Che cosa conta esattamente come fattore?

Qualsiasi numero intero che divide il tuo numero esattamente, senza lasciare resto. Contano entrambi i membri di ogni coppia, quindi per 60 l'elenco va da 1 fino a 60 — 1 e il numero stesso sono sempre fattori, e quelli interessanti stanno in mezzo. Le frazioni non contano nemmeno quando dividono in parti uguali: 2,5 sta in 60 ventiquattro volte, ma 2,5 non è un numero intero, quindi non è un fattore. Questa pagina elenca i fattori positivi di un numero positivo, che è la convenzione standard.

Perché la ricerca si ferma alla radice quadrata?

Perché oltre quel punto ogni fattore che troveresti è il compagno di uno che hai già visto. Se d × e = 60 e d è più grande della radice quadrata di 60, allora e è più piccolo di essa, quindi e era già stato provato e la coppia era già stata stampata allora. Provare oltre quel punto può solo riscoprire coppie nell'ordine inverso. È per questo che 60 richiede sette divisori di prova invece di sessanta, e perché il costo di questa pagina cresce con la radice quadrata dell'ingresso: un numero vicino al milione richiede circa mille prove, non un milione.

Perché 36 ha un numero dispari di fattori?

Perché 36 è un quadrato perfetto, quindi la sua radice quadrata fa coppia con se stessa. Ogni altro fattore ha un compagno diverso — 1 con 36, 2 con 18, 3 con 12, 4 con 9 — e ciascuna di quelle coppie aggiunge due al conteggio. Poi 6 × 6 = 36 ne aggiunge uno. Il totale è quindi 4 × 2 + 1 = 9. In generale un numero ha un numero dispari di fattori esattamente quando è un quadrato perfetto, ed è il modo più rapido di capire da un elenco di fattori se lo è.

È la stessa cosa della fattorizzazione prima?

No, e vale la pena essere chiari sulla differenza. Questa pagina dà ogni fattore; la fattorizzazione prima scompone il numero in primi moltiplicati fra loro. Per 60 la fattorizzazione prima è 2² × 3 × 5, e la pagina non la stampa mai — anche se 2, 3 e 5 compaiono tutti nell'elenco dei fattori, perché i numeri primi sono fattori come tutti gli altri. La differenza pratica è il costo: questa pagina lavora in proporzione alla radice quadrata del numero, mentre la fattorizzazione prima è davvero difficile per i numeri grandi, ed è l'ipotesi su cui poggia la crittografia a chiave pubblica.

Posso inserire 0 o un numero negativo?

No, e nessuno dei due è una restrizione arbitraria. Ogni numero intero divide lo 0, quindi il suo elenco di fattori non finirebbe mai. Per un numero negativo i fattori vengono con entrambi i segni — 1 e −1, 2 e −2, e così via — e questa pagina dovrebbe prendere posizione su se elencarli entrambi, cosa che non fa. L'ingresso è un numero intero da 1 a 1.000.000. Anche i decimali vengono rifiutati invece di essere arrotondati, perché arrotondare risponderebbe in silenzio a una domanda su un altro numero.

Perché i fattori sono divisi in due colonne?

Perché rispondono a due domande diverse. L'elenco piatto è quello che controlli quando vuoi sapere se un certo numero divide il tuo. Le coppie sono quello che ti serve quando il numero è il prodotto di due cose che stai scegliendo — un rettangolo con quell'area, una serie di righe e colonne uguali, un gruppo diviso senza lasciare nessuno fuori. Un'aiuola di 60 metri quadrati può essere 1 per 60, 2 per 30, 3 per 20, 4 per 15, 5 per 12 oppure 6 per 10, e quelle sei forme sono esattamente la colonna delle coppie. Le due colonne contengono gli stessi numeri; cambia solo la disposizione.

