Calcolatrice rendimento obbligazione

Prezzo di mercato = Σ [ cedola × (1 + i)^−k ] + valore nominale × (1 + i)^−n, risolta per i (k = 1 … n; cedola = valore nominale × tasso cedolare ÷ periodi per anno; n = anni alla scadenza × periodi per anno)

Prezzo di mercato

Quanto costa oggi l'obbligazione, e l'unica grandezza che questa pagina riceve invece di risolvere

Cedola

Valore nominale × tasso cedolare ÷ periodi per anno — 20 sull'obbligazione predefinita, pagata due volte l'anno

Valore nominale

La somma rimborsata alla scadenza, e la base su cui si calcola la cedola

Anni alla scadenza

Quanto tempo resta, inserito in anni e moltiplicato per i periodi annui per dare il numero di pagamenti ancora in arrivo

Rendimento a scadenza (i)

L'incognita che questa pagina risolve: il tasso annuo che attualizza ogni pagamento residuo fino al prezzo di mercato

Usala ogni volta che ti viene quotato il prezzo di un'obbligazione e la sua cedola non basta a confrontarla con qualcosa. Il tasso cedolare è fisso per tutta la vita dell'obbligazione e non dice nulla su quanto la stai pagando: un'obbligazione vecchia al 4% e una nuova al 4% hanno lo stesso tasso cedolare e rendimenti completamente diversi se una costa 922,05 e l'altra 1000. Leggi il rendimento a scadenza come il rendimento che guadagneresti davvero portando l'obbligazione fino alla scadenza e reinvestendo ogni cedola a quel medesimo tasso, e leggi il rendimento corrente che gli sta accanto come la cifra onesta di cassa per il solo anno in corso: se i due sono lontani, il prezzo dell'obbligazione è lontano dalla pari e la maggior parte del rendimento ti arriva dal prezzo che si avvicina alla pari invece che dalle cedole. Il caso che rende utile questa pagina è un prezzo vicino o superiore alla somma di tutto ciò che l'obbligazione pagherà mai: lì il rendimento corrente sembra ancora una cedola e il rendimento a scadenza è a zero o sotto.

1. Valore nominale 1000, cedola 4%, 10 anni, semestrale, prezzata a 922,05

   1. La cedola è 1000 × 4% ÷ 2 = 20, pagata 20 volte nell'arco dei dieci anni
   2. A un rendimento del 5% il tasso per periodo è 5% ÷ 2 = 2,5%
   3. Valore attuale delle 20 cedole: 20 × (1 − 1,025⁻²⁰) ÷ 0,025 = 311,78
   4. Valore attuale del valore nominale: 1000 × 1,025⁻²⁰ = 610,27
   5. I due sommano a 311,78 + 610,27 = 922,05, che è il prezzo che hai inserito, quindi il rendimento è 5%
   6. Rendimento corrente: i 40 pagati ogni anno ÷ 922,05 = 4,34% — il disaggio di 77,95 che questa obbligazione rimborsa oltre alle cedole è esattamente quello che quel numero lascia fuori

   È il caso predefinito della pagina del prezzo letto al contrario, e leggerlo in questo verso è il controllo più economico che entrambe le pagine facciano la stessa aritmetica: di là l'obbligazione è stata prezzata al 5% e ha dato 922,05, qui le viene consegnato 922,05 e restituisce 5. Nota anche che i due rendimenti differiscono di 0,66 punti su un'obbligazione il cui prezzo sta solo il 7,8% sotto la pari: la distanza cresce in fretta man mano che il prezzo scende, come mostra l'esempio successivo.

