Che cos'è la notazione scientifica?

Un modo di scrivere un numero come un coefficiente compreso fra 1 e 10 moltiplicato per una potenza di dieci: 45000 è 4,5 × 10⁴ e 0,00045 è 4,5 × 10⁻⁴. La grandezza del numero si trasferisce nell'esponente, ed è questo che rende moltiplicare e dividere in questa forma una questione di numeri interi piccoli invece che di lunghe file di zeri. L'uso britannico chiama di solito la stessa cosa forma standard.

Che cos'è la notazione e, e perché la pagina la stampa?

La notazione e è lo stesso numero scritto in caratteri normali: 4.5e4 significa 4,5 × 10⁴ e 4.5e-4 significa 4,5 × 10⁻⁴. È la forma che un programma, un foglio di calcolo o una casella di ricerca accettano, quindi la pagina la stampa come una delle tre forme: è la versione della risposta che si può incollare direttamente dentro un ingresso. Attenzione, però: la e si scrive con il punto, quindi 4.5e4 e non 4,5e4.

Perché qui 0,1 + 0,2 dà esattamente 0,3?

Perché il risultato viene arrotondato a quindici cifre significative prima di essere stampato, e la somma memorizzata è 0,30000000000000004: la differenza sta alla sedicesima e alla diciassettesima cifra. Quindici non è un numero tondo scelto per estetica: è la larghezza di visualizzazione più ampia per cui ogni valore che gli ingressi accettano viene stampato esattamente, quindi 123456789012345 + 0 torna ancora come 123456789012345 invece di essere arrotondato a qualcosa di più corto.

Posso scrivere 4,5 × 10⁴ dentro gli ingressi?

No, e la pagina te lo dirà. Riconoscere quella forma vorrebbe dire accettarne diverse grafie — un segno di moltiplicazione, una x, un asterisco, un esponente in apice, un accento circonflesso — e leggerne una in modo sbagliato significa fare il calcolo con il numero sbagliato. Scrivi invece 4.5e4 oppure 45000: sono lo stesso valore, e la riga della notazione e di ogni risposta è scritta per essere incollata di nuovo dentro un ingresso.

Come si moltiplica e si divide in notazione scientifica?

Per un prodotto si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti; per un quoziente si dividono i coefficienti e si sottraggono gli esponenti. Poi si controlla che il coefficiente sia compreso fra 1 e 10 e, se non lo è, si sposta un fattore dieci nell'esponente: 3,2 × 10⁵ per 4 × 10⁻³ fa 12,8 × 10², che si scrive 1,28 × 10³. Somma e sottrazione richiedono invece che gli esponenti siano allineati prima, ed è il passo che la notazione rende facile saltare.

La risposta dice quante cifre significative ha?

No. La risposta è un numero calcolato, e nessuna larghezza di visualizzazione può dirti quante delle sue cifre siano state misurate: dipende dalla precisione dei numeri entrati e dal fatto che fossero misure. Gli zeri finali vengono tolti per la stessa ragione, perché conservarli suggerirebbe una precisione che l'aritmetica non ha. Stabilire quante cifre significative meriti una risposta è il tema della pagina delle cifre significative.

