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CalcMax

Calcolatrice della forma estesa

Risultato

3000 + 400 + 50 + 6

Forma espansa

Forma espansa con potenze di 10
3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰

Questa calcolatrice scrive un numero in forma estesa, cioè come la somma delle sue cifre, ognuna moltiplicata per il valore della posizione che occupa. 3456 diventa 3000 + 400 + 50 + 6: non è un altro numero e non è un modo più corto di scriverlo, è lo stesso numero con la sua struttura in vista. Rileggere quella somma è tutto l'esercizio: il 3 vale 3000 perché sta nel posto delle migliaia, il 4 vale 400 perché sta in quello delle centinaia, e così via fino al 6 delle unità. La versione esponenziale scrive la stessa somma con i valori posizionali espressi come potenze di dieci: 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰. Le due righe dicono la stessa cosa e la pagina le stampa entrambe, perché rispondono a due domande diverse: la prima è quello che dà una tabella dei valori posizionali, la seconda è quello che dà la stessa tabella quando le colonne sono etichettate con gli esponenti. Gli zeri non entrano nella scomposizione. 205,04 è 200 + 5 + 0,04: lo zero delle decine e lo zero dei decimi non aggiungono niente alla somma, e scrivere 0 × 10 accanto ai termini che contano rende solo la riga più faticosa da leggere. È l'unico punto in cui questa pagina e quella del valore posizionale si contraddicono di proposito. Quella tiene gli zeri, perché il suo oggetto sono le cifre — ogni cifra ha un valore posizionale, comprese quelle che non valgono niente — mentre l'oggetto di questa pagina è la somma, e un termine che vale zero si può togliere da una somma senza cambiarla. Anche i numeri decimali seguono la stessa regola, con esponenti negativi: 0,004560 è 0,004 + 0,0005 + 0,00006, cioè 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵. Nota cosa è successo in fondo: lo zero finale di 0,004560 non compare, per la stessa ragione per cui non compare quello di 205,04 — questa pagina non conserva la scrittura del numero, lo smonta pezzo per pezzo. I numeri negativi si scrivono con il segno fuori da una parentesi: −550 è −(500 + 50), non −500 + −50. La seconda scrittura non è aritmeticamente sbagliata, ma su una pagina il cui contenuto è tutto una somma si legge come due numeri negativi sommati fra loro, e lascia anche credere che il segno appartenga alle cifre invece che al numero. Lo zero è l'unico ingresso senza alcun termine e viene stampato come 0, non come una riga vuota. I dati si possono scrivere come decimali ordinarie oppure in notazione e, e la forma in notazione e è accettata per la stessa ragione per cui viene stampata altrove su questo sito: è la scrittura che accetta un programma. Attenzione però al separatore: negli ingressi di questa famiglia il segno decimale è il punto, quindi si scrive 0.004560 e 4.5e4, non 0,004560 e 4,5e4. Vale la pena conoscere due pagine vicine. Quella del valore posizionale smonta lo stesso numero ma tiene ogni cifra, quindi è la pagina da leggere quando la domanda è quanto vale una cifra in particolare e non quanto vale la somma delle cifre. Quella della forma standard va nella direzione opposta: comprime un numero in un coefficiente e un esponente, cioè un riassunto, dove questa è una dissezione.

Quattro numeri scomposti, e le stesse quattro scomposizioni scritte con le potenze di dieci

numeroforma estesaforma estesa con potenze di dieci
34563000 + 400 + 50 + 63 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰
205.04200 + 5 + 0.042 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻²
12001000 + 2001 × 10³ + 2 × 10²
0.0045600.004 + 0.0005 + 0.000064 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵

Quattro casi scelti per coprire quello che la regola fa: un numero di quattro cifre senza zeri, un numero con la virgola e uno zero per lato, un intero con due zeri finali e un valore sotto uno con uno zero finale suo. La seconda e la quarta riga sono quelle da leggere due volte. In 205.04 lo zero delle decine e quello dei decimi spariscono entrambi dalla scomposizione, e in 0.004560 sparisce anche lo zero finale; in ogni caso i termini che restano sommano al numero della colonna di sinistra. Nota anche come si muovono gli esponenti nella terza colonna: scendono di uno per ogni cifra verso destra, attraversano lo zero nel posto delle unità e continuano verso il basso come numeri negativi sotto la virgola. Nel pannello e in questa tabella i numeri sono stampati con il punto decimale, mentre nel testo della pagina il separatore decimale è la virgola: sono lo stesso numero scritto in due convenzioni, e qui la tabella vale come il pannello. Ogni cella viene dallo stesso kernel che produce la risposta, quindi una riga non può andare fuori passo con il pannello.