2. La stessa obbligazione a 728,19 — un rendimento dell'8%

   1. La cedola è ancora 20 ogni sei mesi, quindi l'unica cosa che si è mossa è il prezzo
   2. A un rendimento dell'8% il tasso per periodo è il 4%
   3. Valore attuale delle 20 cedole: 20 × (1 − 1,04⁻²⁰) ÷ 0,04 = 271,8066
   4. Valore attuale del valore nominale: 1000 × 1,04⁻²⁰ = 456,3869
   5. Insieme 271,8066 + 456,3869 = 728,1935, che arrotonda ai 728,19 che hai inserito
   6. Rendimento corrente: 40 ÷ 728,19 = 5,49%, contro un rendimento a scadenza dell'8%

   Lo scarto di 2,51 punti fra 5,49 e 8 sono i 271,81 che questa obbligazione rimborsa in più di quanto costa, ed è tutta la ragione per cui un'obbligazione con disaggio profondo non si può giudicare dalla cedola né dal rendimento corrente. Leggere qui solo il rendimento corrente sottostima il rendimento di circa un terzo.

3. Un'obbligazione senza cedola: valore nominale 1000, cedola zero, prezzata a 610,27

   1. Porta il tasso cedolare a zero: l'obbligazione non paga assolutamente nulla fino alla scadenza
   2. 1000 × 1,025⁻²⁰ = 610,27, quindi a un rendimento del 5% l'intero prezzo è il valore nominale attualizzato
   3. Non c'è nessuna cedola da dividere, quindi il rendimento corrente è zero — un'obbligazione senza cedola non ha un rendimento corrente in alcun senso utile
   4. Il disaggio di 389,73 è tutto il rendimento, e arriva in un colpo solo alla scadenza

   La prova più pulita che il rendimento non è la cedola e non è nemmeno il rendimento corrente: questa obbligazione paga lo 0% e rende il 5%, e nessuna colonna all'infuori del rendimento a scadenza lo dice. È anche il motivo per cui la pagina riesce a riportare un rendimento per un'obbligazione il cui rendimento corrente non significa nulla, che è buona parte di quello che fa un desk obbligazionario tutto il giorno.

Questa è la versione pulita del rendimento di un'obbligazione, e il regolamento reale è più disordinato in quattro modi precisi. Prezza un'obbligazione la cui cedola successiva cade a un periodo intero di distanza, quindi non gestisce il rateo: fra due date di cedola al venditore spetta la parte della cedola in corso già maturata, e una fattura reale la aggiunge sopra il prezzo quotato. Per questo è un prezzo secco e non un prezzo tel quel. Presuppone che ogni cedola residua sia un periodo intero, quindi un'obbligazione con prima o ultima cedola irregolare resta fuori portata. Tratta il tasso cedolare come un tasso annuo diviso in parti uguali fra i periodi di pagamento dell'anno invece di maturare su un conteggio effettivo dei giorni, e non distingue fra la convenzione 30/360 e quella giorni effettivi/giorni effettivi che governano il regolamento reale. Il rendimento a scadenza che riporta presuppone che ogni cedola venga reinvestita a quel medesimo tasso fino alla scadenza, che è la definizione standard e anche l'avvertenza standard: reinvesti a un tasso più basso e il rendimento realizzato è più basso. La precisione della risposta è limitata dal prezzo che hai digitato — un prezzo con due decimali fissa il rendimento a circa un millesimo di punto, e basta cambiare il prezzo di un centesimo per muoverlo. Dall'altro lato, un prezzo sopra la somma di tutto ciò che l'obbligazione pagherà mai non ha alcun rendimento positivo, e la pagina lo dice invece di stampare un numero negativo. Niente qui modella il rischio di insolvenza, la liquidità, le imposte, una clausola di rimborso anticipato o un fondo di ammortamento, e nessuna cifra porta una valuta.

Che cos'è il rendimento a scadenza?

È l'unico tasso annuo al quale ogni pagamento che l'obbligazione ti deve ancora — ogni cedola residua e il valore nominale alla scadenza — si attualizza fino al prezzo che l'obbligazione costa oggi. È il rendimento che guadagneresti comprando a quel prezzo e portando fino alla scadenza, ed è l'unico rendimento che ti permette di confrontare obbligazioni con cedole e prezzi diversi. Sul caso predefinito, un'obbligazione con valore nominale 1000 che paga il 4% due volte l'anno con dieci anni residui e un prezzo di mercato di 922,05 ha un rendimento a scadenza del 5%.

