Kalkulator Lingkaran Satuan

sin θ = y, cos θ = x, tan θ = y ÷ x

θ

Sudut yang diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif. Bisa negatif, dan bisa lebih dari satu putaran penuh — yang penting hanyalah di mana sudut itu mendarat pada lingkarannya

cos θ

Koordinat x dari titik tempat sudut itu mendarat. Pada nol derajat titiknya ada di (1, 0), sehingga kosinusnya satu; pada 90 derajat kosinusnya nol

sin θ

Koordinat y dari titik yang sama. Pada nol derajat nilainya nol; pada 90 derajat titiknya ada di puncak lingkaran sehingga sinusnya satu

tan θ

Sinus dibagi kosinus, yang tidak lain adalah kemiringan garis dari titik asal ke titik itu. Nilainya tidak ada di tempat kosinusnya nol, karena di situlah garisnya tegak

Jari-jari satu

Alasan koordinatnya bisa dibaca langsung. Titiknya berjarak satu satuan dari titik asal, sehingga menurut Pythagoras kedua koordinatnya selalu berjumlah satu setelah dikuadratkan — itulah identitas cos²θ + sin²θ = 1

Derajat atau radian

Daftar pilihan satuan mengubah sudut yang Anda ketik menjadi derajat sebelum hitungannya berjalan, sehingga jawabannya sama saja. Seperempat putaran adalah 90 derajat, atau setengah pi dalam radian

Empat angka desimal

Seberapa lebar hasilnya ditulis. Hanya sedikit bacaan yang keluar eksak — sinus 30 derajat adalah setengah, tangen 45 derajat tepat satu, dan nilai yang duduk di sumbu-sumbu semuanya bilangan bulat — sedangkan sisanya adalah nilai seperti akar dua per dua yang harus dibulatkan di akhir

Lingkaran satuan adalah tabel yang harus dihafal di setiap pelajaran trigonometri, karena ketiga fungsi trigonometri itu tidak lebih daripada koordinat sebuah titik di atasnya — dan halaman ini adalah tabel tersebut dengan sebuah kotak yang bisa diisi sudut apa pun. Pemakaian yang paling langsung adalah ketika Anda sudah punya sebuah sudut dan membutuhkan komponen-komponennya: menguraikan gaya atau kecepatan menjadi bagian mendatar dan bagian tegak, yang justru adalah pasangan sinus dan kosinus dan bukan yang lain; menghitung fase pada elektronika atau faktor daya; mencari jangkauan mendatar sesuatu yang dilempar dengan sudut tertentu. Ilmu ukur tanah dan navigasi memakainya setiap kali sebuah azimut harus diubah menjadi jarak ke timur dan jarak ke utara, dan itu tepat kedua koordinat tadi. Grafika dan permainan memakainya untuk apa pun yang berputar — sprite yang berbalik arah, kamera yang mengorbit, sebuah titik pada roda — karena posisi titik yang berputar adalah kosinus dan sinus, dan menuliskannya sekali dengan fungsi ini alih-alih dengan aritmetika satu per satu itulah yang membuat kode rotasi menjadi pendek. Lalu ada pemakaian murni untuk belajar, dan itulah yang sebenarnya menjadi sasaran halaman ini: sudut istimewa layak dihafal, dan bisa mengetik 90 derajat lalu melihat tangennya menolak adalah cara yang jauh lebih baik untuk mengingat bahwa di situ tidak ada nilainya daripada sekadar diberi tahu. Tabel di bawah memuat sudut-sudut yang sama, ditulis sebagai pecahan eksak alih-alih desimal, karena begitulah bentuk yang benar-benar dipakai.

1. Sudut 30 derajat

   1. Putar 30 derajat berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif
   2. Titik tempat Anda berhenti adalah (√3/2, 1/2)
   3. Kosinus adalah koordinat x-nya: 0,8660
   4. Sinus adalah koordinat y-nya: 0,5
   5. Tangen adalah perbandingannya: 0,5 ÷ 0,8660 = 0,5774

   Sudut yang dimuat halaman ini saat dibuka, sekaligus baris pertama dari tabel sudut istimewa yang biasa diajarkan. Nilai eksaknya adalah akar tiga per dua, setengah, dan akar tiga per tiga — di sini ditampilkan sebagai desimal, sedangkan pecahan eksaknya ada di tabel di bawah.

