Calcolatrice delle cifre significative

123 → 3 cifre significative; 1002 → 4; 0,005 → 1; 0,004560 → 4; 1200 → 2 ma 1200. → 4; 0,004560 arrotondato a 2 cifre = 0,0046 = 4,6 × 10⁻³; 9,99 arrotondato a 2 cifre = 10 = 1,0 × 10¹

0,004560

Il numero che viene contato, in decimale ordinario oppure in notazione e. Può essere la misura di qualsiasi grandezza, positiva o negativa; il segno non prende parte né al conteggio né all'arrotondamento, quindi sono le sole cifre a essere lette

0,005 → 1

Perché gli zeri iniziali non contano. I tre zeri davanti al 5 non fanno altro che tenere la virgola dove deve stare; l'unica cifra che porta informazione è il 5, quindi una lettura citata come 0,005 ha una cifra significativa, e riscriverla come 5 × 10⁻³ non cambia niente di questo

1002 → 4

Perché gli zeri in mezzo contano. I due zeri di 1002 stanno fra l'1 e il 2 e tengono aperti il posto delle centinaia e quello delle decine, il che è informazione: senza di loro il numero sarebbe 12 oppure 102. Ogni cifra di 1002 è quindi significativa

1200 → 2, 1200. → 4

La regola che dipende dalla scrittura e non dal valore. In un numero intero scritto senza virgola gli zeri finali possono non essere altro che segnaposto, quindi non si contano: 1200 ha due cifre significative. Aggiungere il punto dice che sono stati scritti apposta, e 1200. ne ha quattro

0,004560 → 4

Perché gli zeri finali dopo la virgola contano. Lo zero in fondo a 0,004560 sta dopo la virgola, quindi è stato scritto di proposito e dice che la misura è arrivata ai milionesimi. È la quarta cifra significativa, ed è per questo che 0,004560 e 0,00456 non sono la stessa dichiarazione pur essendo lo stesso valore

0,004560 → 0,0046 = 4,6 × 10⁻³

L'arrotondamento a un numero scelto di cifre. Half-up significa che un 5 che segue arrotonda lontano da zero, e l'assenza di riempimento significa che una richiesta di più cifre di quante il numero ne abbia viene restituita invariata. La forma scientifica mostra sia le cifre che sopravvivono sia la grandezza che non cambia

Le cifre significative sono il modo in cui un numero misurato dichiara la propria precisione, e il grosso del loro uso sta nello scrivere i risultati. Una bilancia che legge fino alla quarta cifra decimale, un righello graduato in millimetri e un cronometro che risolve i centesimi producono tutti numeri la cui ultima cifra è l'ultima che lo strumento riusciva davvero a vedere; registrare 0,004560 invece di 0,00456 è ciò che conserva quell'informazione, e il conteggio delle cifre significative ne è la forma abbreviata. Quando quantità misurate vengono combinate, la risposta non può essere più precisa dell'ingresso più debole, quindi la pratica standard in fisica, chimica e ingegneria è stabilire quante cifre significative la risposta meriti e poi arrotondarla a quel numero. La regola pratica abituale è che un prodotto o un quoziente conserva tante cifre significative quante ne ha il fattore meno preciso, e una somma o una differenza conserva tante cifre decimali quante ne ha il termine meno preciso: è per questo che arrotondare alle cifre significative e arrotondare alle cifre decimali sono due operazioni diverse e questa pagina ne offre solo la prima. Chimica e fisica usano il conteggio anche come abitudine di controllo: una risposta con più cifre significative dei suoi ingressi è il segno che qualcosa non è stato misurato ma calcolato, ed è il modo più rapido per accorgersi di un risultato copiato da un display senza pensarci. In aula questa è una competenza oggetto d'esame a sé stante, dato che il conteggio delle cifre di 1200 rispetto a 1200. è una domanda tipica e la risposta dipende dalla forma scritta e non dal valore. Arrotondare invece a un numero di cifre decimali è compito della calcolatrice di arrotondamento, e scrivere un valore come coefficiente e potenza di dieci, senza alcun giudizio sulla precisione, è la pagina della forma standard.

