Calcolatrice del valore posizionale
Risultato
Valori delle cifre
- Valore posizionale più grande
- 100
- Valore posizionale più piccolo
- 0.01
Il valore posizionale è la regola per cui il significato di una cifra viene da dove è scritta e non da come è fatta. Lo stesso 5 vale cinque, cinquanta o cinquecento a seconda del posto che occupa, e in 205,04 ognuna delle cinque cifre ha il suo valore: il 2 vale 200, lo zero delle decine non vale niente, il 5 vale 5, lo zero dei decimi non vale niente e il 4 vale 0,04. Questa calcolatrice li elenca tutti e cinque, in ordine da sinistra a destra, come cifra per valore posizionale: 2 × 100, 0 × 10, 5 × 1, 0 × 0,1, 4 × 0,01. Le posizioni ai due lati della virgola sono l'una l'immagine speculare dell'altra. A sinistra i valori vanno 1, 10, 100, 1000, ognuno dieci volte il precedente; a destra vanno 0,1, 0,01, 0,001, ognuno un decimo del precedente. Il posto delle unità sta in mezzo ed è il perno: il suo valore è 1, e la forma esponenziale di ogni valore posizionale è una potenza di dieci il cui esponente conta la distanza da quel perno, positiva verso sinistra e negativa verso destra. Tutta la tabella qui sotto è questo, ed è fissa: sono le potenze di dieci che numerano le posizioni, non la descrizione di un ingresso particolare. Gli zeri restano. Un valore posizionale è una proprietà di una posizione, e una posizione con uno zero dentro ha comunque un valore: è l'unica ragione per cui 205 e 25 sono numeri diversi, lo zero tiene aperto il posto delle decine. Toglierlo dall'elenco, come fa la pagina della forma estesa quando trasforma lo stesso numero in una somma, nasconderebbe proprio la cifra che fa da sostegno. È anche il motivo per cui le due pagine stampano righe diverse per lo stesso ingresso e nessuna delle due sbaglia: una è un elenco di cifre con il loro valore, l'altra è una somma dei termini che contano. Due dettagli su come viene letto l'ingresso vanno detti, perché tutti e due si scambiano facilmente per difetti. Le cifre elencate sono quelle scritte, quindi 1200 tiene i suoi due zeri finali e 0,004560 tiene quelli davanti: la calcolatrice non decide che alcune di esse non vale la pena nominarle. E in notazione e si legge solo il coefficiente: 4.5e4 è un modo di scrivere 45000 che nomina due cifre, quindi questa pagina elenca 4 × 10000 e 5 × 1000, dando come posizione più alta 10000 invece di 100000. Il valore del numero è lo stesso in entrambi i casi; quello che cambia è quante cifre sono state scritte, e questa pagina può riportare solo quelle che ha ricevuto. Il segno meno non fa parte del valore posizionale di alcuna cifra, quindi non compare nell'elenco. Nota anche il separatore decimale del campo: è il punto, quindi l'ingresso va scritto 205.04 e non 205,04. Le ultime due righe del risultato rispondono a una domanda a cui l'elenco stesso, quando il numero è lungo, risponde male a occhio: la posizione più alta e quella più bassa che il numero usa, stampate come valori. Quello che questa pagina non fa è dirti come si chiama una cifra. Dirà che il 2 di 205,04 vale 200 e non che sta nel posto delle centinaia, perché i nomi finiscono: oltre le centinaia di migliaia servirebbero i decimillesimi, i centomillesimi e avanti così, e un elenco che si interrompe è peggio di uno che non comincia. Se vuoi i termini sommati invece che elencati, quella è la pagina della forma estesa; se vuoi il numero compresso in un coefficiente e una potenza di dieci, è quella della forma standard.