Calcolatrice dei fattori

Risultato

1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Fattori

Coppie di fattori: 1 * 60, 2 * 30, 3 * 20, 4 * 15, 5 * 12, 6 * 10

Un fattore di un numero intero è un altro numero intero che lo divide esattamente, senza lasciare resto. I divisori di 60 sono 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 — dodici — e vanno sempre a coppie che moltiplicate fra loro ridanno 60: 1 con 60, 2 con 30, 3 con 20, 4 con 15, 5 con 12 e 6 con 10. Questa pagina stampa entrambe le letture, l'elenco piatto dei fattori e le coppie di fattori, perché rispondono a due domande diverse. L'elenco ti serve quando devi controllare se un numero ne divide un altro; le coppie ti servono quando cerchi un rettangolo con quell'area, o due numeri il cui prodotto è fissato. Il metodo è la divisione per tentativi, e la parte utile è sapere quando fermarsi. Per trovare tutti i fattori di 60 non serve provare oltre l'8, perché 8 × 8 fa 64: oltre la radice quadrata, ogni fattore che troveresti è la metà grande di una coppia di cui hai già incontrato la metà piccola. È per questo che 60 richiede sette tentativi invece di cinquantanove, ed è per questo che un numero di sette cifre resta veloce su questa pagina anche se il tetto qui è un milione. Lo stesso taglio è ciò che fa uscire le coppie già in ordine: ogni volta che si trova un fattore piccolo, il suo compagno viene prodotto nello stesso momento, quindi le coppie sono ordinate per la loro metà minore senza alcun passaggio di ordinamento. Due casi particolari vale la pena conoscerli prima di leggere il risultato. Un numero primo ha esattamente due fattori — 1 e se stesso — quindi il suo elenco di fattori è corto e la sua lista di coppie ha una sola voce. Un quadrato perfetto ha un numero dispari di fattori, perché la coppia centrale è due volte lo stesso numero: 36 ha nove fattori e le sue coppie finiscono con 6 * 6, che la pagina stampa una volta sola. Né l'uno né l'altro è un errore, e nessuno dei due è un caso speciale nel codice: entrambi escono dallo stesso ciclo. Quello che la pagina non fa è scomporre il numero in fattori primi. Ti dice ogni fattore e ogni coppia, e ti mostrerà volentieri che 60 ha dodici fattori senza mai dire 60 = 2² × 3 × 5: l'elenco dei fattori contiene i pezzi, ma non è una fattorizzazione prima. La distinzione conta quando il numero è grande: il lavoro di questa pagina cresce con la radice quadrata dell'ingresso, mentre la fattorizzazione prima è davvero difficile, e sono due domande diverse.

Tre numeri con i loro fattori e le loro coppie di fattori, affiancati

Numero	Fattori	Coppie di fattori
12	1, 2, 3, 4, 6, 12	1 * 12, 2 * 6, 3 * 4
36	1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36	1 * 36, 2 * 18, 3 * 12, 4 * 9, 6 * 6
60	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60	1 * 60, 2 * 30, 3 * 20, 4 * 15, 5 * 12, 6 * 10

Leggi una riga di seguito e la colonna centrale è la terza colonna spiegata. 12 ha sei fattori e tre coppie; 36 ha nove fattori e cinque coppie; 60 ha dodici fattori e sei coppie. I conteggi sono la cosa da confrontare. Sei è pari, nove è dispari, dodici è pari — e 36 è l'unico quadrato perfetto della tabella, ed è esattamente per questo che è quello fuori posto. Ogni fattore diverso dalla radice quadrata ha un compagno con cui accoppiarsi, quindi quelli contribuiscono un numero pari di voci, e la radice quadrata ha solo se stessa. L'altra cosa che vale la pena vedere è che avere più fattori non dipende dall'essere più grande: 36 è tre volte 12 e ha una volta e mezza i suoi fattori, mentre 60 è cinque volte 12 e li raddoppia. Quanti fattori ha un numero dipende da come si combinano i suoi pezzi primi, non dalla sua dimensione: è la stessa ragione per cui 720.720, ben sotto il milione, ha più fattori di qualsiasi numero vicino a lui. I numeri dentro la tabella sono calcolati dalla pagina: dove hanno decimali usano il punto al posto della virgola e non usano mai i separatori delle migliaia, mentre il testo che stai leggendo fa il contrario. Sono lo stesso numero scritto in due modi, non un errore.

Formula

60 ÷ 1 = 60 ⇒ 1 * 60; 60 ÷ 2 = 30 ⇒ 2 * 30; 60 ÷ 3 = 20 ⇒ 3 * 20; 60 ÷ 4 = 15 ⇒ 4 * 15; 60 ÷ 5 = 12 ⇒ 5 * 12; 60 ÷ 6 = 10 ⇒ 6 * 10; 60 ÷ 7 non è esatto, 8 × 8 > 60, ci si ferma

