Kalkulator Sudut Koterminal

θ′ = θ + 360°n Sudut koterminal = θ − 360°·⌊θ ÷ 360°⌋

θ

Sudut yang Anda ketik, dalam derajat. Nilainya boleh negatif dan boleh jauh lebih besar dari satu putaran; keduanya masukan biasa di halaman ini, bukan kasus khusus

n

Sembarang bilangan bulat, positif, negatif, atau nol. Setiap nilai n menunjukkan satu anggota keluarga sudut yang berbagi sisi akhir, sehingga anggotanya tak hingga banyaknya dan halaman ini hanya mencetak dua yang paling berguna

360°

Satu putaran penuh. Mengurangkannya tidak mengubah arah sinar sama sekali, dan itulah yang membuat dua sudut menjadi koterminal dan bukan berbeda

⌊θ ÷ 360°⌋

Berapa putaran penuh yang diambil, dibulatkan ke bawah menuju minus tak hingga dan bukan menuju nol. Pembulatan menuju nol akan meninggalkan sudut negatif di luar selang alih-alih melipatnya ke dalam, dan itu satu-satunya tempat halaman ini bisa salah tanpa bersuara

Sudut koterminal

Wakil yang berada dari 0 sampai kurang dari 360 derajat. Angka inilah yang dipakai tabel trigonometri dan lingkaran satuan, dan angka inilah yang paling sering dicari orang

Sudut koterminal negatif

Sisi akhir yang sama yang ditulis sebagai putaran negatif: sudut hasil penyederhanaan dikurangi satu putaran penuh, sehingga jatuh dari −360 sampai kurang dari 0. Nilainya selalu tepat 360 di bawah angka yang lain

Dua angka desimal

Seberapa lebar hasilnya dicetak. Sudut biasanya diukur sampai pecahan derajat dan bukan sampai pecahan detik, dan dua angka desimal kira-kira sehalus yang bisa dipertanggungjawabkan oleh sebuah busur derajat

Gunakan halaman ini setiap kali sebuah sudut sudah berputar melewati satu putaran penuh dan jawabannya dicari di dalam satu putaran saja. Poros dan mesin yang berputar adalah kasus yang paling gamblang: sambungan yang diputar tiga seperempat putaran punya orientasi akhir yang biasanya ditulis sebagai sudut di bawah 360 derajat, dan penyederhanaan yang sama berlaku untuk bubungan, engkol, meja putar, atau sendi robot yang langkahnya disebut dalam putaran. Lilitan dan gulungan adalah kasus kedua: kumparan yang dililit empat belas kali, kabel yang diulur lalu digulung kembali, pegas yang diputar sejumlah putaran yang diketahui — semuanya dihitung dalam putaran tetapi dibutuhkan dalam derajat. Alat ukur adalah kasus ketiga: sudut fasa yang terakumulasi selama banyak siklus sinyal, sudut total dari sebuah encoder yang terus menambah tanpa pernah direset, kesalahan arah yang menumpuk, dan setiap instrumen yang melaporkan sudut yang dibiarkan melewati satu putaran. Navigasi dan pengukuran tanah memakainya untuk arah yang sudah ditambah dan dikurangi sampai keluar dari selang 0 sampai 360, dan untuk selisih antara dua haluan, sehingga haluan −30 derajat rutin ditulis ulang menjadi 330. Dalam matematika, langkah ini adalah langkah pertama hampir semua perhitungan trigonometri: tabel nilai sinus dan kosinus hanya mencakup satu putaran, jadi sudut di luar selang itu harus dibawa masuk dulu sebelum tabelnya bisa dipakai. Di kelas, halaman ini adalah peragaan periodisitas yang paling langsung: gambar sisi akhir yang sama untuk 30, 390, dan 750 derajat, perhatikan bahwa ketiga lengannya jatuh pada garis yang sama, dan alasan sinus berulang setiap 360 derajat berhenti menjadi aturan hafalan. Dalam hitungan sehari-hari, ini adalah segelintir kasus ketika sebuah sudut dikurangkan dari sudut lain lalu hasilnya negatif, dan di titik itulah kebanyakan orang pertama kali menginginkan jawaban 0 sampai 360 alih-alih jawaban bertanda. Sudut negatif juga rutin muncul dari putaran yang berlawanan dengan arah jarum jam, dan di situ halaman ini bekerja persis sama.

