Come si calcola il prezzo di un'obbligazione?

Attualizzi a oggi ogni pagamento che l'obbligazione farà, al rendimento a scadenza, e li sommi. Per un'obbligazione con valore nominale 1000 che paga il 4% due volte l'anno con dieci anni residui, prezzata a un rendimento del 5%: i venti pagamenti di cedola da 20 valgono oggi 311,78, il valore nominale di 1000 vale 610,27, e il prezzo è 922,05.

Perché il prezzo sta sotto il valore nominale?

Perché il rendimento al quale stai prezzando è sopra il tasso cedolare che l'obbligazione paga. L'obbligazione paga solo il 4% sul suo valore nominale, quindi nessuno ti darà 1000 per averla quando altrove si trova il 5%; il prezzo scende finché la cedola più il guadagno che realizzi alla scadenza non sommano a un rendimento del 5%. La differenza fra il prezzo e il valore nominale è il disaggio, e lo stesso meccanismo al contrario produce un premio quando il tasso cedolare è sopra il rendimento.

Qual è la differenza fra rendimento corrente e rendimento a scadenza?

Il rendimento corrente è la cedola annua divisa per il prezzo che paghi, quindi sul caso predefinito è 40 diviso 922,05, cioè 4,34%. Il rendimento a scadenza è il tasso che guadagneresti portando l'obbligazione fino alla fine, e tiene conto dei 77,95 che guadagni quando un'obbligazione pagata 922,05 ne rimborsa 1000. Su un'obbligazione prezzata alla pari i due coincidono; quando l'obbligazione è sotto la pari il rendimento corrente è il più basso dei due, e quando è sopra la pari è il più alto.

La cedola mostrata è per anno o per periodo?

Per periodo. Un'obbligazione con valore nominale 1000 e cedola del 4% paga in tutto 40 all'anno, e quei 40 vengono divisi fra quanti pagamenti contiene l'anno: 20 se due volte l'anno, 10 se quattro volte l'anno, 40 se una volta l'anno. Il campo di questa pagina è l'importo di un singolo pagamento, ed è per questo che la stessa obbligazione al 4% mostra 20 nel caso semestrale e 40 in quello annuale.

Perché la frequenza dei pagamenti cambia il prezzo?

Perché il denaro pagato prima si può reinvestire prima, quindi un'obbligazione che ti paga prima vale un po' di più a parità di rendimento. Sull'obbligazione predefinita, pagare due volte l'anno dà 922,05 e pagare una volta l'anno dà 922,78, una differenza di 73 centesimi; i pagamenti trimestrali e mensili riabbassano il prezzo, a 921,68 e 921,43. A questi tassi l'effetto è piccolo ma cresce con la cedola e con la scadenza.

Che cosa succede se il rendimento a scadenza è zero?

Ogni fattore di attualizzazione diventa 1 e il prezzo è semplicemente la somma di tutto quello che l'obbligazione pagherà mai: il valore nominale più ogni cedola. Su un'obbligazione con valore nominale 1000 che paga il 4% due volte l'anno con dieci anni residui sono 1000 più venti pagamenti da 20, cioè esattamente 1400. Vale la pena conoscere questo caso perché la formula scritta in forma chiusa deve trattarlo a parte, mentre l'aritmetica di questa pagina non ne ha bisogno.

Calcolatrice prezzo obbligazione

Risultato

922,05

Prezzo dell'obbligazione

Cedola per periodo: 20,00
Rendimento corrente: 4,34%
Premio o sconto: -77,95

Un'obbligazione è una promessa di pagamento: una somma fissa ogni periodo fino alla scadenza e poi il valore nominale indietro. Calcolarne il prezzo non è quindi un calcolo speciale — è il valore attuale di quei pagamenti, ed è per questo che questa pagina e quella del valore attuale sono la stessa aritmetica, con i flussi di cassa generati dalle clausole dell'obbligazione invece che digitati da te. Inserisci il valore nominale, il tasso cedolare annuo, il rendimento a scadenza al quale vuoi prezzare, gli anni interi residui e la frequenza con cui la cedola viene pagata, e la pagina restituisce il prezzo dell'obbligazione più tre letture che lo rendono interpretabile. Il rapporto fra prezzo e rendimento è la cosa da tenere a mente: quando il rendimento è sopra il tasso cedolare il prezzo esce sotto il valore nominale, quando i due sono uguali esce esattamente al valore nominale, e quando il rendimento è sotto il tasso cedolare esce sopra. Un'obbligazione da 1000 che paga il 4% con dieci anni residui e un rendimento del 5% si prezza a 922,05, cioè uno sconto di 77,95; la stessa obbligazione prezzata al 4% di rendimento vale esattamente 1000. La terza lettura è il rendimento corrente, la cedola annua divisa per il prezzo che stai pagando, che nel caso scontato è 4,34% — più alto del 4% della cedola, perché hai comprato quel flusso di reddito a buon mercato. Nota che la cedola per periodo mostrata è appunto per periodo e non per anno: un'obbligazione semestrale al 4% su un valore nominale di 1000 paga 20, e la stessa obbligazione con cedola annuale mostrerebbe 40.