Calcolatrice della notazione scientifica

Risultato

1.28 × 10³

Notazione scientifica

Notazione E: 1.28e3
Notazione ordinaria: 1280

La notazione scientifica scrive un numero come un coefficiente compreso fra 1 e 10 moltiplicato per una potenza di dieci, quindi 45000 diventa 4,5 × 10⁴ e 0,00045 diventa 4,5 × 10⁻⁴. Il suo pregio è che la grandezza del numero si trasferisce nell'esponente: moltiplicare e dividere smettono di essere una questione di contare zeri e diventano una questione di sommare e sottrarre numeri interi piccoli. Questa calcolatrice prende due numeri e un'operazione e stampa il risultato in tre forme insieme: notazione scientifica, notazione e e decimale ordinario. Le regole degli esponenti, cioè come si combinano le potenze di dieci, sono tutta l'aritmetica che serve. Per moltiplicare si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti: (3,2 × 10⁵) × (4 × 10⁻³) = 12,8 × 10², che viene poi normalizzato in 1,28 × 10³. Per dividere si dividono i coefficienti e si sottraggono gli esponenti. Sommare e sottrarre sono i casi scomodi, perché prima gli esponenti devono coincidere: 1,5 × 10³ più 2,5 × 10² è 1500 più 250, e la risposta è 1,75 × 10³. Non c'è niente di diverso dall'aritmetica decimale ordinaria — è la stessa somma — ma la notazione rende facile dimenticare il passo di allineamento. Gli ingressi si accettano in entrambe le forme. La notazione e che si scrive nei programmi, cioè 3.2e5 e 4e-3, viene letta direttamente, e così pure il decimale ordinario 45000: sono lo stesso numero e la pagina li tratta allo stesso modo. Una forma scritta come 4,5 × 10⁴ non viene accettata, e la ragione vale la pena di saperla invece di aggirarla: riconoscerla vorrebbe dire accettare cinque grafie della stessa idea — un segno di moltiplicazione, una x, un asterisco, un esponente in apice, un accento circonflesso — e leggerne una sola in modo sbagliato significa fare il calcolo con il numero sbagliato. La riga della notazione e è lì per essere incollata di nuovo dentro gli ingressi. Ogni numero può portare fino a quindici cifre significative e il suo esponente può andare da −99 a 99; la risposta può superarli, dato che 1e99 × 1e99 fa 1 × 10¹⁹⁸. Una avvertenza vale per questa aritmetica e non per le altre pagine del gruppo. La somma e la moltiplicazione dei decimali avvengono in doppia precisione, che non rappresenta esattamente ogni decimale, quindi 0,1 + 0,2 vale 0,30000000000000004 prima di essere qualunque altra cosa. Il risultato viene arrotondato a quindici cifre significative e gli zeri finali vengono tolti, e questo stampa 3 × 10⁻¹ e 0,3: la coda sta alla sedicesima e alla diciassettesima cifra. Quel quindici è una larghezza di visualizzazione, non una dichiarazione: una risposta calcolata da due numeri non sa quante delle sue cifre siano state misurate, e nessun numero di cifre stampate qui potrebbe dirtelo. Quante cifre significative meriti una risposta è una domanda separata, e appartiene alla pagina delle cifre significative. Su questa pagina si incontrano due convenzioni e conviene separarle una volta. Nell'uso americano questa notazione si chiama notazione scientifica; nell'uso britannico, e nei programmi d'esame, la stessa cosa si chiama di solito forma standard. I due nomi descrivono la stessa forma con coefficiente ed esponente, e la pagina della forma standard si occupa della metà del lavoro che riguarda la conversione — un numero in ingresso, lo stesso numero scritto nell'altro modo — mentre questa pagina fa la metà che riguarda l'aritmetica.

Le potenze di dieci scritte come notazione scientifica, come notazione e e come decimale

potenza	numero ordinario	notazione e
1 × 10⁻⁹	0.000000001	1e-9
1 × 10⁻⁶	0.000001	1e-6
1 × 10⁻³	0.001	1e-3
1 × 10⁻²	0.01	1e-2
1 × 10⁻¹	0.1	1e-1
1 × 10⁰	1	1e0
1 × 10¹	10	1e1
1 × 10²	100	1e2
1 × 10³	1000	1e3
1 × 10⁴	10000	1e4
1 × 10⁵	100000	1e5
1 × 10⁶	1000000	1e6
1 × 10⁹	1000000000	1e9

Tredici potenze di dieci, da 10⁻⁹ a 10⁹, con lo stesso numero scritto in tutti e tre i modi. Leggi la prima colonna come l'esponente e la terza come la forma da digitare: 10⁻³ è 0.001, cioè 1e-3. Le righe in mezzo sono quelle che danno problemi in pratica: 10⁰ è 1 e 10⁻¹ è 0.1, quindi un segno meno dimenticato sposta un valore di un fattore dieci, e 10⁻² e 10⁻³ sono le due che ricorrono più spesso nelle misure. Guarda dove la forma decimale smette di essere comoda: sotto 10⁻⁶ gli zeri a destra diventano difficili da contare, che è l'argomento abituale per scrivere i valori piccoli in questa notazione. Sopra 10⁶ la forma ordinaria è illeggibile senza separatori, e questa pagina non stampa mai separatori, perché in molte delle lingue che questo sito serve la virgola è il segno decimale e non quello delle migliaia. Ogni cella è calcolata dallo stesso kernel che usa il pannello, quindi una riga non può contraddire una risposta qui sopra. I numeri della tabella sono stampati con il punto, come nel pannello, mentre nel testo della pagina il separatore decimale è la virgola: stessa quantità, due convenzioni.

