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CalcMax

Calcolatrice delle divisioni in colonna

Intervallo: 0 – 1.000.000.000

Intervallo: 1 – 1.000.000.000

Risultato

102

Quoziente

Resto
10
Passo per passo
1 / 12 = 0 r 1; 12 / 12 = 1 r 0; 3 / 12 = 0 r 3; 34 / 12 = 2 r 10
Verifica
12 * 102 + 10 = 1234

La divisione in colonna è il metodo scritto per dividere un numero intero per un altro quando il risultato non viene esatto, e questa pagina ne stampa ogni passaggio. Per 1234 ÷ 12 lo svolgimento è di quattro righe. Dividi 1 per 12: troppo piccolo, quindi la cifra del quoziente è 0 e il resto è 1. Abbassa la cifra successiva e ottieni 12, dividi per 12: la cifra è 1 e il resto è 0. Abbassa il 3 e ottieni 3, dividi per 12: la cifra è 0 e il resto è 3. Abbassa il 4 e ottieni 34, dividi per 12: la cifra è 2 e il resto è 10. Le cifre del quoziente in ordine sono 1, 0, 2, quindi 1234 ÷ 12 fa 102 con resto 10, e l'ultimo resto, il 10, è quello che rimane. Ogni riga dell'algoritmo ha la stessa forma: prendi il valore costruito finora, trova quante volte intere il divisore ci entra, registra quel conteggio come una cifra della risposta e conserva quello che avanza perché si combini con la cifra successiva. È per questo che il quoziente finisce sempre con lo stesso numero di cifre del dividendo, e per questo uno zero può essere una cifra del tutto valida della risposta: lo 0 in mezzo a 102 sta facendo un lavoro vero. Il resto qui è sempre quello non negativo, la convenzione in cui 0 è il valore più piccolo che può assumere. Sui numeri negativi le due convenzioni danno risposte diverse, e quel caso appartiene alla pagina del resto. L'ultima uscita è la verifica: divisore per quoziente più resto uguale dividendo, che non è un calcolo a parte ma la definizione di che cosa significano un quoziente e un resto. 12 × 102 + 10 fa 1234, quindi i tre numeri sono coerenti fra loro. Due casi particolari ricorrono. Un dividendo più piccolo del divisore dà quoziente 0 e resto uguale al dividendo, dato che il divisore non ci entra nemmeno una volta. E un divisore pari a 1 dà un quoziente uguale al dividendo con resto 0, con una riga per cifra. Le cifre del quoziente sono anche il punto da cui nascono gli sviluppi decimali: quando lo svolgimento comincia a ripetersi, come succede a 1 ÷ 7, i decimali si ripetono con lui.

5432 ÷ 17 svolto, una colonna per ogni parte di un passaggio

passaggiovaloredivisorecifraresto
151705
2541733
33317116
41621799

Leggi una riga da sinistra a destra e hai una riga dello svolgimento: il valore che viene diviso, il divisore con cui viene confrontato, la cifra di quoziente prodotta e quello che avanza. La prima riga è 5 contro 17, che va 0 volte con 5 di resto, quindi la cifra è 0. La riga successiva abbassa il 4 e forma 54, e 54 ÷ 17 fa 3 con 3 di resto. Lo schema da notare è nella colonna valore: ogni voce è il resto precedente con una cifra in più del dividendo attaccata, che è ciò che significa abbassare una cifra, ed è l'unica cosa che passa da una riga all'altra. La colonna delle cifre si raccoglie nella risposta, 0 3 1 9, cioè 319, e l'ultima voce della colonna del resto, il 9, è il resto dell'intera divisione. Fai la verifica: 17 × 319 + 9 = 5432. Nota che lo 0 iniziale della colonna delle cifre viene tolto dalla risposta e lo 0 in mezzo no: una cifra zero significa che il divisore non è entrato nel valore di quel passaggio, il che è un'informazione, mentre uno zero iniziale semplicemente non si scrive. La tabella è fissa su 5432 ÷ 17 e non segue quello che hai scritto; il pannello sopra fa le stesse quattro colonne sui tuoi numeri, una riga per cifra. I numeri dentro la tabella sono calcolati dalla pagina e seguono la notazione del calcolo, mentre il testo che stai leggendo scrive i numeri secondo l'uso italiano: sono lo stesso numero scritto in due modi, non un errore.

