Calcolatrice del rendimento a scadenza

Prezzo secco per 100 = Σ (Cedola per periodo ÷ (1 + y ÷ m)^t) + 100 ÷ (1 + y ÷ m)^(m × n)

Prezzo secco per 100

Quanto paghi per ogni 100 di valore nominale, con il rateo cedolare lasciato fuori; il rendimento è il tasso che attualizza ogni pagamento residuo esattamente fino a questo numero

Tasso cedolare

La cedola come percentuale del valore nominale all'anno, pagata in m rate uguali; lo zero è ammesso e descrive un'obbligazione che non paga nulla fino alla scadenza

m

Quante cedole arrivano ogni anno (annuale, semestrale, trimestrale o mensile); la stessa obbligazione quotata a due frequenze sono due rendimenti diversi

n

Gli anni che restano prima che il valore nominale venga rimborsato, come numero intero, quindi il numero di pagamenti residui è m × n

y

Il rendimento a scadenza: il tasso nominale annuo, capitalizzato m volte l'anno, che risolve l'equazione — la convenzione con cui quotano i desk obbligazionari

Rendimento annuo effettivo

Lo stesso tasso riscritto come un unico fattore di crescita annuo, (1 + y ÷ m)^m − 1; è sempre più alto di y ogni volta che m è maggiore di uno, e lo scarto è la capitalizzazione

Rendimento corrente

Un anno di cedole diviso il prezzo secco, ignorando il guadagno o la perdita mentre l'obbligazione torna al valore nominale — ed è esattamente per questo che non concorda con il rendimento a scadenza su qualsiasi obbligazione non prezzata alla pari

Usalo per confrontare obbligazioni con cedole diverse e scadenze diverse su un'unica scala, che è poi a questo che serve il rendimento quotato: un'obbligazione con cedola del 2 per cento a 92 e una con cedola dell'8 per cento alla pari si ordinano con questo numero quando con le loro cedole non si ordinano. Usalo per controllare un prezzo che qualcuno ti ha quotato, o per vedere che cosa implica un prezzo circa il tasso che il mercato sta chiedendo. È lo strumento sbagliato in tre casi. Presuppone che tu porti l'obbligazione fino a scadenza e che ogni cedola venga reinvestita allo stesso tasso, che è una promessa che nessun mercato fa: un'obbligazione tenuta mentre i tassi scendono renderà meno di quanto diceva il suo rendimento a scadenza. È un tasso nominale capitalizzato alla frequenza della cedola, quindi un'obbligazione semestrale e una mensile quotate allo stesso rendimento non pagano lo stesso importo in un anno; è per questo che gli sta accanto il rendimento annuo effettivo. E non dice nulla sul merito di credito: un rendimento ben sopra la curva dei titoli di Stato della stessa scadenza è il mercato che prezza una possibilità reale di non essere rimborsato.

1. Un'obbligazione decennale con cedola del 4% a 92,205 per 100

   1. Cedole all'anno: 4,00 per 100 di valore nominale, pagate come 2,00 due volte l'anno, quindi 20 pagamenti da 2,00
   2. Trova il tasso che attualizza 20 pagamenti da 2,00 più 100 alla fine a 92,205: 2,5% per semestre
   3. Quotalo come fanno i desk obbligazionari, raddoppiando il tasso semestrale: 5,000% all'anno
   4. Riscrivilo come un unico fattore annuo: 1,025 × 1,025 − 1 = 5,0626% effettivo
   5. Rendimento corrente, che ignora il ritorno al nominale: 4,00 ÷ 92,205 = 4,34%

   È il valore predefinito della pagina, e le ultime due righe ne sono il senso. Il 5,000% quotato e il 5,0626% sono lo stesso tasso scritto in due convenzioni, e il secondo è quello che il denaro fa davvero in un anno: 0,0626 non è arrotondamento, è la capitalizzazione semestrale. Il rendimento corrente del 4,34% è il più piccolo dei tre ed è il più citato sui giornali, perché è l'unico che si calcola a mente; è anche l'unico che non si accorge che stai comprando l'obbligazione a 7,795 sotto il valore nominale e che ti verrà rimborsata a 100.