Formula

3456 = 3000 + 400 + 50 + 6 = 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰; 205,04 = 200 + 5 + 0,04 = 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻²; −550 = −(500 + 50)

3456
Il numero da smontare, scritto come decimale ordinario oppure in notazione e. Le sue cifre non cambiano e non si arrotonda niente: il numero viene solo riscritto, quindi una forma estesa che non torna a sommare il numero di partenza è un difetto e non una scelta di arrotondamento
3000 + 400 + 50 + 6
La forma estesa: un termine per ogni cifra diversa da zero, e ogni termine è quella cifra moltiplicata per il valore della sua posizione. Le cifre restano nell'ordine originale da sinistra a destra, così la riga si legge come si legge il numero
3 × 10³
Lo stesso termine con il valore posizionale scritto come potenza di dieci. L'esponente è la distanza della cifra dalle unità, contata positiva verso sinistra e negativa verso destra: è per questo che il posto delle unità è 10⁰ e non 10¹
200 + 5 + 0,04
Dove finiscono gli zeri. 205,04 ha uno zero nelle decine e uno nei decimi, e tutti e due i termini vengono lasciati fuori, perché aggiungere zero a una somma non la cambia. La pagina del valore posizionale li tiene; questa no, e proprio quel contrasto è la ragione per cui esistono due pagine
4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴
La parte della scomposizione sotto la virgola, dove gli esponenti sono negativi. 0,004560 dà 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵: lo zero finale dell'ingresso non produce alcun termine, perché questa pagina legge un valore e non conserva una scrittura
−(500 + 50)
Come si scrive un numero negativo. Il segno vale per tutta la somma e sta fuori dalla parentesi, invece di essere distribuito su ogni termine come −500 + −50, che si leggerebbe come la somma di due numeri negativi

La forma estesa è il modo in cui si insegna il valore posizionale ed è il passaggio fra il contare e i calcoli in colonna. Un bambino che sa scrivere 3456 come 3000 + 400 + 50 + 6 vede perché il 3 e il 4 non si possono semplicemente sommare fra loro, che è l'idea su cui si regge l'addizione in colonna; la stessa scomposizione sotto una sottrazione spiega il prestito, e sotto una moltiplicazione è quello che rende 3000 × 4 diverso da 3 × 4. Molto dopo la scuola continua a saltare fuori come versione leggibile della struttura di un numero. Chi confronta due letture della stessa grandezza trova nella scomposizione il modo più rapido di vedere in quale posizione sta la differenza, e chi controlla il risultato di un foglio di calcolo può smontare il totale e verificare ogni cifra contro i dati invece di fidarsi del numero intero in un colpo solo. La forma esponenziale è il ponte verso la notazione scientifica e verso l'informatica: 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰ è a un passo da 3,456 × 10³, e la stessa espressione con le potenze di due al posto delle potenze di dieci è esattamente come si scompone un numero binario, con ogni bit moltiplicato per il valore della sua posizione. Lavorare nella direzione opposta — comprimere un numero in un coefficiente e una potenza di dieci, perdendo le singole cifre invece di elencarle — è quello che fa la pagina della forma standard. E quando la domanda riguarda una cifra in particolare invece di tutte insieme, la pagina del valore posizionale tiene ogni cifra al suo posto, zeri compresi, invece di omettere i termini che non valgono niente.