Formula

1234 ÷ 12 → 1/12 = 0 r 1; 12/12 = 1 r 0; 3/12 = 0 r 3; 34/12 = 2 r 10 ⇒ quoziente 102, resto 10, e 12 × 102 + 10 = 1234

1234
Il dividendo, il numero che viene diviso, un intero da 0 a 1.000.000.000. Lo zero è ammesso e dà quoziente e resto uguali a 0. I numeri negativi e i decimali sono rifiutati, perché l'algoritmo scritto qui sotto dà per scontate le cifre e questa pagina non enuncia nessuna convenzione sul segno
12
Il divisore, il numero per cui si divide, un intero da 1 a 1.000.000.000. Non può essere 0: niente si può dividere in zero parti, e nessun quoziente soddisferebbe la verifica. Può essere più grande del dividendo, e in quel caso il quoziente è 0 e il resto è il dividendo stesso
1, 2, 3, 4
Le cifre del dividendo, prese una alla volta da sinistra. Ogni passaggio aggiunge la successiva al resto del passaggio precedente, che è ciò che significa abbassare una cifra. Il numero di passaggi è uguale al numero di cifre del dividendo, quindi 1234 ne richiede quattro e 1.000.000.000 ne richiede dieci
0, 1, 0, 2
La cifra di quoziente prodotta a ogni passaggio: quante volte intere il divisore entra in quel valore. Un passaggio il cui valore è minore del divisore contribuisce con la cifra 0, e quegli zeri fanno parte della risposta: 102 ne ha uno in mezzo, e toglierlo darebbe 12
1, 0, 3, 10
Il resto che avanza a ogni passaggio, sempre quello non negativo. L'ultimo è il resto dell'intera divisione; quelli precedenti sono intermedi e spariscono quando la cifra successiva viene abbassata. Qui non c'è mai niente di negativo, ed è per questo che i dividendi negativi appartengono alla pagina delle convenzioni sul resto
dividendo = divisore × quoziente + resto
L'uscita di verifica, e la definizione dell'intera operazione più che un risultato in più: per 1234 ÷ 12 si legge 12 × 102 + 10 = 1234. Se quella riga è vera, quoziente e resto sono corretti per definizione, e se è falsa non ci si può fidare di nient'altro sulla pagina

Questo è il metodo scritto in sé, quindi chi ne ha bisogno lo sta imparando. La stringa dei passaggi è lo svolgimento che altrimenti finirebbe sul foglio, e vale la pena confrontarla riga per riga con il tuo quando una risposta non torna: il punto in cui le due versioni divergono è l'errore, il che è più utile che sentirsi dire il numero giusto. La riga di verifica è l'altra metà della stessa cosa: divisore per quoziente più resto uguale dividendo, e chi ha in mano quoziente e resto li può confermare senza rifare tutta la divisione in colonna. Fuori dal compito in classe la stessa scomposizione è come si gestisce la divisione ogni volta che i numeri interi non si possono spezzare: 1234 oggetti in gruppi da 12 danno 102 gruppi pieni con 10 avanzati, e il resto è la parte che non si riesce a distribuire. Un resto di 0 significa che la divisione è venuta esatta. L'algoritmo è anche il punto da cui nascono gli sviluppi decimali: portare lo svolgimento oltre la virgola con uno zero in coda produce i decimali del quoziente, e quando un resto si ripete si ripete anche il decimale, così 1 ÷ 7 gira per sempre sugli stessi sei resti, ed è per questo che 1/7 ha un blocco di sei cifre che si ripete. I linguaggi di programmazione hanno due modi comuni di trattare un dividendo negativo, la troncatura e l'arrotondamento verso il basso, e non sono d'accordo fra loro; il resto non negativo stampato qui è quello verso il basso, e la pagina del resto li mostra entrambi fianco a fianco. Questa è la pagina che mostra il procedimento passo dopo passo, una cifra alla volta.