2. Un'obbligazione zero coupon a 61,027 rende il 5% con un rendimento corrente dello 0%

   1. Il tasso cedolare è zero, quindi ogni cedola dell'equazione è 0,00 e resta solo il 100 a scadenza
   2. 100 ÷ 1,025^20 = 100 ÷ 1,638616 = 61,027
   3. Quotalo come fanno i desk obbligazionari: 2,5% per semestre, raddoppiato a 5,000% all'anno
   4. Riscrivilo come un unico fattore annuo: 1,025 × 1,025 − 1 = 5,0625% effettivo
   5. Rendimento corrente: 0,00 ÷ 61,027 = 0,00%

   Un'obbligazione zero coupon è il caso in cui le due convenzioni si separano nel modo più pulito, perché non c'è alcuna cedola a confondere l'aritmetica: l'intero rendimento è il 38,973 fra il prezzo e il valore nominale, e arriva tutto in una volta. Il rendimento quotato è 5,000% e il rendimento annuo effettivo è 5,0625%, e la differenza fra i due è tutta la capitalizzazione. Il rendimento corrente è esattamente zero: chi seleziona obbligazioni in base al rendimento corrente non vedrà mai questa, che è l'argomento più chiaro per non selezionarle così.

3. Un prezzo con un decimale: 95,5 dà il 4,566%

   1. Cedole: 20 pagamenti da 2,00, con 100 rimborsati alla fine
   2. Risolvi per il tasso semestrale che attualizza quel flusso a 95,5: 2,2831% per semestre
   3. Raddoppialo per il rendimento quotato, stampato con tre decimali: 4,566% all'anno
   4. Rendimento annuo effettivo: 1,022831 × 1,022831 − 1 = 4,6177%
   5. Rendimento corrente: 4,00 ÷ 95,5 = 4,19%

   I prezzi sul mercato si quotano a frazioni di punto, non a numeri interi, e il rendimento che ne esce non è quasi mai una cifra tonda: per questo la pagina stampa tre decimali per il rendimento quotato e quattro per quello effettivo. Le tre cifre mantengono comunque il loro ordine: il rendimento annuo effettivo sta sopra quello quotato, e il rendimento corrente sta sotto entrambi, perché a 95,5 l'obbligazione si compra ancora a sconto e i 4,5 di ritorno al nominale spettano a chi la porta fino alla scadenza.

Tre cose che questo numero non è. Non è una promessa: il rendimento a scadenza presuppone che ogni cedola venga reinvestita allo stesso tasso fino alla scadenza, e se nel frattempo i tassi scendono guadagnerai meno di quanto diceva — quello scarto si chiama rischio di reinvestimento e nessuna quotazione di rendimento lo può prezzare via. È un tasso nominale capitalizzato alla frequenza della cedola, quindi non è confrontabile fra obbligazioni che pagano con frequenze diverse finché non guardi il rendimento annuo effettivo che gli sta accanto. E usa il prezzo secco, con il rateo cedolare lasciato fuori, il che è corretto per prezzare un'obbligazione fra due date di cedola ma significa che il prezzo qui non è la somma di denaro che consegni. Il rendimento corrente che gli sta accanto è una misura più semplice con un punto cieco specifico: poiché ignora la differenza fra il prezzo e il valore nominale, sottostima il rendimento di un'obbligazione a sconto e lo sovrastima su una comprata a premio, e su un'obbligazione zero coupon è zero per quanto l'obbligazione renda. Infine qui non si sa nulla di rischio di credito, imposte o clausole di rimborso anticipato; un'obbligazione che può essere rimborsata prima può non arrivare mai alla scadenza che questa pagina presuppone.

Come si calcola il rendimento a scadenza?

È il tasso che attualizza ogni pagamento residuo — ogni cedola e il valore nominale alla fine — fino al prezzo che stai pagando. Non c'è modo di riarrangiare la formula per ricavarlo direttamente, quindi si trova per ricerca: prova un tasso, prezza l'obbligazione a quel tasso e restringi l'intervallo finché il prezzo coincide. Su un'obbligazione decennale con cedola del 4% a 92,205 per 100, pagata due volte l'anno, la risposta è 2,5% per semestre, che si quota come 5,000% all'anno.

Perché il prezzo secco è per 100 di valore nominale invece che in una somma di denaro?