Esempi svolti

  1. Un numero di quattro cifre: 3456

    1. Leggi le cifre da sinistra: 3, 4, 5, 6
    2. Dai un nome alla posizione di ogni cifra: migliaia, centinaia, decine, unità
    3. Moltiplica ogni cifra per il valore della sua posizione: 3 × 1000, 4 × 100, 5 × 10, 6 × 1
    4. Somma i termini: 3000 + 400 + 50 + 6
    5. Scrivi gli stessi quattro termini con i valori posizionali come potenze di dieci, ottenendo 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰

    Il valore predefinito, e di proposito il caso facile: niente zeri, niente virgola, niente segno, così la forma della risposta si vede prima che ci sia una regola da applicare. Sommando i termini si torna a 3456, ed è il controllo che vale la pena fare su qualsiasi forma estesa: i termini devono sommare al numero da cui vengono, e ogni cifra deve comparire esattamente una volta.

  2. Un numero con degli zeri e una virgola: 205,04

    1. Le cifre sono 2, 0, 5, 0, 4, e le loro posizioni vanno dalle centinaia ai centesimi
    2. Il 2 vale 200 e il 5 vale 5; gli zeri delle decine e dei decimi non valgono niente e non producono alcun termine
    3. Il 4 sta due posti a destra della virgola, quindi il suo valore posizionale è 0,01 e il suo termine è 0,04
    4. La forma estesa è 200 + 5 + 0,04, che somma a 205,04
    5. Con le potenze di dieci gli stessi termini sono 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻², e gli esponenti 2, 0 e −2 sono le distanze dal posto delle unità

    Il caso centrale della pagina: due zeri, uno per lato della virgola, e nessuno dei due produce un termine. Confrontalo con la pagina del valore posizionale, che sullo stesso ingresso risponde 2 × 100, 0 × 10, 5 × 1, 0 × 0,1, 4 × 0,01 — cinque termini contro tre, e entrambe sono risposte giuste a domande diverse. Vale la pena notare anche l'esponente zero di 5 × 10⁰: il posto delle unità è un posto come gli altri, e il suo esponente è zero perché la cifra dista zero posti da se stessa. L'ingresso va però scritto con il punto, 205.04: il campo accetta il punto come segno decimale, non la virgola.

  3. Un numero negativo: −550

    1. Prendi prima le cifre e ignora il segno: 5 e 5, nelle centinaia e nelle decine
    2. I loro termini sono 500 e 50, e lo zero delle unità non aggiunge niente
    3. La somma di quei termini è 550, e il numero di partenza è quella somma resa negativa
    4. Scrivi il segno una volta sola, fuori da una parentesi che racchiude tutta la somma: -(500 + 50)

    Il segno è una proprietà del numero, non di una singola cifra, e la parentesi è il modo di dirlo per iscritto. Distribuirlo darebbe -500 + -50, che è aritmeticamente identico e peggio da leggere: su una pagina il cui risultato è una somma, due segni meno si leggono come due numeri da sommare, e chi controlla la riga deve capire se i termini erano cifre negative o un totale negativo.

  4. Un valore sotto uno con uno zero finale: 0,004560

    1. Trova le cifre significative, che sono 4, 5 e 6; gli zeri davanti servono solo a posizionare la virgola
    2. Il 4 sta nei millesimi, quindi il suo termine è 0,004
    3. Il 5 sta nei decimillesimi e dà 0,0005, mentre il 6 sta nei centomillesimi e dà 0,00006
    4. L'ultima cifra dell'ingresso è uno zero nei milionesimi; non contribuisce e non produce alcun termine
    5. I termini sommano a 0,00456, che è il valore dell'ingresso

    Lo zero finale è la parte interessante, ed è il punto in cui questa pagina e quella delle cifre significative si separano. Qui lo zero semplicemente non è un termine, perché una somma non ne ha bisogno. Là è una cifra misurata e conta per le quattro cifre significative che 0,004560 porta con sé. Le due letture vengono dallo stesso ingresso e nessuna delle due è un errore: una riguarda il valore del numero, l'altra la precisione della misura.