2. Sudut 45 derajat

   1. Putar 45 derajat berlawanan arah jarum jam, yang menempatkan titiknya di diagonal
   2. Sinus dan kosinusnya sama besar karena titiknya berada pada 45 derajat terhadap kedua sumbu: √2/2 = 0,7071
   3. Tangen adalah perbandingan keduanya, dan sebuah bilangan dibagi dirinya sendiri sama dengan 1

   Satu-satunya sudut di antara nol dan sembilan puluh derajat yang sinus dan kosinusnya sama besar, dan itu terjadi karena titiknya terletak pada garis y = x. Tangen yang tepat 1 adalah aljabar yang menegaskannya — dan itulah sebabnya kemiringan 45 derajat disebut kemiringan satu banding satu.

3. Sudut 180 derajat

   1. Putar setengah putaran, yang mendaratkan titiknya di sumbu x negatif
   2. Kosinus adalah koordinat x-nya: -1
   3. Sinus adalah koordinat y-nya: 0
   4. Tangen adalah nol dibagi minus satu, yaitu 0

   Setengah putaran, dan di sinilah tandanya menjebak banyak orang: kosinusnya minus satu dan bukan satu, karena titiknya sudah berpindah ke sisi lingkaran yang berlawanan. Sinusnya keluar tepat nol di sini meskipun aritmetika di dalam halaman sempat menghasilkan bilangan yang sangat kecil — bacaannya dibulatkan di akhir, dan begitulah cara yang jujur untuk menanganinya.

4. Sudut 390 derajat

   1. Satu putaran penuh membawa Anda kembali ke titik awal, jadi 390 derajat sama dengan 30 derajat
   2. Titiknya adalah (√3/2, 1/2), persis seperti pada 30 derajat

   Tiga bacaan yang sama dengan contoh 30 derajat, karena berputar sekali lagi mendarat di titik yang sama. Inilah yang membuat halaman ini bisa dipakai untuk sudut di luar rentang nol sampai satu putaran penuh — pemutaran ulangnya ditangani untuk Anda, bukan menjadi sesuatu yang harus disederhanakan sendiri lebih dahulu.

Halaman ini menerima satu sudut dan mengembalikan sinus, kosinus, serta tangennya. Tangen tidak punya nilai pada 90 derajat maupun 270 derajat, atau pada sudut mana pun yang berbeda dari keduanya dengan kelipatan satu putaran penuh, karena titiknya sudah berpindah ke tempat koordinat x-nya nol sehingga perbandingannya tidak punya pembagi. Ketika hal itu terjadi, halaman ini menolak dan menjelaskannya alih-alih mencetak bilangan yang sangat besar — sedangkan sinus dan kosinusnya justru terdefinisi dengan baik di situ, yaitu satu dan nol, tetapi karena halaman ini mengembalikan ketiganya sekaligus, ketiganya ditahan dan bukan hanya dua di antaranya; tabel di bawah tetap memuat nilai eksak untuk baris tersebut. Sudut yang sangat dekat dengan nilai-nilai itu diterima dan menghasilkan tangen yang sangat besar, dan itu memang benar secara matematis — kemiringan yang hampir tegak memang curam — sehingga nyaris bukanlah tepat, dan halaman ini tidak memperlakukan keduanya sama. Ketiga bacaan itu adalah bilangan murni tanpa satuan, apa pun setelan daftar pilihan satuannya; daftar itu memilih bagaimana sudutnya dimasukkan, bukan apa yang keluar. Empat angka desimal adalah lebar tampilan dan bukan klaim tentang ketelitian, dan sebagian besar sudut memang tidak punya nilai desimal yang eksak — tabel di bawah memberikan sudut-sudut yang lazim sebagai pecahan eksak justru untuk alasan itu. Sudut yang bisa dimasukkan dibatasi pada satu juta derajat ke arah positif maupun negatif, yang jauh lebih banyak daripada kebutuhan siapa pun. Tidak ada apa pun di sini yang menangani soal kebalikannya: halaman ini mengubah sudut menjadi koordinat, tetapi tidak akan mengubah koordinat kembali menjadi sudut, dan tidak memberikan panjang busur, luas juring, maupun ukuran seberapa jauh sudutnya sudah menempuh lingkaran.