1. Sudut 400 derajat

   1. Hitung putaran penuhnya: 400 ÷ 360 = 1,11, jadi satu putaran penuh diambil
   2. Kurangkan: 400 − 360 = 40
   3. Kurangi satu putaran lagi untuk wakil negatif: 40 − 360 = −320

   Pasangan yang sudah terisi saat halaman dibuka, dipilih karena hanya sedikit melewati satu putaran penuh sehingga pembaca yang baru pertama bertemu gagasan ini dapat melihat seluruh langkahnya dalam satu kali. Kedua jawabannya berselisih 360, dan itu berlaku pada setiap baris tabel serta merupakan cara tercepat untuk memeriksa apakah sebuah hasil masuk akal.

2. Sudut 750 derajat

   1. Hitung putaran penuhnya: 750 ÷ 360 = 2,08, jadi dua putaran penuh diambil
   2. Kurangkan keduanya: 750 − 720 = 30
   3. Kurangi satu putaran lagi: 30 − 360 = −330

   Sisi akhir yang sama dengan sudut 30 derajat, dua putaran penuh lebih jauh, dan inilah pasangan baris yang menunjukkan untuk apa tabel di bawah ada. Membaca penyederhanaannya dari kolom putaran — dua putaran diambil dari 750 menyisakan 30 — persis cara hitungan ini dikerjakan dengan tangan, dan itulah alasan kolom itu ada di tabel.

3. Sudut minus 30 derajat

   1. Hitung putaran penuh dengan pembulatan ke bawah: −30 ÷ 360 = −0,08, yang dibulatkan ke bawah menjadi −1
   2. Tambahkan putaran itu kembali: −30 − 360 × (−1) = 330
   3. Kurangi satu putaran untuk sisi negatif: 330 − 360 = −30

   Arah yang paling sering orang pakai, karena sudut negatif adalah hasil ketika satu haluan dikurangkan dari haluan lain. Perhatikan bahwa wakil negatifnya justru sudut aslinya, tidak berubah: minus 30 sudah berada di dalam selang negatif. Pembulatannya harus ke bawah di sini — pembulatan menuju nol akan membiarkan minus 30 apa adanya, di luar selang positif tempatnya seharusnya berada.

4. Sudut 1.000 derajat

   1. Hitung putaran penuhnya: 1.000 ÷ 360 = 2,78, jadi dua putaran penuh diambil
   2. Kurangkan keduanya: 1.000 − 720 = 280
   3. Kurangi satu putaran lagi: 280 − 360 = −80

   Dua putaran penuh dengan sisa 280, dan di sinilah aritmetikanya berhenti terasa jelas: jawabannya dekat ke satu putaran penuh alih-alih dekat ke nol, sehingga pembaca yang mengharapkan sisa kecil seperti pada contoh sebelumnya akan terkejut. Halaman ini juga menerima satu juta derajat, yang hasilnya tetap 280 dan −80 — jumlah putarannya berubah, sisi akhirnya tidak.

5. Sudut 0 derajat

   1. Tidak ada putaran penuh yang diambil: 0 sudah berada di dalam selang
   2. Wakil positifnya adalah 0
   3. Kurangi satu putaran untuk sisi negatif: 0 − 360 = −360

   Kasus yang menetapkan aturan untuk sisi negatif. Aturan yang lain akan mencetak 0 untuk kedua angka, dan itu terbaca seperti halaman yang gagal melakukan sesuatu. Mengambil wakil negatif sebagai satu putaran penuh di bawah sudut hasil penyederhanaan menjamin kedua angka yang dicetak tidak pernah sama, dan jaminan itu tetap berlaku di batas ini maupun di tempat lain.

