Calcolatrice dell'angolo metà

sen(θ/2) = √((1 − cos θ) / 2) cos(θ/2) = √((1 + cos θ) / 2) tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sen θ = sen θ / (1 + cos θ)

θ

L'angolo da cui parti, in gradi o radianti. Può essere negativo e può superare un giro intero, e viene riportato nell'intervallo prima che qualsiasi cosa venga dimezzata

θ/2

L'angolo metà, sempre riportato fra zero e mezzo giro. Ogni altro numero della pagina si legge qui e non all'angolo che hai digitato

cos θ

Il coseno dell'angolo intero. È l'unico dato che le formule del seno e del coseno richiedono: entrambe le radici sono costruite su di lui, ed è per questo che una lettura a un angolo scomodo può comunque riuscire esatta

sen θ

Il seno dell'angolo intero, usato dalle due forme frazionarie della tangente. Sta al denominatore, quindi non deve essere zero, e gli angoli in cui è zero sono esattamente quelli in cui la metà finisce su un angolo retto

Rivolgiti a questa pagina quando l'angolo sta per essere dimezzato e vuoi i tre rapporti alla metà senza applicare le formule a mano: un oscillatore a metà della frequenza di pilotaggio, l'angolo fra due superfici a specchio, una corda vista da metà dell'angolo al centro, un passo che è la metà di un giro intero o di un quarto di giro. In radianti la pagina si comporta allo stesso modo: cambia solo l'unità che scegli accanto al campo, e la metà viene comunque riportata in gradi, che è l'unità dichiarata dall'uscita. Le formule di bisezione qui sotto sono le stesse tre identità che la calcolatrice applica, quindi la pagina vale anche come controllo di un calcolo fatto a mano. Due pagine vicine coprono il resto. Se quello che hai è l'angolo e non la sua metà, le formule di duplicazione vanno nel verso opposto, e le due pagine concordano ovunque entrambe siano definite. E se vuoi i tre rapporti all'angolo nel campo invece che alla sua metà, la pagina della trigonometria li legge lì e non dimezza niente.

1. Un angolo di trenta gradi, che si dimezza in quindici

   1. La metà di trenta gradi è quindici gradi, quindi tutto si legge lì
   2. La formula del seno: il coseno di trenta è 0,866, quindi uno meno quello fa 0,134, la metà di 0,134 è 0,067, e la sua radice quadrata è 0,2588
   3. Il coseno è la stessa radice con un più dentro: uno più 0,866 fa 1,866, la metà è 0,933, e la sua radice quadrata è 0,9659
   4. La tangente è il loro rapporto, 0,2588 diviso 0,9659, che fa 0,2679, e la forma frazionaria concorda: 0,134 diviso 0,5 fa 0,268

   L'angolo con cui la pagina si apre, e quello che mostra l'errore a cui la pagina è mirata. Il seno di trenta gradi è 0,5, quindi la sua metà sarebbe 0,25; ma il seno di quindici gradi è 0,2588, poco più di metà. Le due letture sono abbastanza vicine perché la risposta sbagliata sembri plausibile, ed è esattamente per questo che la pagina stampa quella giusta. Nota anche che l'angolo intero ha qui un coseno esatto, metà di radice di tre, e la metà è risultata irrazionale lo stesso: dimezzare un angolo ti porta fuori dalla tavola invece che dentro.

2. Un angolo di novanta gradi, che si dimezza in quarantacinque

   1. La metà di novanta gradi è quarantacinque
   2. Il coseno di novanta è zero, quindi entrambe le formule si riducono alla radice di un mezzo, che è 0,7071
   3. Le due radici qui sono lo stesso numero perché quello che sta dentro è lo stesso: uno meno zero e uno più zero
   4. Due letture uguali significano tangente esattamente uno, senza arrotondamenti

   L'unica riga in cui un angolo famoso esce da un angolo che non è famoso per questo. Quarantacinque gradi è uno dei pochi angoli i cui tre rapporti si scrivono esatti: seno e coseno valgono entrambi metà di radice di due, e la tangente vale uno. Ci si arriva con una bisezione invece che con una tavola mandata a memoria, e questa riga è quella strada. È anche la riga in cui seno e coseno sono uguali, cosa che nella tabella succede solo qui.

3. Un angolo di quattrocento gradi, che è come quaranta

   1. Quattrocento gradi sono quaranta gradi più un giro intero
   2. Un giro intero non cambia niente di dove punta l'angolo, quindi la lettura si prende a quaranta
   3. La metà di quaranta è venti, quindi i tre rapporti sono quelli di venti gradi: 0,342, 0,9397 e 0,364

   Digita quaranta gradi nello stesso campo e tutti e quattro i numeri sono identici: è tutto qui il senso di questa riga. Dimezzare prima di normalizzare darebbe duecento gradi qui e venti là, due risposte diverse alla stessa domanda, ed è per questo che l'ordine è fissato nel verso opposto. Lo stesso vale per settecentocinquanta gradi, che si dimezza nella lettura di un angolo di quindici gradi.