Mengapa tangen tidak punya jawaban pada 90 derajat?

Karena tangen adalah sinus dibagi kosinus, dan pada 90 derajat kosinusnya nol. Titiknya sudah berpindah ke puncak lingkaran, koordinat x-nya nol, dan tidak ada yang bisa dipakai membagi. Keterangan yang jujur adalah bahwa tangen tidak punya nilai di situ — bukan bahwa nilainya luar biasa besar. Sinus dan kosinusnya justru terdefinisi dengan baik pada sudut itu: titiknya ada di puncak lingkaran, sehingga sinusnya satu dan kosinusnya nol. Halaman ini melaporkan ketiganya sekaligus, jadi ketiganya ditahan dan bukan hanya dua di antaranya: sudutnya ditolak beserta alasannya. Tabel di bawah tetap memuat nilai eksak untuk baris itu.

Bisakah saya memasukkan sudut yang lebih besar daripada 360 derajat?

Bisa, dan sudut negatif juga bisa. Yang penting hanyalah di mana sudutnya mendarat pada lingkaran, sehingga 390 derajat memberi tiga bacaan yang persis sama dengan 30 derajat, dan minus 30 derajat memberi hasil yang sama dengan 330 derajat. Halaman ini memutar-ulang sudutnya untuk Anda alih-alih membuat Anda menghitungnya sendiri lebih dahulu, dan itu penting karena azimut serta rotasi memang rutin melewati satu putaran penuh.

Mengapa nilainya desimal, sedangkan bagan di sekolah menampilkan pecahan?

Karena panel hasilnya adalah kalkulator sedangkan tabelnya adalah bagan. Nilai eksak untuk sudut istimewa adalah akar dua per dua, akar tiga per dua, dan kerabatnya, dan semuanya tidak bisa ditulis sebagai desimal yang eksak — 0,7071 adalah versi bulat dari salah satunya. Tabel di bawah memberikan sudut-sudut yang sama sebagai pecahan eksak, dan itulah bentuk yang layak dihafal.

Sebenarnya tangen itu untuk apa?

Tangen adalah kemiringan. Tangen sebuah sudut adalah jarak tegak dibagi jarak mendatar dari garis yang menghubungkan titik asal dengan titik itu, dan itulah sebabnya ia muncul pada gradien, kemiringan atap, dan apa pun yang diukur sebagai perbandingan tegak terhadap mendatar. Sinus dan kosinus adalah koordinat; tangen adalah perbandingan di antara keduanya, dan perbedaan itulah alasan hanya tangen yang punya lubang di daerah asalnya.

Apakah satuannya berpengaruh?

Daftar pilihan satuan memilih bagaimana sudutnya dimasukkan — derajat, radian, atau grad — dan tidak mengubah apa pun selain itu. Ketiga bacaannya adalah bilangan biasa tanpa satuan sama sekali, karena koordinat pada lingkaran berjari-jari satu tidak bersatuan dan perbandingan antara dua di antaranya juga tidak. Halaman ini mengubah sudut Anda menjadi derajat di dalam, sehingga 0,5236 radian dan 30 derajat memberi jawaban yang identik.

Apakah ini sama dengan kalkulator segitiga siku-siku?

Ini kasus khusus dari kalkulator itu. Pada segitiga siku-siku mana pun, sinus adalah sisi di depan dibagi sisi miring dan kosinus adalah sisi di samping dibagi sisi miring; pada lingkaran satuan sisi miringnya satu, sehingga perbandingannya tinggal kedua kakinya. Setiap segitiga siku-siku adalah salinan berskala dari gambar lingkaran satuan, dan itulah sebabnya angka-angka di halaman ini berlaku untuk segitiga dengan ukuran apa pun.

• Unit Circle — the circle of radius one, why the coordinates of a point on it are the cosine and the sine, and the special angles that have exact values — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, their domains, and why the tangent is undefined wherever the cosine is zero — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangent — the ratio this page divides to get, its period of a half turn rather than a whole one, and its poles at ninety and two hundred and seventy degrees — Wolfram MathWorld (United States)