Il valore posizionale di ogni posizione, dai milioni ai millesimi
| valore posizionale | numero |
|---|---|
| 1 × 10⁶ | 1000000 |
| 1 × 10⁵ | 100000 |
| 1 × 10⁴ | 10000 |
| 1 × 10³ | 1000 |
| 1 × 10² | 100 |
| 1 × 10¹ | 10 |
| 1 × 10⁰ | 1 |
| 1 × 10⁻¹ | 0.1 |
| 1 × 10⁻² | 0.01 |
| 1 × 10⁻³ | 0.001 |
Dieci posizioni, scritte come si chiamano e come si valutano: milioni, centinaia di migliaia e migliaia a sinistra, il posto delle unità nel mezzo, decimi, centesimi e millesimi a destra. Leggila come il righello con cui si misura la risposta qui sopra — il 2 di 205.04 sta contro la riga del 100, e il 4 contro quella dello 0.01. Le due righe ai lati del centro sono quelle che colgono di sorpresa: 1 × 10⁰ è 1, il posto delle unità, quindi gli esponenti non partono da 1; e 1 × 10⁻¹ è 0.1, il posto dei decimi, dove il segno meno fa il lavoro di spostare la cifra dall'altra parte della virgola. La tabella si ferma ai millesimi a destra e ai milioni a sinistra, il che non è un limite della calcolatrice: un numero più lungo ottiene semplicemente un elenco più lungo, con gli esponenti che continuano in tutte e due le direzioni. Ogni valore qui è calcolato dallo stesso kernel che produce la risposta, quindi una riga non può contraddirla. I numeri di questa tabella sono stampati con il punto decimale, come nel pannello qui sopra, mentre nel testo della pagina il separatore decimale è la virgola.
Formula
205,04 = 2 × 100 + 0 × 10 + 5 × 1 + 0 × 0,1 + 4 × 0,01; i valori posizionali seguono 10ⁿ con n = 2, 1, 0, −1, −2; 4.5e4 elenca 4 × 10000 e 5 × 1000, posizione più alta 10000, posizione più bassa 1000
- 205,04
- Il numero che viene letto, scritto come decimale ordinario oppure in notazione e. Ognuna delle sue cifre è elencata nell'ordine in cui è scritta, quindi la posizione di ogni termine nella risposta corrisponde alla posizione della cifra nell'ingresso
- 0 × 10
- Il termine di una cifra che vale zero, tenuto invece che tolto. Il posto delle decine in 205,04 contiene uno zero, e quello zero è ciò che rende il numero 205 e non 25: per questo il suo valore posizionale viene elencato insieme agli altri, anche se la cifra non contribuisce al totale
- 10ⁿ
- Il valore posizionale di una posizione qualsiasi, dove l'esponente conta i passi dal posto delle unità: positivo per decine, centinaia e migliaia, zero nel posto delle unità stesso, negativo per decimi, centesimi e millesimi. L'esponente è l'indirizzo della posizione
- × 10
- Il segno di moltiplicazione in ogni termine. La riga si legge cifra per valore posizionale da un capo all'altro, ed è quello che rende chiaro che il 5 di 205,04 vale cinque e non cinquecento, anche se i due numeri si trovano scritti uno accanto all'altro nella risposta
- 10.000 e 1000
- La posizione più alta e quella più bassa che il numero usa, stampate come valori. In 4.5e4 sono 10000 e 1000 invece di 10000 e 1, perché la notazione e nomina soltanto le cifre del coefficiente e gli zeri finali del numero scritto per esteso non sono fra queste
- 0,1 e 0,01
- Due valori posizionali a destra della virgola, scritti come decimali invece che in forma esponenziale perché è così che si leggono ad alta voce. 0,1 è il posto dei decimi e 0,01 quello dei centesimi, e ognuno è un decimo della posizione alla sua sinistra
Il valore posizionale è la prima idea dell'aritmetica e quella da cui dipende tutto il resto. È quello che si impara da bambini con i regoli su una tabella, ed è quello a cui si fa appello anni dopo in ogni riga di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione in colonna: quei metodi funzionano solo perché cifre nella stessa colonna valgono la stessa quantità, e si rompono per chi non ci crede. La stessa idea è tutta la compattezza del sistema decimale — dieci cifre bastano a scrivere un numero di qualsiasi grandezza, perché la posizione porta il resto dell'informazione — ed è la prima cosa che va imparata di nuovo, e non semplicemente estesa, quando arriva una base diversa: un numero binario funziona esattamente allo stesso modo con valori posizionali 1, 2, 4, 8 invece di 1, 10, 100, 1000, ed è per questo che le pagine di conversione binaria e questa descrivono lo stesso meccanismo. Nelle misure e nel denaro la tabella è lo strumento di tutti i giorni. I posti dei decimi e dei centesimi sono quello che significa una lettura a due cifre decimali, e sapere che le cifre dopo la virgola valgono sempre meno è la differenza fra leggere 0,04 come quattro centesimi e leggerlo come quattro. Le due righe sotto l'elenco, la posizione più alta e quella più bassa, sono la risposta rapida a quanto è grande e quanto è preciso un numero: una misura registrata fino ai millesimi dichiara una precisione diversa da una registrata fino alle unità, e quella dichiarazione la fa il posto in cui sta la sua ultima cifra. Quando le cifre vanno sommate invece che elencate, lo fa la pagina della forma estesa. Quando vanno riassunte in un coefficiente e un esponente, è la pagina della forma standard.