Esempi svolti

  1. 1234 ÷ 12, l'ingresso predefinito

    1. Abbassa l'1: 1 ÷ 12 va 0 volte, quindi la prima cifra del quoziente è 0 e avanza 1
    2. Abbassa il 2: il valore è 12, e 12 ÷ 12 va 1 volta senza avanzare niente
    3. Abbassa il 3: il valore è 3, e 3 ÷ 12 va 0 volte, lasciando 3
    4. Abbassa il 4: il valore è 34, e 34 ÷ 12 va 2 volte con 10 di resto
    5. Le cifre del quoziente in ordine sono 0, 1, 0, 2: scritto senza lo zero iniziale è 102
    6. Il resto finale è 10, e la verifica lo conferma: 12 × 102 + 10 = 1234

    L'ingresso predefinito, e quello che mostra perché gli zeri dentro il quoziente contano. Il terzo passaggio contribuisce con uno 0 perché 3 è minore di 12, e quella cifra non è decorazione: la risposta è 102 e non 12. Lo 0 iniziale del primo passaggio viene tolto, dato che 102 e 0102 sono lo stesso numero scritto in due modi. La riga di verifica vale la pena di leggerla come una frase: il divisore per la risposta più quello che è avanzato ridà il numero da cui sei partito.

  2. 5432 ÷ 17, l'esempio della tabella di riferimento

    1. Abbassa il 5: 5 ÷ 17 va 0 volte e avanza 5
    2. Abbassa il 4: il valore è 54, e 54 ÷ 17 va 3 volte (3 × 17 = 51) lasciando 3
    3. Abbassa il 3: il valore è 33, e 33 ÷ 17 va 1 volta (17) lasciando 16
    4. Abbassa il 2: il valore è 162, e 162 ÷ 17 va 9 volte (9 × 17 = 153) lasciando 9
    5. Le cifre del quoziente sono 0, 3, 1, 9, cioè 319, e il resto è 9

    Le quattro righe che la tabella qui sotto dispone una colonna alla volta, e il motivo per cui vale la pena leggerle entrambe: ogni passaggio moltiplica il divisore all'indietro per trovare il prodotto più grande che entra ancora — 3 × 17 = 51 contro 54, poi 1 × 17 = 17 contro 33, poi 9 × 17 = 153 contro 162 — e il resto è lo scarto. Gli scarti qui sono 3, 16 e 9, tutti minori del divisore 17, che è l'invariante per cui ogni cifra del quoziente è la più grande che funzioni.

  3. Un resto che si ripete: 1.000.000.000 ÷ 7

    1. Abbassa l'1: 1 ÷ 7 va 0 volte e avanza 1
    2. Abbassa ogni 0 a turno, ottenendo 10, 30, 20, 60, 40, 50 e poi di nuovo 10
    3. Le cifre del quoziente sono 1, 4, 2, 8, 5, 7 e poi 1, 4, 2, 8 che si ripetono
    4. Dopo il settimo passaggio il resto torna a 1, quindi l'intero ciclo ricomincia
    5. Il quoziente è 142.857.142 e il resto finale è 6

    Qui i resti corrono 1, 3, 2, 6, 4, 5 e poi tornano a 1: è il ciclo di 1/7, ed è il motivo per cui le cifre del quoziente si ripetono come 142857. Quella ripetizione non è una stranezza di questo dividendo: ogni volta che un resto si ripete, si ripete anche tutto quello che viene dopo, dato che il passaggio successivo dipende soltanto dal valore abbassato. È anche la ragione per cui una frazione in forma decimale o termina o si ripete, e per cui 1/7 ha un blocco di sei cifre che torna sempre uguale.

  4. Quando il divisore è più grande del dividendo: 7 ÷ 999999999

    1. C'è una sola cifra da abbassare, il 7
    2. 7 ÷ 999.999.999 va 0 volte, dato che 999.999.999 è molto più grande di 7
    3. La cifra del quoziente è 0 e tutto il dividendo avanza
    4. Il quoziente è 0 e il resto è 7

    Un quoziente di 0 è una risposta vera e non un fallimento. Quando il divisore non entra nemmeno una volta non si toglie niente, quindi il resto è l'intero dividendo e la verifica si legge 999.999.999 × 0 + 7 = 7. La lista dei passaggi ha una riga sola perché il dividendo ha una cifra sola: il numero di passaggi è sempre uguale al numero di cifre da dividere, mai alla grandezza del divisore.