4. Un angolo di meno trenta gradi, che si dimezza in centosessantacinque

   1. Meno trenta gradi sono trecentotrenta gradi, un terzo di giro in meno di un giro intero
   2. La metà di trecentotrenta è centosessantacinque
   3. Centosessantacinque sta nel secondo quadrante, quindi il suo seno è positivo e il suo coseno è negativo
   4. La tangente è quindi negativa, meno 0,2679

   La riga che coglie tutti in castagna. Un angolo negativo non si dimezza in una metà negativa, perché l'angolo viene prima riportato nell'intervallo; la metà di un angolo negativo è un angolo nella metà superiore della circonferenza. Il seno qui è lo stesso 0,2588 della riga dei trenta gradi, e non è una coincidenza: quindici e centosessantacinque sono immagini speculari rispetto all'asse verticale, quindi condividono il seno e hanno coseni opposti. La tangente cambia segno insieme al coseno.

Tre cose che questa pagina non fa. Primo, la tangente viene rifiutata a centottanta gradi, a cinquecentoquaranta, a meno centottanta, e a ogni angolo che quelli rappresentano più o meno un giro intero, perché la metà di ciascuno è un angolo retto e lì la tangente non ha valore. Il rifiuto si porta via tutta la lettura anche se il seno e il coseno della metà sono numeri ordinari, uno e zero. Secondo, i tre rapporti sono riportati a quattro decimali e quasi tutti sono irrazionali; l'angolo metà stampato è un'altra faccenda, perché dimezzare un numero intero di gradi dà al massimo mezzo grado e due decimali bastano a contenerlo esattamente. Terzo, la pagina non si può percorrere al contrario. La metà di un angolo è condivisa da tutto ciò che sta a un giro intero di distanza e da nient'altro, quindi una lettura di venti gradi ti dice che l'originale era quaranta, o quattrocento, o uno qualunque degli infiniti angoli in mezzo; e la metà di centonovantacinque gradi verrebbe da un originale fuori dall'intervallo che il campo accetta, quindi quella direzione qui non ha risposta.

Il seno di un angolo metà è la metà del seno dell'angolo?

No, ed è l'errore attorno a cui è costruita questa pagina. Il seno di trenta gradi è 0,5, quindi la sua metà sarebbe 0,25; ma il seno di quindici gradi è 0,2588. I due numeri sono abbastanza vicini perché la risposta sbagliata sembri ragionevole, ed è per questo che la pagina stampa quella giusta con i passaggi. Quello che il seno di un angolo metà è davvero, è la radice quadrata di uno meno il coseno dell'angolo intero, diviso due: la radice di un coseno, non una frazione di un seno.

Quali sono le tre formule di bisezione?

Il seno della metà di un angolo è la radice quadrata di uno meno il coseno dell'angolo intero, diviso due. Il coseno della metà è la stessa radice con un più dentro invece di un meno. La tangente della metà si può scrivere in tre modi, cioè uno meno il coseno fratto il seno, il seno fratto uno più il coseno, oppure la radice di uno meno il coseno fratto uno più il coseno, e tutti e tre danno lo stesso numero. Le forme frazionarie sono di solito quelle da preferire, perché evitano del tutto di estrarre una radice.

Perché un angolo negativo non si dimezza in un angolo negativo?

Perché l'angolo viene riportato nell'intervallo prima di essere dimezzato, non dopo. Meno trenta gradi sono trecentotrenta gradi, e la metà di trecentotrenta è centosessantacinque. Dimezzare per primo darebbe meno quindici, che è un angolo reale, ma non sta nell'intervallo che l'uscita dichiara e sarebbe in disaccordo con il resto della pagina su quale dei due angoli speculari si intende. La lettura è sempre quella nella metà superiore della circonferenza.

Perché la pagina rifiuta centottanta gradi?

Perché la metà di centottanta è novanta, e la tangente di novanta gradi non ha valore. Il seno e il coseno a novanta vanno benissimo, valgono uno e zero, ma la pagina riporta la tangente insieme a loro, e una risposta parziale presentata come completa è peggio di nessuna risposta. Lo stesso rifiuto copre cinquecentoquaranta gradi e meno centottanta, che sono lo stesso angolo di centottanta, e ogni angolo a un giro intero di distanza da quelli.

In che cosa è diversa dalle formule di duplicazione?

Sono le stesse tre relazioni lette in versi opposti. Le formule di duplicazione partono da un angolo e danno seno, coseno e tangente al suo doppio; le formule di bisezione partono da un angolo e danno i tre rapporti alla sua metà. La differenza che conta è dove finisce l'arrotondamento. Raddoppiare ti tiene sui gradi interi, quindi la lettura al doppio di trenta è esattamente sessanta; dimezzare ti porta spesso fuori dalla tavola, quindi la metà di trenta è quindici e i suoi rapporti sono irrazionali.

Posso inserire l'angolo in radianti?

Sì: accanto al campo c'è un selettore di unità, e l'angolo metà viene riportato in gradi in ogni caso, perché è l'unità che l'uscita dichiara. Un sesto di pi greco radianti e trenta gradi sono lo stesso angolo e danno gli stessi quattro numeri. La cosa a cui fare attenzione è che l'unità vale per l'angolo che digiti e non per la metà, che è sempre mostrata in gradi.

• Half-Angle Formulas — the three identities this page applies, with the sign questions the page resolves by keeping the half in the upper half of the circle — Wolfram MathWorld (United States)
• Double-Angle Formulas — the same relations read the other way, and the page these identities are usually met from first — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, and where each of them has no value — Wolfram MathWorld (United States)
• Angolo — l'ampiezza e la sua misura, e come da un angolo si ricavano quelli che ne sono la metà o il doppio — Treccani, Enciclopedia della Matematica (Italia)