Esempi svolti
Un numero con una cifra per lato della virgola: 205,04
- Leggi le cifre da sinistra a destra: 2, 0, 5, 0, 4
- Il 2 sta tre posti a sinistra delle unità: 2 × 100
- Lo zero delle decine tiene il suo termine: 0 × 10
- Il 5 sta nel posto delle unità, il cui valore è 1, quindi il suo termine è 5 × 1
- Lo zero dei decimi tiene il suo termine: 0 × 0,1
- Il 4 sta due posti a destra delle unità, nei centesimi: 4 × 0,01
- La posizione più alta usata è 100 e la più bassa è 0,01, quindi il numero va dalle centinaia ai centesimi
Il valore predefinito, e il caso con uno zero per lato della virgola, così si vedono in una volta sola le due direzioni dello specchio. Confrontalo con lo stesso ingresso sulla pagina della forma estesa, che risponde 200 + 5 + 0,04: tre termini contro cinque. I due termini che differiscono sono esattamente i due zeri, e la ragione è che una pagina elenca posizioni mentre l'altra somma quantità.
Un intero con zeri finali: 1200
- Le cifre sono 1, 2, 0, 0 e le posizioni vanno migliaia, centinaia, decine, unità
- L'1 vale 1000 e il 2 vale 200
- Tutti e due gli zeri restano come termini, perché le posizioni che occupano esistono comunque: 0 × 10 e 0 × 1
- La posizione più alta usata è quella delle migliaia e la più bassa è quella delle unità, il cui valore è 1
Gli zeri sono il punto di questo esempio. Toglierli darebbe 1 × 1000 e 2 × 100, che è quello che fa la pagina della forma estesa ed è una risposta del tutto buona là, dato che una somma non ha bisogno di termini che valgono zero. Qui restano perché le decine e le unità sono posizioni reali nel numero 1200 e chi controlla una sottrazione in colonna ha bisogno di sapere che sono occupate. Nota anche che la posizione più bassa è 1 e non 0,01: il numero non ha la virgola, quindi la sua ultima cifra sta nel posto delle unità e più fine di così non si scende. In italiano il numero resta scritto 1200 e non 1.200: le cifre sono quattro e non si raggruppano.
Un valore scritto in notazione e: 4.5e4
- 4.5e4 è una scrittura di 45000, ma nomina soltanto le cifre 4 e 5
- Il 4 è la prima cifra del coefficiente, quindi finisce nel posto delle decine di migliaia: 4 × 10000
- Il 5 è la seconda cifra, quindi finisce nel posto delle migliaia: 5 × 1000
- I tre zeri che completano 45000 non sono scritti nell'ingresso, quindi non vengono elencati
- La posizione più alta è 10000 e la più bassa è 1000, non 1
Il caso che sembra un difetto e non lo è. Digita 45000 e l'elenco scende fino alle unità; digita 4.5e4 e si ferma alle migliaia, perché la notazione e porta la sua grandezza nell'esponente invece che in zeri scritti, e questa pagina legge le cifre che ha ricevuto. I due ingressi descrivono lo stesso numero, e il secondo semplicemente ne nomina meno cifre. Nemmeno l'esponente dentro la notazione viene espanso in termini posizionali, dato che un termine come 0 × 100 sarebbe questa pagina che inventa cifre per un ingresso che non le ha mai scritte.