Valore nominale 1000, cedola 4%, 10 anni, semestrale, a sette rendimenti

Rendimento a scadenza (%)	Prezzo dell'obbligazione	Rendimento corrente (%)	Premio o disaggio
0	1400	2.86	400
2	1180.46	3.39	180.46
3	1085.84	3.68	85.84
4	1000	4	0
5	922.05	4.34	-77.95
6	851.23	4.7	-148.77
8	728.19	5.49	-271.81

L'obbligazione è identica in ogni riga e si muove solo il rendimento, il che rende questa tabella un quadro pulito dell'unico rapporto che vale la pena ricordare: prezzo e rendimento si muovono in direzioni opposte. La quarta riga è il cardine. Lì il rendimento è il 4%, esattamente il tasso cedolare, e il prezzo è 1000.00 con un premio o disaggio pari a zero: sopra quella riga l'obbligazione costa più di quanto rimborsa, sotto costa meno, e il disaggio si approfondisce fino a 271.81 con un rendimento dell'8%. La prima riga è l'altra su cui vale la pena soffermarsi: a rendimento zero non si attualizza nulla, quindi il prezzo è il valore nominale più tutte e venti le cedole, esattamente 1400.00, che è il massimo che l'obbligazione potrebbe mai valere. Guarda anche la colonna del rendimento corrente: sale man mano che il prezzo scende, perché divide sempre gli stessi 40 all'anno per un numero via via più piccolo. I numeri di questa tabella sono i valori grezzi calcolati dallo strumento e restano stampati con il punto decimale e senza separatore delle migliaia in ogni lingua, mentre nel testo qui sopra i decimali prendono la virgola: è una differenza voluta, non un errore.

Formula

Prezzo dell'obbligazione = Σ [ cedola × (1 + i)^−k ] + valore nominale × (1 + i)^−n (k = 1 … n; i = rendimento ÷ periodi per anno; n = anni × periodi per anno)

Valore nominale: La somma rimborsata alla scadenza e la base su cui si calcola la cedola, che deve essere maggiore di zero
Tasso cedolare: Il tasso annuo che l'obbligazione paga sul suo valore nominale; viene diviso in parti uguali fra i periodi di pagamento dell'anno invece di maturare per giorni effettivi
Rendimento a scadenza: Il tasso annuo al quale attualizzi ogni pagamento — il rendimento che l'obbligazione offre al prezzo che ti viene chiesto di pagare
Anni alla scadenza: Gli anni interi residui; il numero di pagamenti è questo moltiplicato per il numero di cedole pagate ogni anno
Frequenza delle cedole: Quante volte all'anno viene pagata la cedola: annuale, semestrale, trimestrale o mensile
Cedola per periodo: Valore nominale per tasso cedolare diviso il numero di pagamenti annui — l'importo di un singolo pagamento, non dell'anno
Rendimento corrente: La cedola annua divisa per il prezzo, che non è il rendimento a scadenza perché ignora il guadagno o la perdita al rimborso
Premio o disaggio: Il prezzo meno il valore nominale: positivo quando l'obbligazione costa più di quanto rimborsa, negativo quando costa meno

Usala per verificare un prezzo che ti è stato quotato, per vedere che effetto avrebbe una variazione del rendimento su un'obbligazione che possiedi già, o per capire perché la stessa obbligazione compare a due prezzi diversi in due posti diversi. È anche l'aritmetica che sta dietro a un fatto che sorprende: il prezzo di un'obbligazione che possiedi si muove nella direzione opposta al suo rendimento, quindi chi porta a scadenza non è toccato da un rialzo dei tassi mentre chi deve vendere sì. Prezzala a più rendimenti e lo schema diventa concreto: la tabella di riferimento qui sotto fa percorrere alla stessa obbligazione un rendimento nullo, dove vale il valore nominale più tutte le cedole che pagherà mai, poi il punto in cui il rendimento è uguale al tasso cedolare e il prezzo è esattamente alla pari, e infine un rendimento dell'8% dove il prezzo è in pieno territorio di disaggio.

