Calcolatrice dell'angolo doppio

sen 2θ = 2 sen θ cos θ cos 2θ = cos²θ − sen²θ tan 2θ = 2 tan θ ÷ (1 − tan²θ)

θ

L'angolo da cui parti, in gradi o radianti. Può essere negativo e può superare un giro intero, e quello che la pagina raddoppia è questo angolo, mai il numero che ne esce

2θ

L'angolo doppio. È riportato per primo, in gradi, perché tutto il resto della pagina si legge a quell'angolo e non a quello che hai digitato

sen θ, cos θ

Il seno e il coseno dell'angolo di partenza. La formula li moltiplica fra loro invece di raddoppiare l'uno o l'altro, ed è per questo che la risposta non è il doppio di niente

Rivolgiti a questa pagina quando l'angolo sta per essere raddoppiato e vuoi sapere dove finisce senza applicare le formule a mano: una rotazione ripetuta due volte, una fase che avanza del doppio del passo, una lunghezza d'onda letta al doppio della frequenza. Le formule di duplicazione qui sotto sono le stesse tre identità che la calcolatrice applica, quindi la pagina vale anche come controllo di un calcolo fatto a mano. In radianti funziona allo stesso modo: cambia solo l'unità che scegli accanto al campo, e l'angolo doppio viene comunque riportato in gradi, che è l'unità dichiarata dall'uscita. Se quello che hai è la lettura del doppio e vuoi tornare all'angolo di partenza, quella è la direzione della bisezione, e non è una cosa che questa pagina faccia. E se ti servono i tre rapporti all'angolo che hai digitato invece che al suo doppio, la pagina della trigonometria fa esattamente questo, e le due concordano ovunque entrambe siano definite.

1. Un angolo di trenta gradi, che raddoppia in sessanta

   1. Il doppio di trenta gradi è sessanta gradi, quindi tutto si legge lì
   2. Il seno di sessanta è radice di tre mezzi, cioè circa 0,866, e il coseno di sessanta è un mezzo
   3. La tangente è il loro rapporto, radice di tre, cioè circa 1,7321

   L'angolo con cui la pagina si apre, e quello che mostra perché la pagina esista. Il seno di trenta gradi è 0,5, quindi il suo doppio sarebbe uno; ma il seno di sessanta gradi è 0,866, e nessun raddoppio della prima lettura produce la seconda. La formula spiega da dove viene 0,866: due volte 0,5 per 0,866, il prodotto del seno e del coseno di trenta. L'angolo raddoppia, il rapporto no.

2. Un angolo di ventidue gradi e mezzo, che raddoppia in quarantacinque

   1. Il doppio di ventidue e mezzo è quarantacinque gradi
   2. A quarantacinque gradi il punto sta sulla retta y = x, quindi seno e coseno sono uguali
   3. Due letture uguali significano tangente esattamente uno, senza arrotondamenti

   Ventidue e mezzo è la metà di quarantacinque, e questo rende la riga la formula di bisezione letta nel verso in cui di solito serve. Quarantacinque è uno dei pochi angoli con i tre rapporti esatti, e sta fuori dalle tavole abituali, quindi ci si arriva da un valore doppio invece che da una voce mandata a memoria. I due rapporti escono entrambi 0,7071 perché a quell'angolo le due coordinate sono uguali, e la tangente è uno per davvero, non 0,9999.

3. Un angolo di novanta gradi, che raddoppia in centottanta

   1. Il doppio di novanta è centottanta gradi, cioè mezzo giro
   2. Il punto sta sul semiasse negativo delle ascisse, quindi il coseno è meno uno e il seno è zero
   3. La tangente è zero diviso meno uno, cioè zero

   L'unica riga in cui l'angolo doppio tocca un estremo: il coseno raggiunge il suo valore più piccolo possibile, meno uno. A novanta gradi non fallisce niente su questa pagina, anche se novanta è l'angolo che la pagina della trigonometria rifiuta: la tangente non viene letta lì, viene letta a centottanta, dove si comporta benissimo e vale zero. Spostare la lettura su un altro angolo basta a portarla via da un polo.

4. Un angolo oltre il giro intero, settecentocinquanta gradi

   1. Settecentocinquanta gradi sono trenta gradi più due giri interi
   2. Raddoppiandolo si ottengono millecinquecento gradi, cioè sessanta gradi più quattro giri interi
   3. Quattro giri interi non cambiano niente, quindi la lettura è la stessa di sessanta

   Le quattro colonne sono identiche a quelle della riga dei trenta gradi, e devono esserlo: settecentocinquanta e trenta sono lo stesso angolo, quindi hanno lo stesso doppio e gli stessi tre rapporti lì. Niente qui tratta un angolo grande come un caso speciale: l'angolo doppio viene riportato nell'intervallo prima di essere letto, e i giri interi si buttano via. Lo stesso vale per un angolo appena sotto il milione di gradi, per la stessa ragione.