Limiti
L'elenco è lungo quanto il numero di cifre scritte, non quanto tutta la larghezza del numero. 4.5e4 produce due termini invece di cinque, e la sua posizione più bassa è 1000 invece di 1, perché l'ingresso nomina due cifre. Scrivi il numero per esteso come 45000 per vedere ogni posizione fino alle unità. I nomi delle posizioni non vengono stampati. La risposta dice che la cifra iniziale di 205,04 vale 200 e mai che sta nel posto delle centinaia, perché un elenco di nomi di posizione dovrebbe prima o poi fermarsi: oltre un certo punto servirebbero i decimillesimi e i centomillesimi, e una tabella a cui mancano le parole a metà strada è peggio di una che usa gli esponenti e non rimane mai senza. Le scritture composte vengono rifiutate, quindi 2 × 10² non è un ingresso: usa 200 oppure 2e2. Anche i separatori delle migliaia vengono rifiutati, quindi 1,200 è un errore invece di 1200. Attenzione, però: poiché qui il separatore decimale del campo è il punto, scrivere 1.200 non è un errore ma un altro numero, cioè 1,2. Gli ingressi sono limitati a quindici cifre significative e a esponenti entro ±99, e uno zero davanti in un intero scritto non viene conservato: 007 si legge come 7, la cui unica posizione è quella delle unità. Il segno meno non compare nell'elenco, perché è una proprietà del numero e non di una cifra: −205,04 produce gli stessi cinque termini di 205,04. Non si somma e non si arrotonda niente, quindi la risposta non ti dice mai quanto valgono le cifre sommate fra loro: quella è la pagina della forma estesa. E la tabella qui sotto è un insieme fisso di potenze di dieci, non una descrizione dell'ingresso qui sopra.
Domande frequenti
- Che cos'è il valore posizionale?
- La regola per cui il valore di una cifra viene da dove è scritta e non da come è fatta. La cifra 5 in 5, in 25 e in 205,04 vale rispettivamente 5, 50 e 0,05, perché ogni volta occupa un posto diverso. Ogni posizione vale dieci volte quella alla sua destra, ed è questo che rende sufficienti dieci cifre per scrivere un numero di qualsiasi grandezza.
- Perché qui gli zeri restano nell'elenco?
- Perché un valore posizionale appartiene a una posizione, e una posizione con uno zero dentro tiene comunque quel posto aperto: lo zero in 205 è quello che lo rende 205 e non 25. Questa pagina elenca cifre e posizioni, quindi li tiene. La pagina della forma estesa trasforma lo stesso numero in una somma e li lascia fuori, dato che un termine che vale zero non aggiunge niente; le due risposte differiscono e tutte e due sono giuste.
- Perché 4.5e4 non elenca nessuna posizione sotto le migliaia?
- Perché la notazione e porta la grandezza del numero nel suo esponente invece che in zeri scritti, e questa pagina legge le cifre che ha ricevuto. 4.5e4 nomina due cifre, quindi l'elenco ha due termini, 4 × 10000 e 5 × 1000, e la posizione più bassa è 1000. Scrivi invece 45000 e lo stesso numero elenca ogni posizione fino alle unità. È la stessa quantità in entrambi i casi; è cambiato solo il numero di cifre scritte.
- Cosa sono il posto dei decimi, dei centesimi e dei millesimi?
- Le tre posizioni immediatamente a destra della virgola, che valgono 0,1, 0,01 e 0,001. Ognuna è un decimo della posizione alla sua sinistra, e i loro nomi dicono la stessa cosa dei loro valori: il posto dei decimi è quello in cui una cifra vale un decimo, quello dei centesimi è quello in cui vale un centesimo. Quindi 0,04 è quattro centesimi e non quattro decimi, e il 4 sta due posti a destra delle unità.
- Perché la risposta stampa 2 × 100 invece di due centinaia?
- Perché un elenco di nomi di posizione deve pur fermarsi da qualche parte. Oltre le centinaia di migliaia e i millesimi servirebbero nomi che quasi nessuno ha mai usato, e una tabella a cui mancano le parole a metà strada è peggio di una che valuta ogni posizione come potenza di dieci e non rimane mai senza. Il valore è la stessa affermazione in entrambi i casi: 2 × 100 e due centinaia sono una sola posizione, descritta in due modi.
- La pagina del valore posizionale mi dice la somma delle cifre?
- No. Elenca ogni cifra con il valore della sua posizione e si ferma; i termini sommano all'ingresso, ma la pagina non esegue mai quell'addizione. Se quello che vuoi è il numero scritto come somma dei suoi valori posizionali, quella è la calcolatrice della forma estesa, che usa le stesse posizioni come termini e lascia fuori quelli che valgono zero.
Riferimenti
- Place value — how a digit's position determines what it is worth, with the chart on both sides of the decimal point — Math is Fun (United Kingdom)
- Place value — the definition of the chart and of the tenths, hundredths and thousandths places to the right of the decimal point — SplashLearn (United States)
- Expanded form — the same number written as a sum of its place values, with the zero terms left out — SplashLearn (United States)
- SI Brochure — The International System of Units: the decimal structure of the system and the prefixes, each of which is a power of ten and therefore a name for a place in the chart below — Bureau International des Poids et Mesures (BIPM)