Formula

(a × 10ᵐ) × (b × 10ⁿ) = (a × b) × 10ᵐ⁺ⁿ; (a × 10ᵐ) ÷ (b × 10ⁿ) = (a ÷ b) × 10ᵐ⁻ⁿ; somma e sottrazione allineano prima: 1,5 × 10³ + 2,5 × 10² = 1500 + 250 = 1,75 × 10³; 3.2e5 × 4e-3 = 1,28 × 10³ = 1.28e3 = 1280

3.2e5 e 4e-3: I due numeri da combinare, ognuno scritto in notazione e (3.2e5) oppure come decimale ordinario (320000), e ognuno con un massimo di quindici cifre significative. Sono gli ingressi che la pagina legge; la risposta è un numero nuovo calcolato da loro
× ÷ + −: L'operazione, scelta fra quattro possibilità. La moltiplicazione viene per prima perché è il motivo per cui la notazione scientifica esiste: gli esponenti si sommano, quindi la grandezza della risposta è decisa prima che venga moltiplicato qualsiasi coefficiente
10ᵐ × 10ⁿ = 10ᵐ⁺ⁿ: La regola degli esponenti che sta sotto alla moltiplicazione e alla divisione. Per un prodotto gli esponenti si sommano, per un quoziente si sottraggono: è per questo che 10⁵ × 10⁻³ dà 10² senza dover contare nessuno zero
1,5 × 10³ + 2,5 × 10²: Perché somma e sottrazione sono diverse. Qui gli esponenti non coincidono, quindi i due numeri vanno portati a un esponente comune prima di poterli sommare — 1500 + 250 — e il risultato è 1,75 × 10³. Saltare quel passo è l'errore abituale
0,1 + 0,2 = 3 × 10⁻¹: Perché la risposta si stampa a quindici cifre significative. 0,1 e 0,2 non si possono tenere esattamente entrambi in doppia precisione, e la loro somma è 0,30000000000000004; arrotondando a quindici cifre, e togliendo gli zeri finali che restano, si stampa 3 × 10⁻¹ e 0,3. Quindici è una larghezza di visualizzazione, non una dichiarazione di precisione
1,28 × 10³, 1.28e3, 1280: Le tre forme di una sola risposta. La prima è quella che stampa un libro di testo, la seconda è quella che un programma o un foglio di calcolo accetta se viene incollata dentro un ingresso, la terza è il numero scritto per esteso. Non sono mai tre risposte diverse

La notazione scientifica si guadagna il suo posto ovunque i numeri siano lontani da 1. In fisica è la forma predefinita per tutto ciò che si misura in atomi, metri o anni luce — la massa di un elettrone, la distanza di una stella, la lunghezza d'onda di un colore — e la ragione è la stessa a ogni scala: l'esponente porta la grandezza, quindi confrontare due quantità diventa confrontare due esponenti. In chimica la notazione si accompagna al conteggio: 6,022 × 10²³ è un numero di particelle, e moltiplicarlo per una quantità misurata è aritmetica in questa forma. L'ingegneria ci si appoggia per le tolleranze ai due estremi di un disegno, e l'informatica ci si appoggia per la ragione per cui la notazione e esiste: i numeri in virgola mobile sono memorizzati come un coefficiente e un esponente, e la notazione e che questa pagina stampa è il modo più breve e più onesto di scriverne uno. I libri di testo e i compiti in classe la usano come forma verificabile. Svolgere un problema in notazione scientifica e dare la risposta come 4,5 × 10⁴ rende visibile la grandezza della risposta in un modo che una fila di zeri non rende, ed è per questo che un esponente sbagliato si vede a occhio in questa forma e sfugge nell'altra. Quello che questa pagina fa dentro quel lavoro è il passo aritmetico: tiene la contabilità degli esponenti e stampa la risposta nella forma che serve al passo successivo, ed è più utile quando i numeri vengono combinati e la risposta va scritta invece che stimata. Due lavori vicini stanno ai due lati. Scrivere lo stesso numero nell'altro modo, senza aritmetica, è la pagina della forma standard. Stabilire quante delle cifre di una risposta siano state davvero misurate — cioè di che cosa si occupano le cifre significative — è la pagina delle cifre significative, ed è la domanda a cui questa pagina deliberatamente non risponde.