Esempi svolti

Valore nominale 1000, cedola 4%, 10 anni, prezzata a un rendimento del 5%
1. Cedola per periodo: 1000 × 4% ÷ 2 = 20
2. Periodi: 10 anni × 2 = 20, e il rendimento per periodo è 5% ÷ 2 = 2,5%
3. Valore attuale delle 20 cedole: 20 × (1 − 1,025⁻²⁰) ÷ 0,025 = 311,78
4. Valore attuale del valore nominale: 1000 × 1,025⁻²⁰ = 610,27
5. Prezzo: 311,78 + 610,27 = 922,05, cioè un disaggio di 77,95
6. Rendimento corrente: 40 ÷ 922,05 = 4,34%
È il valore predefinito della pagina ed è il caso in cui il rendimento sta sopra il tasso cedolare, quindi l'obbligazione si vende sotto il suo valore nominale. Il disaggio non è una penalità, è il meccanismo che porta il tuo rendimento dal 4% che la cedola paga al 5% che il mercato offre: paghi 922,05 per un flusso che a scadenza vale 1000, e i 77,95 che guadagni alla fine fanno la differenza. Nota che la cedola per periodo è 20, cioè l'importo semestrale, e che il rendimento corrente del 4,34% sta sopra il 4% del tasso cedolare proprio perché il prezzo pagato è sotto la pari.
La stessa obbligazione prezzata alla pari: rendimento uguale al tasso cedolare
1. Cedola per periodo: 1000 × 4% ÷ 2 = 20
2. Rendimento per periodo: 4% ÷ 2 = 2%
3. Valore attuale delle 20 cedole: 20 × (1 − 1,02⁻²⁰) ÷ 0,02 = 327,03
4. Valore attuale del valore nominale: 1000 × 1,02⁻²⁰ = 672,97
5. Prezzo: 327,03 + 672,97 = 1000,00 esatti
Quando il rendimento è uguale al tasso cedolare i due valori attuali sono costretti a sommare al valore nominale, e questa riga è l'asse su cui gira tutta la tabella: sopra costa più di quanto rimborsa e sotto costa meno. È anche la riga che mostra che il rendimento corrente non è la stessa cosa del rendimento a scadenza: qui sono entrambi il 4%, ma a qualsiasi altro prezzo divergono, perché il rendimento corrente ignora il guadagno o la perdita che realizzi al rimborso.
Pagare due volte l'anno invece di una cambia il prezzo di poco
1. Cedola per periodo: 1000 × 4% ÷ 1 = 40, pagata dieci volte
2. Rendimento per periodo: 5% ÷ 1 = 5%
3. Valore attuale delle dieci cedole: 40 × (1 − 1,05⁻¹⁰) ÷ 0,05 = 308,87
4. Valore attuale del valore nominale: 1000 × 1,05⁻¹⁰ = 613,91
5. Prezzo: 308,87 + 613,91 = 922,78, cioè un disaggio di 77,22
Stessa obbligazione, stesso rendimento, stessa scadenza, un solo numero cambiato. Pagare la cedola una volta l'anno invece di due dà 922,78 invece di 922,05, perché il denaro incassato più tardi viene attualizzato più a lungo. Lo scarto qui è piccolo, ma la colonna della cedola per periodo non lo è: qui segna 40 contro 20 del caso semestrale, e in entrambi i casi è l'importo di un singolo pagamento. È la cifra più fraintesa di questa pagina, ed è per questo che l'etichetta lo dice.