Perché il valore nominale si semplifica nell'equazione, quindi quotare per 100 rende due obbligazioni diverse confrontabili a colpo d'occhio ed elimina un campo che non potrebbe mai essere compilato altro che in modo sbagliato. Un'obbligazione a 92,205 è al 92,205% del valore nominale sia che il valore nominale sia 100 sia che sia 1.000.000. Inserire invece il prezzo in denaro — 922,05 per la stessa obbligazione — non produce un messaggio di errore: produce un rendimento sotto zero, perché l'aritmetica ti obbliga a restituire il 100 che l'equazione presuppone.

Qual è la differenza fra il rendimento a scadenza e il rendimento annuo effettivo?

Sono due convenzioni per scrivere lo stesso tasso. Il rendimento a scadenza quotato è nominale: è il tasso per periodo moltiplicato per il numero di periodi, quindi il 2,5% due volte l'anno si scrive 5,000%. Il rendimento annuo effettivo lo riscrive come fattore di crescita su un anno intero, 1,025 × 1,025 − 1 = 5,0626%, che è quello che il denaro fa davvero. I due coincidono solo quando la cedola è pagata una volta l'anno. Su pagamenti trimestrali lo stesso 5,000% quotato è 5,0946% effettivo, e su pagamenti mensili 5,1162%: più spesso l'interesse si capitalizza, più quello scarto si allarga.

Perché il rendimento corrente è diverso dal rendimento a scadenza?

Perché il rendimento corrente conta solo le cedole. È un anno di cedole diviso il prezzo, e non dice nulla del fatto che un'obbligazione comprata sotto il valore nominale verrà rimborsata al valore nominale, che è una parte reale del rendimento. Sull'esempio predefinito la cedola è 4,00 contro un prezzo di 92,205, quindi il rendimento corrente è 4,34%, mentre il rendimento a scadenza è 5,000%: i 0,66 di punto che mancano sono i 7,795 di ritorno al nominale, spalmati su dieci anni. Su un'obbligazione prezzata esattamente a 100 i due coincidono, e su un'obbligazione zero coupon il rendimento corrente è zero per quanto l'obbligazione renda.

La frequenza della cedola cambia il risultato?

Cambia il numero quotato anche quando l'obbligazione vale esattamente lo stesso. Dieci anni di cedole al 4% sono 40,00 per 100 in totale in qualunque modo vengano pagate, ma l'attualizzazione è diversa: la stessa obbligazione prezzata per rendere il 5% all'anno costa 92,278 con pagamenti annuali, 92,168 trimestrali e 92,143 mensili. Due ragioni. La quotazione nominale è tasso per periodo moltiplicato per i periodi, quindi lo stesso rendimento effettivo si scrive come un numero nominale più grande quanto più spesso si capitalizza. E i pagamenti che arrivano prima valgono di più, quindi un'obbligazione mensile vale un po' più di una annuale allo stesso tasso quotato.

Che cosa significa un rendimento a scadenza sopra il tasso cedolare?

Che l'obbligazione è prezzata sotto il valore nominale, quindi una parte del rendimento è il guadagno che realizzi quando viene rimborsata a 100. Sull'esempio predefinito la cedola è del 4% e il rendimento è 5,000% perché il prezzo è 92,205. Vale anche il contrario: un'obbligazione prezzata sopra il valore nominale rende meno della sua cedola, perché subisci una perdita mentre torna alla pari. Il caso estremo è la prima riga della tabella di riferimento, dove un prezzo di 140 per 100 è esattamente la somma di tutti i pagamenti residui senza alcuna attualizzazione: il rendimento è 0%, e qualsiasi prezzo sopra quello non ha alcuna soluzione non negativa.

• Understanding Pricing and Interest Rates — why a note or bond sells at a discount or a premium, and what the quoted yield means — U.S. Department of the Treasury, Bureau of the Fiscal Service (TreasuryDirect), United States
• Yield — Investor.gov glossary, for the rate a bond's payments imply at a given price — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• Bonds — Investor.gov glossary, for the coupon, the face value and the maturity date that the equation is built out of — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• 31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables: the present value formula the Treasury uses to price its own notes and bonds from a yield — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)