Esempi svolti

Moltiplicare: 3,2 × 10⁵ per 4 × 10⁻³
1. Moltiplica i coefficienti: 3,2 × 4 = 12,8
2. Somma gli esponenti: 10⁵ × 10⁻³ = 10²
3. Il prodotto è 12,8 × 10², che non è ancora notazione scientifica, perché il coefficiente deve restare sotto 10
4. Sposta un fattore dieci dal coefficiente all'esponente: 12,8 × 10² = 1,28 × 10³
5. Scritto per esteso è 1280, e la notazione e 1.28e3 si può incollare di nuovo dentro uno dei due ingressi
Il valore predefinito, e il caso che mostra perché vale la pena usare la notazione. Tutti e due i numeri sono corti e l'aritmetica è due moltiplicazioni e una somma; senza la notazione lo stesso lavoro sarebbe 320000 × 0,004, dove sono gli zeri a fare tutta la fatica e la risposta si sbaglia facilmente di un fattore dieci. Il passo da tenere d'occhio è la normalizzazione, che il pannello esegue in silenzio: 12,8 × 10² e 1,28 × 10³ sono lo stesso numero, e solo il secondo è in notazione scientifica.
Dividere: 9,6 × 10⁷ per 3,2 × 10³
1. Dividi i coefficienti: 9,6 ÷ 3,2 = 3
2. Sottrai gli esponenti: 10⁷ ÷ 10³ = 10⁴
3. Il coefficiente è già compreso fra 1 e 10, quindi non serve normalizzare
4. La risposta è 3 × 10⁴, cioè 3e4 e 30000
Una divisione in cui il coefficiente viene fuori pulito, così niente nasconde la regola degli esponenti. Nota che il coefficiente non ha zeri finali: il risultato è 3 e non 3,00, perché la pagina stampa quindici cifre significative e poi toglie gli zeri che non portano informazione. Se la risposta meriti di essere citata come 3 o come 3,00000 è una domanda da cifre significative, e gli ingressi qui non la risolvono.
Sommare 0,1 e 0,2
1. In nessuno dei due ingressi compare un esponente, quindi i due numeri si scrivono come sono: 0,1 e 0,2
2. In doppia precisione i valori memorizzati non sono esattamente un decimo e due decimi, e la loro somma è 0,30000000000000004
3. Il risultato viene arrotondato a quindici cifre significative, e resta 0,300000000000000
4. Gli zeri finali vengono tolti, perché le quindici cifre sono una larghezza di visualizzazione e non una misura
5. Quello che resta è 3 × 10⁻¹, ossia 3e-1, ossia 0,3
L'esempio che giustifica la larghezza di visualizzazione. Stampare sette cifre significative nasconderebbe anch'esso la coda in virgola mobile, ma romperebbe un caso diverso: 123456789012345 + 0 verrebbe stampato come 123456800000000, che è semplicemente il numero sbagliato. Quindici cifre è la larghezza più ampia che resta esatta per ogni valore che gli ingressi accettano, quindi nasconde la coda e conserva il numero. Se hai incontrato questa somma come rompicapo di programmazione, il rompicapo è reale: solo che a questa larghezza non si vede.

Limiti

Ogni ingresso accetta fino a quindici cifre significative e un esponente da −99 a 99. La risposta non è limitata da quei confini: 1e99 × 1e99 fa 1 × 10¹⁹⁸, e la sua forma ordinaria è una riga di 199 caratteri. Le forme scritte vengono rifiutate. 4,5 × 10⁴ e 4,5×10^4 non si leggono, e nemmeno i separatori delle migliaia, quindi 1.500 viene rifiutato invece di essere letto come 1500 — la virgola è il segno decimale in molte delle lingue che questo sito serve, e indovinare quale delle due si intende metterebbe un numero sbagliato dentro l'aritmetica. Usa 4.5e4, oppure scrivi le cifre per esteso. La divisione per zero solleva un errore invece di restituire un infinito, perché un infinito non è un risultato che si possa scrivere. Lo zero si stampa come 0 in tutte e tre le forme: 0 × 10⁰ sarebbe una grandezza attaccata a un numero che non ne ha. I risultati vengono arrotondati a quindici cifre significative e i loro zeri finali vengono tolti, quindi la risposta non porta alcuna informazione sulla precisione e la pagina non ne dichiara nessuna; quella domanda appartiene alla pagina delle cifre significative. Poiché moltiplicazione, divisione, somma e sottrazione avvengono in doppia precisione, un risultato è esatto solo fino a quindici cifre significative: abbastanza per gli ingressi che questa pagina accetta, e non abbastanza per trattarlo come aritmetica esatta su valori più lunghi, che infatti vengono rifiutati. Infine la tabella qui sotto è un elenco fisso di potenze di dieci e non segue il tuo ingresso: serve a essere letta accanto alla risposta, non a essere calcolata da essa. Nota anche il separatore decimale degli ingressi: è il punto, quindi si scrive 3.2e5 e non 3,2e5 — la forma con la virgola viene rifiutata, non interpretata.