Limiti

Gli zeri non producono termini. 205,04 si scompone in 200 + 5 + 0,04 e non in 200 + 0 + 5 + 0 + 0,04, quindi la forma estesa non è la trascrizione cifra per cifra dell'ingresso: è l'ingresso scritto come somma, e i termini che valgono zero vengono lasciati fuori. Se vuoi gli zeri al loro posto, la pagina del valore posizionale li tiene. La scrittura già composta non è un ingresso valido: 4,5 × 10⁴ viene rifiutato, e così i separatori delle migliaia, quindi 1,200 è un errore invece di 1200. Gli ingressi sono limitati a quindici cifre significative e a esponenti entro ±99. Uno zero davanti in un intero scritto, come in 007, non viene conservato nemmeno lui: non ha alcun valore posizionale, e la forma estesa di quell'ingresso è 7. Lo zero è un caso particolare da entrambi i lati: l'ingresso 0 si scompone in 0 senza termini, e la forma estesa di un numero finisce all'ultima cifra diversa da zero invece che alla fine della scrittura. Non si arrotonda e non si converte niente, quindi la forma estesa di 9,99 è 9 + 0,9 + 0,09 e mai 10. Infine questa pagina elenca le cifre: non le somma per te, non decide quante di esse siano significative e non scrive il numero come coefficiente e potenza di dieci. Sono tre lavori diversi e appartengono rispettivamente alle pagine del valore posizionale, delle cifre significative e della forma standard. Attenzione anche al separatore decimale del campo: è il punto, quindi 205.04 si legge e 205,04 viene rifiutato; ed è per questo che 1.500 non vale millecinquecento ma 1,5.

Domande frequenti

Che cos'è la forma estesa?
Un numero scritto come la somma delle sue cifre, ognuna moltiplicata per il valore della sua posizione: 3456 è 3000 + 400 + 50 + 6. Non è un altro numero e non è un modo più corto di scriverne uno; è lo stesso numero con la struttura delle sue posizioni resa visibile, ed è per questo che è la forma in cui si insegna il valore posizionale e la forma che spiega perché i calcoli in colonna funzionano.
Perché gli zeri vengono lasciati fuori dalla forma estesa?
Perché un termine che vale zero si può togliere da una somma senza cambiarla, e includerlo rende la riga più difficile da leggere: 205,04 è 200 + 5 + 0,04 e non 200 + 0 + 5 + 0 + 0,04. La pagina del valore posizionale la pensa al contrario e tiene ogni cifra, perché il suo oggetto sono le cifre e non la somma. Entrambe le pagine hanno ragione sullo stesso numero.
Che differenza c'è fra forma estesa e notazione estesa?
La seconda scrive i valori posizionali come potenze di dieci: 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰ invece di 3000 + 400 + 50 + 6. Questa pagina stampa tutte e due, una sotto l'altra, perché la prima è quello che ti dà una tabella dei valori posizionali e la seconda è quello che dà la stessa tabella quando le sue colonne sono etichettate con gli esponenti.
Come si scompone un numero con la virgola?
Allo stesso modo, con le posizioni a destra della virgola che prendono esponenti negativi: 205,04 è 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻², dato che il 4 sta due posti a destra delle unità. 0,004560 si scompone in 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵, e il suo zero finale non contribuisce con alcun termine.
Perché -550 si scrive come -(500 + 50)?
Perché il segno appartiene a tutto il numero e non a una singola cifra. Distribuirlo darebbe -500 + -50, che ha lo stesso valore ma si legge come due numeri negativi sommati fra loro, il che confonde su una pagina il cui risultato è una somma. Scriverlo una volta sola, fuori da una parentesi, dice che un numero è negativo e quali sono le sue parti.
La forma estesa mi dice quante cifre significative ha un numero?
No. Questa pagina elenca le cifre e i loro valori posizionali e si ferma lì; lo zero finale di 0,004560 semplicemente non è un termine. Se quello zero sia stato misurato è una domanda separata, ed è quella a cui risponde la pagina delle cifre significative: là conta, e il numero ha quattro cifre significative.

Riferimenti

Calcolatrici correlate

Calcolatrice del valore posizionaleIl valore posizionale di ogni cifra di un numero.Calcolatrice della forma standardConverti tra forma standard e numeri ordinari, nei due sensi.Calcolatrice di basi numericheSomma, sottrae, moltiplica e divide in qualsiasi base.Calcolatrice delle potenzeEleva un numero a qualsiasi esponente, anche negativo.