n: Il numero da fattorizzare, un intero da 1 a 1.000.000. Anche l'uno è ammesso e restituisce un solo fattore, 1, che è una risposta vera e non degenere: 1 è fattore di se stesso e non divide esattamente nessun altro numero tranne i suoi multipli
d: Un divisore di prova, testato in ordine 1, 2, 3, 4 e così via. La pagina non prova mai oltre la radice quadrata di n, e quel taglio è tutto il trucco: se d × e = n e d è più grande della radice quadrata, allora e è più piccolo di essa, quindi e era già stato trovato e la coppia era già stata stampata
d * d ≤ n: La regola di arresto, scritta per esteso. Per 60 l'ultimo divisore provato è 7, perché 7 × 7 = 49 è sotto 60 e 8 × 8 = 64 è sopra. È questa regola a far crescere il numero di tentativi con la radice quadrata dell'ingresso invece che con l'ingresso: un milione richiede mille tentativi, non un milione
n / d: Il compagno di un fattore. Quando d divide n esattamente, il quoziente è l'altra metà della coppia, e la pagina lo produce nello stesso passo. È per questo che le coppie di 60 escono come 1 * 60, 2 * 30, 3 * 20 e così via in ordine, senza ordinamento: le metà minori si incontrano in ordine crescente, quindi anche le coppie
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60: Tutti i fattori di 60 in un unico elenco piatto, in ordine crescente. Dodici voci, un numero pari — l'accoppiamento è completo, ogni fattore ha il suo compagno. L'elenco è la stessa informazione delle coppie qui sotto, riordinata: leggi le coppie e raccogli i numeri, e hai di nuovo questa riga
6 * 6: La coppia centrale di 36, e l'unica forma in cui un fattore compare due volte su una riga. 36 è un quadrato perfetto, quindi il suo numero di fattori è dispari — 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36, cioè nove — e la pagina stampa la coppia centrale una volta sola invece di due. È per questo che un quadrato perfetto non ha mai un numero pari di fattori

Semplificare una frazione è il motivo più comune per volere un elenco di fattori. Per ridurre 42/60 a mano cerchi un numero che li divida entrambi, e i divisori di 60 ti dicono i candidati mentre i fattori di 42 ti dicono quali sono validi: il più grande di questi è il massimo comun divisore, e la calcolatrice del MCD risponde direttamente a quella domanda se è tutto quello che ti serve. Un secondo uso è il rettangolo di area fissa: un'aiuola di 60 metri quadrati può essere 1 per 60, 2 per 30, 3 per 20, 4 per 15, 5 per 12 oppure 6 per 10, e le coppie di fattori sono esattamente quell'elenco di forme possibili, ed è per questo che vengono stampate nella forma in cui sono. La stessa domanda compare ogni volta che degli oggetti vanno disposti in righe e colonne uguali: sistemare 60 invitati a tavoli della stessa dimensione, o dividere una classe in gruppi della stessa dimensione senza lasciare nessuno fuori. Un terzo uso è verificare un'affermazione. Se qualcuno dice che 91 è un numero primo, il suo elenco di fattori lo risolve — 1, 7, 13, 91 — e il fatto che le voci siano quattro invece di due è la confutazione. I criteri di divisibilità per 2, 3, 5 e 9 coprono i casi piccoli a mano, e questa pagina riprende da dove quelli smettono di essere facili. Quando la domanda riguarda davvero i pezzi invece dei fattori, la risposta sta altrove: la calcolatrice dei fattori primi scompone il numero in primi, cosa che questa pagina deliberatamente non fa; la calcolatrice del mcm e quella del MCD confrontano due numeri invece di descriverne uno; e la calcolatrice per semplificare frazioni usa un fattore comune per ridurre una frazione direttamente, senza mostrarti l'elenco.