Domande frequenti

Che cos'è la notazione scientifica?: Un modo di scrivere un numero come un coefficiente compreso fra 1 e 10 moltiplicato per una potenza di dieci: 45000 è 4,5 × 10⁴ e 0,00045 è 4,5 × 10⁻⁴. La grandezza del numero si trasferisce nell'esponente, ed è questo che rende moltiplicare e dividere in questa forma una questione di numeri interi piccoli invece che di lunghe file di zeri. L'uso britannico chiama di solito la stessa cosa forma standard.
Che cos'è la notazione e, e perché la pagina la stampa?: La notazione e è lo stesso numero scritto in caratteri normali: 4.5e4 significa 4,5 × 10⁴ e 4.5e-4 significa 4,5 × 10⁻⁴. È la forma che un programma, un foglio di calcolo o una casella di ricerca accettano, quindi la pagina la stampa come una delle tre forme: è la versione della risposta che si può incollare direttamente dentro un ingresso. Attenzione, però: la e si scrive con il punto, quindi 4.5e4 e non 4,5e4.
Perché qui 0,1 + 0,2 dà esattamente 0,3?: Perché il risultato viene arrotondato a quindici cifre significative prima di essere stampato, e la somma memorizzata è 0,30000000000000004: la differenza sta alla sedicesima e alla diciassettesima cifra. Quindici non è un numero tondo scelto per estetica: è la larghezza di visualizzazione più ampia per cui ogni valore che gli ingressi accettano viene stampato esattamente, quindi 123456789012345 + 0 torna ancora come 123456789012345 invece di essere arrotondato a qualcosa di più corto.
Posso scrivere 4,5 × 10⁴ dentro gli ingressi?: No, e la pagina te lo dirà. Riconoscere quella forma vorrebbe dire accettarne diverse grafie — un segno di moltiplicazione, una x, un asterisco, un esponente in apice, un accento circonflesso — e leggerne una in modo sbagliato significa fare il calcolo con il numero sbagliato. Scrivi invece 4.5e4 oppure 45000: sono lo stesso valore, e la riga della notazione e di ogni risposta è scritta per essere incollata di nuovo dentro un ingresso.
Come si moltiplica e si divide in notazione scientifica?: Per un prodotto si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti; per un quoziente si dividono i coefficienti e si sottraggono gli esponenti. Poi si controlla che il coefficiente sia compreso fra 1 e 10 e, se non lo è, si sposta un fattore dieci nell'esponente: 3,2 × 10⁵ per 4 × 10⁻³ fa 12,8 × 10², che si scrive 1,28 × 10³. Somma e sottrazione richiedono invece che gli esponenti siano allineati prima, ed è il passo che la notazione rende facile saltare.
La risposta dice quante cifre significative ha?: No. La risposta è un numero calcolato, e nessuna larghezza di visualizzazione può dirti quante delle sue cifre siano state misurate: dipende dalla precisione dei numeri entrati e dal fatto che fossero misure. Gli zeri finali vengono tolti per la stessa ragione, perché conservarli suggerirebbe una precisione che l'aritmetica non ha. Stabilire quante cifre significative meriti una risposta è il tema della pagina delle cifre significative.

Riferimenti

Scientific notation — the coefficient-and-exponent form, the rules for multiplying and dividing in it, and the notation's history — Wolfram MathWorld (United States)
Scientific notation — a worked introduction to the form and to the exponent rules for multiplication and division — Math is Fun (United Kingdom)
Scientific notation — definition, with the same form given under the British name standard form — Math is Fun (United Kingdom)
Metric (SI) prefixes — the official prefixes of the International System of Units, each of which is a power of ten and therefore an everyday name for the exponents this page computes with — National Institute of Standards and Technology (NIST)

Calcolatrici correlate

Calcolatrice della forma standardConverti tra forma standard e numeri ordinari, nei due sensi.Calcolatrice delle cifre significativeConta le cifre significative e arrotonda a un numero dato.Calcolatrice delle potenzeEleva un numero a qualsiasi esponente, anche negativo.Calcolatrice di arrotondamentoArrotonda a qualsiasi cifra o numero di cifre significative.