1. Contare le cifre di 0,004560

   1. Gli zeri iniziali, 0,00, servono solo a posizionare la virgola e non contano
   2. Le cifre 4, 5 e 6 contano tutte e tre, e conta anche lo zero che le segue, perché sta dopo la virgola ed è stato scritto di proposito
   3. In tutto sono quattro cifre significative
   4. Arrotondare a quattro cifre chiede esattamente le cifre che il numero ha già, quindi il valore viene restituito invariato
   5. In notazione scientifica il coefficiente mostra le stesse quattro cifre e l'esponente porta la grandezza: 4,560 × 10⁻³

   Il valore predefinito, e il caso che mostra la differenza fra il valore di un numero e la dichiarazione che esso fa. 0,00456 e 0,004560 sono uguali come valori e diversi come misure, e lo zero finale è tutta la differenza. La forma scientifica della risposta è la stessa affermazione scritta dove gli zeri non si possono scambiare per impaginazione: un coefficiente di 4,560 ha quattro cifre e lo dice.

2. Arrotondare 0,004560 a una cifra

   1. Il numero ha quattro cifre significative e ne viene chiesta una
   2. Conserva la prima cifra, che è il 4 dei millesimi, e guarda la cifra che la segue
   3. Quella cifra è un 6, quindi il 4 arrotonda a 5
   4. Tutto quello che sta a destra viene tolto, e gli zeri iniziali restano dove erano: 0,005
   5. Scritto in notazione scientifica è 5 × 10⁻³, con un coefficiente di una cifra

   Arrotondare a una cifra è il caso più grossolano ed è quello in cui è più facile perdere la grandezza, dato che la risposta 0,005 non mostra più la cifra conservata se non come un 5 solitario. La forma scientifica rende esplicito lo scambio: una cifra della risposta è sopravvissuta e l'esponente registra la grandezza a cui si applica.

3. Un riporto che cambia l'esponente: 9,99 a due cifre

   1. Il numero ha tre cifre significative, tutte diverse da zero
   2. Conserva le prime due, ottenendo 9,9, e guarda la cifra successiva
   3. Quella cifra è un 9, quindi 9,9 arrotonda per eccesso — e il riporto attraversa tutto, trasformando 9,9 in 10
   4. Il valore arrotondato è ora una potenza di dieci più grande, quindi sale l'esponente e non il numero di cifre
   5. In notazione scientifica è 1,0 × 10¹, che mostra due cifre dove il semplice 10 se ne potrebbe leggere una

   Perché la riga scientifica si guadagna il suo posto. Un riporto che esce dall'estremità del numero ne cambia la grandezza, e la forma semplice non riesce a dire cosa è successo: 10 potrebbe essere il numero dieci, oppure un risultato a due cifre le cui cifre sono 1 e 0. La forma scientifica lo risolve: un coefficiente di 1,0 ha due cifre e un esponente di 1 registra la grandezza. La stessa cosa succede un passo più in alto con 999 arrotondato a due cifre, che fa 1000.

4. Chiedere più cifre di quante il numero ne abbia: 123 a cinque

   1. Il numero ha tre cifre significative e nessuna di esse si può togliere
   2. Vengono chieste cinque cifre, più di quante il numero ne porti
   3. L'arrotondamento non riempie mai, quindi il valore viene restituito esattamente come è arrivato
   4. La riga del conteggio riporta comunque tre, perché il numero non ha guadagnato due cifre per il fatto che siano state chieste

   Il caso in cui la calcolatrice rifiuta di aiutare. Riempire 123 fino a 123,00 trasformerebbe tre cifre misurate in cinque, e i due zeri in più verrebbero letti come precisione da chiunque prendesse il risultato per buono: è esattamente l'errore che tutta questa materia esiste per prevenire. La riga scientifica mostra perché la richiesta non si possa esaudire: 1,23 × 10² ha tre cifre dentro e non c'è posto da cui farne arrivare altre due.