Esempi svolti

Dodici fattori: 60
1. Prova 1: 60 ÷ 1 = 60 esatto, quindi 1 e 60 sono entrambi fattori
2. Prova 2: 60 ÷ 2 = 30, quindi 2 e 30 sono fattori; prova 3: 60 ÷ 3 = 20, che dà 3 e 20
3. Prova 4: 60 ÷ 4 = 15, che dà 4 e 15; prova 5: 60 ÷ 5 = 12, che dà 5 e 12
4. Prova 6: 60 ÷ 6 = 10, che dà 6 e 10; prova 7: 60 ÷ 7 non è un numero intero
5. 8 × 8 = 64 ha superato 60, quindi ci si ferma — i dodici fattori sono completi
L'ingresso predefinito, e un buon ingresso perché 60 ha molti fattori — dodici, più di qualsiasi numero sotto di lui. Nota quanto è costata poco la ricerca: sette divisori di prova, non sessanta. La riga delle coppie e l'elenco dei fattori contengono gli stessi dodici numeri; le coppie sono semplicemente ripiegate in modo che ciascuno stia accanto al numero con cui si moltiplica. Vale anche la pena notare che l'elenco delle coppie finisce con 6 * 10 invece di proseguire con 10 * 6: una volta che la metà minore di una coppia supera la radice quadrata, ogni coppia rimanente è la ripetizione di una già stampata.
Un quadrato perfetto: 36
1. 1 e 36 fanno coppia, poi 2 e 18, poi 3 e 12, poi 4 e 9
2. 6 × 6 = 36, quindi 6 è compagno di se stesso — il centro dell'elenco
3. 7 non divide 36; 7 × 7 = 49 lo ha già superato, ma 6 era l'ultimo divisore sotto la radice quadrata
4. I fattori sono 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 — nove, un conteggio dispari
Il caso che mostra perché un numero di fattori può essere dispari. Ogni fattore tranne la radice quadrata ha un compagno distinto, quindi si accoppiano tutti e contribuiscono un numero pari di voci; la radice quadrata fa coppia con se stessa e ne contribuisce una. È tutta qui la ragione per cui 36 ha nove fattori mentre 60, che è più grande, ne ha dodici, e 12 ne ha sei. La riga delle coppie stampa 6 * 6 una volta sola invece di due: è una scelta, perché stamparla due volte farebbe discordare le due righe su quanti fattori ci sono.
Un numero primo: 7
1. Prova 1: 7 ÷ 1 = 7 esatto, quindi 1 e 7 sono fattori
2. Prova 2: 7 ÷ 2 non è un numero intero; 3 × 3 = 9 ha superato 7, quindi la ricerca si ferma lì
3. Niente fra 1 e 7 lo divide
4. Due fattori e una coppia — che è la definizione di numero primo
L'uscita non banale più corta della pagina, e quella che mostra che un numero primo non è un fallimento della fattorizzazione. Un numero primo ha esattamente due fattori, e quei due sono sempre 1 e il numero stesso; la pagina riporta questo fatto invece di riportare che non ha trovato nulla. La regola di arresto qui fa un lavoro vero: dopo aver provato il 2 non resta niente da provare, perché 3 × 3 è già più grande di 7. Provare 3, 4, 5 e 6 costerebbe quattro divisioni e non potrebbe trovare assolutamente nulla.

Limiti

L'ingresso deve essere un numero intero da 1 a 1.000.000. Lo zero viene rifiutato: ogni numero intero divide lo zero, quindi il suo elenco di fattori sarebbe infinito e non ci sarebbe niente di sensato da stampare. Anche i numeri negativi vengono rifiutati, anche se ±1, ±2 e così via dividono tutti −60: la pagina riporta i fattori positivi di un numero positivo, e un elenco di fattori con il segno avrebbe bisogno di una convenzione su se mostrare entrambi i segni, che questa pagina non enuncia. I decimali vengono rifiutati invece di essere arrotondati. Il tetto di un milione è ciò che tiene limitata la divisione per tentativi: la ricerca si ferma alla radice quadrata, quindi il caso peggiore è mille tentativi, e l'elenco delle risposte può essere lungo ma mai ingestibile. Può comunque essere lungo: 720.720 ha 240 fattori, il massimo per un numero sotto il milione, e un elenco di quella dimensione è corretto ma non è piacevole da leggere. La pagina riporta i fattori e le coppie di fattori, non i fattori primi, e la differenza è facile da mancare: l'elenco dei fattori di 60 contiene 2, 3 e 5, ma la pagina non dice mai che 60 = 2² × 3 × 5, e per un numero grande le due domande hanno costi molto diversi. I criteri di divisibilità per 2, 3, 5 e 9 non vengono richiamati separatamente: sono semplicemente assorbiti nella divisione per tentativi, quindi un numero che finisce per 0 mostra 2, 5 e 10 come fattori senza che la pagina spieghi perché. Ogni fattore è stampato come numero intero in un elenco separato da virgole e le coppie usano l'asterisco per la moltiplicazione; nel pannello non viene usato alcun separatore delle migliaia, quindi un fattore pari a un milione si legge 1000000, senza i punti che il testo qui sopra usa. Infine, la tabella di riferimento qui sotto mostra tre numeri fissi e non segue quello che hai digitato: è il pannello qui sopra a rispondere a ciò che hai inserito.