Limiti

Entrambi i numeri devono essere interi. Il dividendo va da 0 a 1.000.000.000 compresi, e il divisore da 1 a 1.000.000.000 compresi. Un divisore uguale a 0 viene rifiutato: non esiste un numero che, moltiplicato per 0, ridia un dividendo diverso da zero, quindi nessuna coppia di quoziente e resto potrebbe soddisfare la verifica. I numeri negativi vengono rifiutati invece che gestiti con una regola sul segno, perché l'algoritmo scritto qui lavora sulle cifre e le due convenzioni per la divisione negativa non sono d'accordo: questa pagina stampa il resto non negativo, e il caso in cui la scelta conta appartiene alla pagina del resto, che mostra entrambe le convenzioni fianco a fianco. I decimali vengono rifiutati: l'algoritmo si può prolungare oltre la virgola aggiungendo zeri, ma è una procedura diversa e questa pagina non la fa, anche se i resti che si ripetono qui sopra sono proprio da dove quei decimali vengono. Lo zero come dividendo è accettato e dà quoziente 0 con resto 0. La lista dei passaggi ha una riga per ogni cifra del dividendo, quindi un dividendo di dieci cifre produce dieci righe e il pannello è lungo per scelta: quello è lo svolgimento, non un riassunto. La tabella di riferimento qui sotto è fissa su 5432 ÷ 17 e non segue il tuo ingresso; il pannello sopra risponde ai tuoi numeri, e la tabella serve a mostrare che cosa significa ogni colonna di un passaggio. Ogni valore è esatto e non viene arrotondato niente.

Domande frequenti

Come si fa una divisione in colonna passo dopo passo?
Parti da sinistra del dividendo, una cifra alla volta. Dividi il valore costruito finora per il divisore, scrivi quante volte intere ci entra come cifra successiva della risposta e conserva quello che avanza. Poi abbassa la cifra seguente, cioè attaccala al resto, e ripeti finché le cifre finiscono. Per 1234 ÷ 12 questo dà le cifre 0, 1, 0, 2 e un resto finale di 10, quindi la risposta è 102 con resto 10.
Che differenza c'è fra il quoziente e il resto?
Il quoziente dice quante volte intere il divisore entra nel dividendo, e il resto è quello che avanza quando non ci entra più. Sono legati dalla definizione: dividendo uguale divisore per quoziente più resto. Per 1234 ÷ 12 il quoziente è 102 e il resto è 10, e 12 × 102 + 10 ridà 1234. Il resto è sempre minore del divisore, ed è questo che rende il quoziente il più grande numero intero che funzioni.
Perché qui il resto non è mai negativo?
Perché questa pagina usa la convenzione in cui il resto è quello non negativo: si sottrae il multiplo più grande del divisore che non supera il dividendo, e quello che avanza sta fra 0 e il divisore. I linguaggi di programmazione spesso troncano invece, e allora il resto può uscire negativo: dividendo −1 per 2 il resto è −1 con la troncatura e 1 con questa convenzione. La pagina del resto le mostra entrambe fianco a fianco. I dividendi negativi qui vengono rifiutati invece di essere gestiti con una scelta silenziosa.
La risposta può contenere uno zero?
Sì, e quello zero fa parte della risposta. Una cifra zero compare ogni volta che il valore di quel passaggio è minore del divisore, quindi 1234 ÷ 12 produce le cifre 0, 1, 0, 2: lo zero in mezzo non si può togliere, dato che 102 e 12 sono numeri diversi. Viene omesso soltanto lo zero iniziale, perché 0102 e 102 sono lo stesso numero.
Che cosa succede quando il dividendo è più piccolo del divisore?
Il quoziente è 0 e il resto è l'intero dividendo. 7 ÷ 999.999.999 va 0 volte, quindi non si sottrae niente e tutto il 7 avanza; la verifica si legge 999.999.999 × 0 + 7 = 7. La lista dei passaggi ha una riga sola, perché il numero di passaggi è sempre uguale al numero di cifre del dividendo e non ha niente a che vedere con il divisore.
Perché i resti cominciano a ripetersi?
Perché ogni passaggio dipende soltanto dal valore che riceve, quindi appena un resto ritorna si ripete tutta la sequenza che viene dopo. Dividendo 1.000.000.000 per 7 si ottengono i resti 1, 3, 2, 6, 4, 5 e poi di nuovo 1, quindi le cifre del quoziente si ripetono come 142857. È da qui che nascono i decimali periodici: portare lo stesso svolgimento oltre la virgola con degli zeri aggiunti trasforma quel ciclo nel blocco che si ripete di 1/7.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice del restoQuoziente e resto di una divisione, con le due convenzioni.Calcolatrice da frazione a decimaleIl valore decimale di una frazione, esatto o arrotondato.Convertitore da decimale a binarioDimezza un intero decimale in binario, mostrando i resti.Calcolatrice di arrotondamentoArrotonda a qualsiasi cifra o numero di cifre significative.