Il conteggio segue le regole scolastiche e una di esse dipende da come il numero è scritto. 1200 ha due cifre significative e 1200. ne ha quattro; non esiste una terza risposta, perché la calcolatrice ha solo la forma scritta su cui basarsi e non sa se gli zeri fossero misurati. Un numero intero i cui zeri finali sono significativi ma a cui è stata omessa la virgola verrà quindi contato per difetto: scrivi 1200. se gli zeri contano. L'arrotondamento è half-up e lontano da zero, quindi un 5 che segue arrotonda sempre per eccesso; l'arrotondamento bancario a metà pari non è disponibile qui. L'arrotondamento non riempie mai, quindi chiedere più cifre di quante il numero ne abbia restituisce il numero invariato, e la riga del conteggio riporta le cifre che il numero porta davvero. Gli zeri iniziali non vengono conservati in nessun ingresso, quindi 007 si legge come 7. L'uscita decimale semplice non riesce a mostrare gli zeri finali significativi, ed è per questo che una seconda riga dà lo stesso valore in notazione scientifica; per 1002,0 arrotondato a due cifre la riga semplice legge 1000 e solo la riga scientifica, 1,0 × 10³, rivela che il conteggio delle cifre è due. Gli ingressi sono limitati a quindici cifre significative e a esponenti entro ±99, e il numero di cifre deve essere un intero da 1 a 15. Le forme scritte come 4,5 × 10⁴ e i separatori delle migliaia vengono rifiutati, come in tutto il sito. Attenzione, però: qui il separatore decimale del campo è il punto, quindi 1.500 non è un errore ma il numero 1,5. Lo zero ha una cifra significativa. Infine questa pagina arrotonda solo alle cifre significative. Arrotondare a un numero di cifre decimali è la calcolatrice di arrotondamento, e le due cose in generale non coincidono: 0,004560 a due cifre decimali fa 0,00 e a due cifre significative fa 0,0046.

Come si contano le cifre significative?

Ogni cifra diversa da zero conta, e conta anche uno zero fra due cifre diverse da zero, come in 1002, che ne ha quattro. Gli zeri iniziali non contano mai, perché servono solo a posizionare la virgola, quindi 0,005 ne ha una. Uno zero dopo la virgola conta, quindi 0,004560 ne ha quattro. E uno zero in fondo a un numero intero scritto senza virgola non conta, quindi 1200 ne ha due mentre 1200. ne ha quattro.

Perché 1200 ha solo due cifre significative?

Perché gli zeri finali di un numero intero scritto senza virgola possono non essere altro che segnaposto: potrebbero dire che il numero sta nelle migliaia, e non che qualcuno ha misurato fino alle unità. La forma scritta non distingue i due casi, quindi si prende la lettura prudente e contano solo l'1 e il 2. Scrivi 1200. se gli zeri devono essere significativi.

Qual è la differenza fra cifre significative e cifre decimali?

Le cifre decimali si contano a partire dalla virgola; le cifre significative si contano a partire dalla prima cifra diversa da zero. Per i numeri vicini a 1 le due cose coincidono all'incirca, e per i numeri lontani da 1 no: 0,004560 arrotondato a due cifre decimali fa 0,00, mentre arrotondato a due cifre significative fa 0,0046. Arrotondare alle cifre decimali è compito della calcolatrice di arrotondamento; questa pagina conta e arrotonda le cifre significative.

Perché chiedere più cifre di quante il numero ne abbia non aggiunge zeri?

Perché aggiungerli inventerebbe precisione. 123 ha tre cifre significative; stamparlo come 123,00 ne mostrerebbe cinque, e un lettore prenderebbe le ultime due come misurate quando nessuno le ha misurate. La calcolatrice restituisce il numero invariato e la riga del conteggio riporta comunque tre, che è il suo modo di dire che la richiesta non si poteva esaudire.

Perché il valore arrotondato viene dato anche in notazione scientifica?

Perché la forma semplice non riesce a mostrare gli zeri finali significativi. Arrotonda 1002,0 a due cifre e la risposta è 1000, dove gli zeri che tengono aperta la grandezza sembrano identici a zeri misurati. La riga scientifica lo scrive come 1,0 × 10³, dove il coefficiente tiene le due cifre e l'esponente tiene la grandezza, e l'ambiguità sparisce.

Quante cifre significative ha lo zero?

Una. Lo zero è una cifra che è stata scritta, e a differenza degli zeri iniziali di 0,005 è tutto quello che si sa della quantità invece di un segno che posiziona la virgola. Arrotondarlo a un numero qualsiasi di cifre lo lascia a 0, dato che oltre la prima cifra non c'è niente da conservare o da togliere.

• Significant digits — the definition, the rules for counting them and the conventions for rounding a result to a given number of them — Wolfram MathWorld (United States)
• NIST Special Publication 811 — Guide for the Use of the International System of Units (SI): the section on rounding and on significant digits when values are converted or reported — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• NIST Technical Note 1297 — Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST Measurement Results: the conventions for stating how many digits of a measured value are meaningful — National Institute of Standards and Technology (NIST)