Limiti

Questa è la versione pulita del prezzo di un'obbligazione, e il regolamento reale è più disordinato in tre modi precisi. Prezza un'obbligazione la cui cedola successiva cade a un periodo intero di distanza, quindi non gestisce il rateo — al venditore spetta la parte della cedola in corso già maturata, e una fattura reale la aggiunge sopra. Presuppone che ogni cedola residua sia un periodo intero, quindi un'obbligazione con prima o ultima cedola irregolare, cosa comune nelle nuove emissioni, non è modellata. Prezza solo obbligazioni diritte, quindi un'obbligazione che l'emittente può rimborsare in anticipo o che tu puoi restituire ha un prezzo che dipende anche da quelle opzioni oltre che dal rendimento. Oltre a questo, il calcolo usa anni interi e periodi equidistanti invece di date di calendario effettive, quindi non coincide con le convenzioni di conteggio dei giorni con cui si regolano davvero le compravendite al centesimo. Ignora le imposte sulla cedola e sul guadagno in conto capitale, ignora i costi di transazione e non dice nulla sul rischio di credito — il rendimento che digiti viene preso come dato, e un'obbligazione che potrebbe non essere rimborsata andrebbe prezzata a un rendimento più alto.

Domande frequenti

Come si calcola il prezzo di un'obbligazione?: Attualizzi a oggi ogni pagamento che l'obbligazione farà, al rendimento a scadenza, e li sommi. Per un'obbligazione con valore nominale 1000 che paga il 4% due volte l'anno con dieci anni residui, prezzata a un rendimento del 5%: i venti pagamenti di cedola da 20 valgono oggi 311,78, il valore nominale di 1000 vale 610,27, e il prezzo è 922,05.
Perché il prezzo sta sotto il valore nominale?: Perché il rendimento al quale stai prezzando è sopra il tasso cedolare che l'obbligazione paga. L'obbligazione paga solo il 4% sul suo valore nominale, quindi nessuno ti darà 1000 per averla quando altrove si trova il 5%; il prezzo scende finché la cedola più il guadagno che realizzi alla scadenza non sommano a un rendimento del 5%. La differenza fra il prezzo e il valore nominale è il disaggio, e lo stesso meccanismo al contrario produce un premio quando il tasso cedolare è sopra il rendimento.
Qual è la differenza fra rendimento corrente e rendimento a scadenza?: Il rendimento corrente è la cedola annua divisa per il prezzo che paghi, quindi sul caso predefinito è 40 diviso 922,05, cioè 4,34%. Il rendimento a scadenza è il tasso che guadagneresti portando l'obbligazione fino alla fine, e tiene conto dei 77,95 che guadagni quando un'obbligazione pagata 922,05 ne rimborsa 1000. Su un'obbligazione prezzata alla pari i due coincidono; quando l'obbligazione è sotto la pari il rendimento corrente è il più basso dei due, e quando è sopra la pari è il più alto.
La cedola mostrata è per anno o per periodo?: Per periodo. Un'obbligazione con valore nominale 1000 e cedola del 4% paga in tutto 40 all'anno, e quei 40 vengono divisi fra quanti pagamenti contiene l'anno: 20 se due volte l'anno, 10 se quattro volte l'anno, 40 se una volta l'anno. Il campo di questa pagina è l'importo di un singolo pagamento, ed è per questo che la stessa obbligazione al 4% mostra 20 nel caso semestrale e 40 in quello annuale.
Perché la frequenza dei pagamenti cambia il prezzo?: Perché il denaro pagato prima si può reinvestire prima, quindi un'obbligazione che ti paga prima vale un po' di più a parità di rendimento. Sull'obbligazione predefinita, pagare due volte l'anno dà 922,05 e pagare una volta l'anno dà 922,78, una differenza di 73 centesimi; i pagamenti trimestrali e mensili riabbassano il prezzo, a 921,68 e 921,43. A questi tassi l'effetto è piccolo ma cresce con la cedola e con la scadenza.
Che cosa succede se il rendimento a scadenza è zero?: Ogni fattore di attualizzazione diventa 1 e il prezzo è semplicemente la somma di tutto quello che l'obbligazione pagherà mai: il valore nominale più ogni cedola. Su un'obbligazione con valore nominale 1000 che paga il 4% due volte l'anno con dieci anni residui sono 1000 più venti pagamenti da 20, cioè esattamente 1400. Vale la pena conoscere questo caso perché la formula scritta in forma chiusa deve trattarlo a parte, mentre l'aritmetica di questa pagina non ne ha bisogno.

Riferimenti

31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables: the present value factors and the price formula for Treasury notes and bonds — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
Understanding Pricing and Interest Rates — why the price of a note or bond moves in the opposite direction to its yield — U.S. Department of the Treasury, Bureau of the Fiscal Service (TreasuryDirect), United States
Current Yield — Investor.gov glossary (the ratio of the interest paid on a bond to its market price) — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)

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