Domande frequenti

Che cosa conta esattamente come fattore?: Qualsiasi numero intero che divide il tuo numero esattamente, senza lasciare resto. Contano entrambi i membri di ogni coppia, quindi per 60 l'elenco va da 1 fino a 60 — 1 e il numero stesso sono sempre fattori, e quelli interessanti stanno in mezzo. Le frazioni non contano nemmeno quando dividono in parti uguali: 2,5 sta in 60 ventiquattro volte, ma 2,5 non è un numero intero, quindi non è un fattore. Questa pagina elenca i fattori positivi di un numero positivo, che è la convenzione standard.
Perché la ricerca si ferma alla radice quadrata?: Perché oltre quel punto ogni fattore che troveresti è il compagno di uno che hai già visto. Se d × e = 60 e d è più grande della radice quadrata di 60, allora e è più piccolo di essa, quindi e era già stato provato e la coppia era già stata stampata allora. Provare oltre quel punto può solo riscoprire coppie nell'ordine inverso. È per questo che 60 richiede sette divisori di prova invece di sessanta, e perché il costo di questa pagina cresce con la radice quadrata dell'ingresso: un numero vicino al milione richiede circa mille prove, non un milione.
Perché 36 ha un numero dispari di fattori?: Perché 36 è un quadrato perfetto, quindi la sua radice quadrata fa coppia con se stessa. Ogni altro fattore ha un compagno diverso — 1 con 36, 2 con 18, 3 con 12, 4 con 9 — e ciascuna di quelle coppie aggiunge due al conteggio. Poi 6 × 6 = 36 ne aggiunge uno. Il totale è quindi 4 × 2 + 1 = 9. In generale un numero ha un numero dispari di fattori esattamente quando è un quadrato perfetto, ed è il modo più rapido di capire da un elenco di fattori se lo è.
È la stessa cosa della fattorizzazione prima?: No, e vale la pena essere chiari sulla differenza. Questa pagina dà ogni fattore; la fattorizzazione prima scompone il numero in primi moltiplicati fra loro. Per 60 la fattorizzazione prima è 2² × 3 × 5, e la pagina non la stampa mai — anche se 2, 3 e 5 compaiono tutti nell'elenco dei fattori, perché i numeri primi sono fattori come tutti gli altri. La differenza pratica è il costo: questa pagina lavora in proporzione alla radice quadrata del numero, mentre la fattorizzazione prima è davvero difficile per i numeri grandi, ed è l'ipotesi su cui poggia la crittografia a chiave pubblica.
Posso inserire 0 o un numero negativo?: No, e nessuno dei due è una restrizione arbitraria. Ogni numero intero divide lo 0, quindi il suo elenco di fattori non finirebbe mai. Per un numero negativo i fattori vengono con entrambi i segni — 1 e −1, 2 e −2, e così via — e questa pagina dovrebbe prendere posizione su se elencarli entrambi, cosa che non fa. L'ingresso è un numero intero da 1 a 1.000.000. Anche i decimali vengono rifiutati invece di essere arrotondati, perché arrotondare risponderebbe in silenzio a una domanda su un altro numero.
Perché i fattori sono divisi in due colonne?: Perché rispondono a due domande diverse. L'elenco piatto è quello che controlli quando vuoi sapere se un certo numero divide il tuo. Le coppie sono quello che ti serve quando il numero è il prodotto di due cose che stai scegliendo — un rettangolo con quell'area, una serie di righe e colonne uguali, un gruppo diviso senza lasciare nessuno fuori. Un'aiuola di 60 metri quadrati può essere 1 per 60, 2 per 30, 3 per 20, 4 per 15, 5 per 12 oppure 6 per 10, e quelle sei forme sono esattamente la colonna delle coppie. Le due colonne contengono gli stessi numeri; cambia solo la disposizione.

Riferimenti

Divisor — what it means for one whole number to divide another exactly, and the convention that every number divides itself — Wolfram MathWorld (United States)
Prime Number — numbers with exactly two factors, and why that definition is the one the factor list makes visible — Wolfram MathWorld (United States)
Perfect Square — numbers whose square root is a whole number, and the reason their factor count is always odd — Wolfram MathWorld (United States)
Divisore — che cosa significa che un numero intero ne divide un altro esattamente, e la convenzione per cui ogni numero è divisore di se stesso — Treccani, Istituto della Enciclopedia Italiana (Italia)

Calcolatrici correlate

Calcolatrice del MCDTutti i divisori comuni di due o più numeri, e il più grande.Calcolatrice del mcmI primi quattro multipli comuni di due o più numeri.Calcolatrice per semplificare frazioniRiduce una frazione ai minimi termini e mostra il divisore.Calcolatrice dal minore al maggioreOrdina una lista di numeri e mostra il minore e il maggiore.Calcolatrice dei fattori primiScomposizione in fattori primi di un numero, con le potenze.