e un gruppo di frazioni con quei denominatori ha 60 come minimo comune denominatore. Nessuno dei numeratori entra nella risposta.
Perché un numero intero torna con un denominatore attaccato?
Perché un numero intero nell'ingresso viene letto come una frazione su 1, e la colonna di uscita di questa pagina è frazioni con il denominatore comune: ogni riga deve portare quel denominatore. 2 diventa 4/2 quando la risposta è 2, che è lo stesso valore scritto sul denominatore condiviso e non un errore di riduzione. È l'unico caso della pagina in cui un'uscita sembra non ridotta di proposito.
Qual è la risposta più piccola possibile?
Il più grande dei denominatori ridotti, quando tutti gli altri si dividono in esso. Per 1/2, 1/4 e 3/4 la risposta è 4, dato che 2 divide 4 e 4 è se stesso. Non può essere minore del denominatore più grande, perché la risposta deve essere un multiplo di ognuno di loro, e un multiplo di un numero non è mai più piccolo di quel numero.
I numeratori possono cambiare la risposta?
No. Il minimo comune denominatore si calcola soltanto dai denominatori, e 1/4 e 3/4 hanno lo stesso. I numeratori compaiono invece nelle frazioni riscritte, dove ognuno viene moltiplicato per la risposta divisa per il proprio denominatore, quindi cambiano quello che dicono le righe ma mai in quante parti è tagliato ogni intero.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice del mcmI primi quattro multipli comuni di due o più numeri.Calcolatrice per sommare frazioniSomma frazioni con denominatori diversi e semplifica.Calcolatrice per sottrarre frazioniSottrae frazioni con denominatori diversi e trova il comune.Calcolatrice di frazioni equivalentiFrazioni equivalenti a una data, fino a un limite scelto.