Tre cose che questa pagina non fa. Primo, la tangente dell'angolo doppio viene rifiutata a quarantacinque gradi, a centotrentacinque, e a ogni angolo che raddoppia in un angolo retto o in tre quarti di giro, comprese le versioni negative e quelle oltre il giro intero. Il rifiuto si porta via tutto l'angolo, anche se il seno e il coseno del doppio lì sono numeri del tutto ordinari. Secondo, le letture sono date a quattro decimali e quasi tutte sono irrazionali: il seno esatto di un doppio di trenta gradi è radice di tre mezzi, e 0,866 è dove quella quantità finisce dopo l'arrotondamento. Il coseno qui si comporta peggio del seno, perché la formula sottrae due quadrati e i due sono quasi uguali vicino a quarantacinque gradi, quindi la risposta piccola che esce è la differenza di due numeri più grandi. Terzo, la pagina non inverte. Dato un seno di 0,866 per un angolo doppio, quell'angolo doppio potrebbe essere sessanta o centoventi, e l'angolo di partenza potrebbe essere uno qualunque degli infiniti angoli che raddoppiano nell'uno o nell'altro: risalire da un rapporto a un angolo richiede una decisione che questa pagina non prende.

Il seno di un angolo doppio è il doppio del seno dell'angolo?

No, ed è l'errore attorno a cui è costruita la pagina. Il seno di trenta gradi è 0,5, ma il seno di sessanta gradi è 0,866, non uno. Raddoppiare un angolo non è un ridimensionamento dei suoi rapporti. Quello che il seno dell'angolo doppio è davvero, è il doppio del prodotto fra il seno e il coseno dell'angolo di partenza: una moltiplicazione fra due letture diverse, non il raddoppio di una sola.

Perché la pagina rifiuta quarantacinque gradi?

Perché quarantacinque raddoppia in novanta, e la tangente di novanta gradi non ha valore. Il seno e il coseno a novanta vanno benissimo, valgono uno e zero, ma la pagina riporta anche la tangente, e una risposta parziale presentata come completa è peggio di nessuna risposta. Lo stesso rifiuto vale per centotrentacinque gradi, che raddoppia in duecentosettanta, e per ogni angolo a mezzo giro di distanza da questi due.

Quali sono le tre formule di duplicazione?

Il seno dell'angolo doppio è il doppio del prodotto fra il seno e il coseno dell'angolo di partenza. Il coseno dell'angolo doppio è il quadrato del coseno meno il quadrato del seno, e si può scrivere anche come uno meno due volte il seno al quadrato oppure come due volte il coseno al quadrato meno uno: sono lo stesso numero, e la forma da usare è quella il cui rapporto di partenza hai già. La tangente dell'angolo doppio è due volte la tangente di partenza divisa per uno meno il quadrato di quella tangente.

Perché vale la pena conoscere ventidue gradi e mezzo?

Perché il suo doppio è quarantacinque, e quarantacinque è uno dei pochi angoli con i rapporti esatti: metà di radice di due per il seno e per il coseno, e esattamente uno per la tangente. Ventidue e mezzo non compare in nessuna tavola standard, ma è la metà di un angolo che c'è, quindi ci si arriva leggendo al contrario una formula di duplicazione. Quella lettura al contrario è quello che sono le formule di bisezione.

L'angolo può essere negativo o più grande di un giro intero?

Sì, ed entrambi i casi si trattano allo stesso modo: l'angolo viene raddoppiato e il risultato riportato nell'intervallo, quindi settecentocinquanta gradi si legge esattamente come trenta e meno trenta esattamente come trecentotrenta. I giri interi si buttano via perché non cambiano niente di dove punta l'angolo doppio. L'unica cosa a cui fare attenzione è che la lettura è sempre riportata fra zero e un giro intero.

Posso inserire l'angolo in radianti?

Sì: accanto al campo c'è un selettore di unità, e l'angolo doppio viene riportato in gradi in ogni caso, perché è l'unità che l'uscita dichiara. Un terzo di pi greco radianti e sessanta gradi sono lo stesso angolo e danno gli stessi quattro numeri. Come sempre, controlla quale unità dà per scontata la fonte con cui ti stai confrontando, perché quasi tutte le tavole pubblicate intendono i gradi.

• Double-Angle Formulas — the three identities this page applies, and how they follow from the addition formulas — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Addition Formulas — the identities the double angle ones are a special case of, with everything derived rather than asserted — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, and where each of them has no value — Wolfram MathWorld (United States)
• Addizione — le formule di addizione fra seno, coseno e tangente, di cui le formule di duplicazione sono il caso in cui i due angoli coincidono — Treccani, Enciclopedia della Matematica (Italia)