Come si calcola il rendimento a scadenza di un'obbligazione?

Scrivi l'equazione del prezzo — il prezzo di mercato è uguale alle cedole attualizzate più il valore nominale attualizzato — e poi cerca il tasso che la rende vera. Non c'è modo di ricavare quel tasso riarrangiando l'equazione quando resta più di un periodo, quindi la risposta si trova provando tassi e restringendo l'intervallo. Per l'obbligazione predefinita, il 5% dà 311,78 di cedole più 610,27 di valore nominale, cioè 922,05, esattamente il prezzo.

Perché il rendimento a scadenza è diverso dal rendimento corrente?

Perché misurano cose diverse. Il rendimento corrente è la cedola annua divisa per il prezzo e si ferma lì: 40 ÷ 922,05 = 4,34%. Il rendimento a scadenza conta anche i 77,95 che questa obbligazione rimborsa sopra il suo prezzo, spalmati sui dieci anni fino alla scadenza, ed è per questo che segna 5%. Lo scarto è piccolo per un'obbligazione vicina alla pari e grande per una molto sotto: a un prezzo di 728,19 il rendimento corrente è 5,49% contro un rendimento a scadenza dell'8%.

Che cos'è un'obbligazione sotto la pari?

Un'obbligazione sotto la pari è una che costa meno del valore nominale che rimborsa, cosa che succede quando il rendimento preteso dal mercato sta sopra il tasso cedolare che l'obbligazione paga. L'obbligazione predefinita è sotto la pari: costa 922,05 e rimborsa 1000, quindi porta un disaggio di 77,95, e una parte del tuo rendimento arriva come quella differenza di prezzo invece che come reddito da cedola. Più il disaggio è profondo, più il rendimento totale viene da lì: a 728,19 l'obbligazione rimborsa 271,81 in più di quanto costa.

Che cosa significa quando il rendimento di un'obbligazione è più alto del suo tasso cedolare?

Che la stai comprando sotto la pari, quindi il tasso cedolare sottostima quello che guadagnerai. Un'obbligazione al 4% prezzata per rendere l'8% paga esattamente gli stessi 40 all'anno di un'obbligazione al 4% prezzata per rendere il 4%; la differenza è che la prima costa 728,19 e rimborsa 1000. Ogni volta che il rendimento a scadenza sta sopra il tasso cedolare il prezzo deve stare sotto il valore nominale, e ogni volta che sta sotto il tasso cedolare deve stare sopra.

Il rendimento a scadenza può essere negativo?

Non su questa pagina, e non per un'obbligazione che compreresti. Un rendimento negativo significa pagare oggi più di quanto l'obbligazione restituirà mai — più del valore nominale più ogni cedola ancora in arrivo — ed è una cosa che esiste davvero in alcuni mercati del debito pubblico, ma non è qualcosa che questa pagina riporti. Se inserisci un prezzo di mercato sopra la somma di tutto ciò che l'obbligazione pagherà, si ferma e lo dice invece di stampare un tasso negativo, perché quel numero sarebbe aritmeticamente definito e finanziariamente fuorviante.

Quale rendimento devo usare per confrontare due obbligazioni?

Il rendimento a scadenza, perché è l'unico che tiene conto di quanto paghi. Due obbligazioni con lo stesso tasso cedolare del 4% e la stessa scadenza non sono lo stesso investimento se una costa 922,05 e l'altra 1000, e il tasso cedolare non può dirtelo. Il rendimento corrente serve come controllo su quanta parte del rendimento è denaro incassato quest'anno invece che guadagno di prezzo — e quando le due cifre sono lontane, quello scarto è la risposta a una domanda che dovresti porti prima di comprare.

• 31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables: the present value factors and the price formula this page solves in reverse — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Understanding Pricing and Interest Rates — why the price of a note or bond moves in the opposite direction to its yield — U.S. Department of the Treasury, Bureau of the Fiscal Service (TreasuryDirect), United States
• Current Yield — Investor.gov glossary (the ratio of the interest paid on a bond to its market price, which is the figure printed beside the yield to maturity) — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)