Halaman ini menyederhanakan sudut dan tidak melakukan hal lain: halaman ini tidak menyebut sisi akhir itu jatuh di kuadran mana, tidak memberi sudut acuan, dan tidak menghitung nilai fungsi trigonometri apa pun. Semuanya punya halaman sendiri. Hanya derajat yang diterima, tidak ada keluaran radian, dan sudut yang diberikan dalam radian harus diubah dulu sebelum diketik. Masukannya dibatasi satu juta derajat ke kedua arah, yaitu sekitar dua ribu tujuh ratus tujuh puluh delapan putaran penuh; di luar itu angkanya berhenti berhubungan dengan apa pun yang orang ukur, meskipun aritmetikanya tetap berjalan. Dua angka yang dicetak selalu berselisih tepat 360 derajat, dan angka negatifnya selalu yang lebih rendah, sehingga masukan negatif dapat menghasilkan keluaran positif dan sebaliknya. Secara ketat, sudut koterminal didefinisikan sebagai sudut yang tidak berimpit tetapi sisi akhirnya berimpit, jadi sudut yang Anda masukkan tidak koterminal dengan dirinya sendiri dalam arti yang ketat itu: ia berimpit dengan dirinya sendiri. Halaman ini mengikuti pemakaian sehari-hari, yang menghitung setiap sudut pada sisi akhir yang sama sebagai satu keluarga, dan mengatakannya di sini alih-alih di bagian lain halaman ini. Sudut dibulatkan ke dua angka desimal, dan itu lebar tampilan, bukan klaim ketelitian. Tidak ada bagian di sini yang menangani derajat, menit, dan detik sebagai satuan terpisah, dan tidak ada yang menangani sudut yang diukur dalam gradian atau dalam putaran.

Saya mengetik 40 dan sudut koterminalnya kembali 40. Apakah ada yang dihitung?

Tidak ada yang perlu dihitung: 40 sudah berada di dalam satu putaran, jadi ia wakil bagi dirinya sendiri dan penyederhanaannya membiarkannya apa adanya. Secara ketat, sudut koterminal didefinisikan sebagai sudut yang tidak berimpit tetapi berakhir pada sinar yang sama, sehingga sebuah sudut tidak koterminal dengan dirinya sendiri menurut definisi itu: ia berimpit dengan dirinya sendiri. Halaman ini mengikuti pemakaian sehari-hari, yang menghitung apa pun pada sisi akhir yang sama, jadi angka pertama akan mengulang masukan Anda setiap kali masukan Anda memang sudah sederhana. Angka keduanya yang berubah.

Mengapa sudut negatifnya satu putaran penuh di bawah, bukan sekadar sudut yang sama ditulis negatif?

Karena pilihan yang kelihatannya paling wajar rusak tepat di nol. Kalau wakil negatif diambil dari selang minus 360 sampai nol, masukan nol akan mencetak 0 dan 0 — dua angka yang sama, dan itu terbaca seperti halaman yang tidak melakukan apa-apa. Mengambilnya sebagai tepat satu putaran penuh di bawah sudut hasil penyederhanaan membuat kedua angka yang dicetak tidak pernah sama, dan keduanya selalu berselisih tepat 360 derajat, sifat yang bisa Anda periksa pada setiap baris tabel di atas.

Bisakah saya mengetik sudut negatif?

Bisa, dan itu salah satu masukan yang paling sering. Sudut negatif muncul setiap kali satu haluan dikurangkan dari haluan lain atau sebuah putaran diukur berlawanan dengan arah jarum jam, dan minus 30 derajat rutin ditulis ulang menjadi 330. Penyederhanaannya membulatkan ke bawah dan bukan menuju nol justru karena alasan ini: pembulatan menuju nol akan membiarkan minus 30 di luar selang alih-alih melipatnya masuk.

Mengapa kedua jawabannya selalu berselisih 360 derajat?

Karena angka kedua adalah angka pertama dikurangi satu putaran penuh, begitu aturannya. Mengurangi 360 derajat dari sebuah sudut tidak mengubah arah sinarnya sama sekali, sehingga kedua angka menggambarkan sisi akhir yang sama dan berselisih tepat satu putaran. Ini pemeriksaan kewajaran tercepat atas hasil apa pun dari halaman ini: tambahkan 360 pada angka yang lebih rendah, dan Anda harus mendarat di angka yang lebih tinggi.

Apakah halaman ini memberi tahu sudut itu ada di kuadran mana?

Tidak — halaman ini menyederhanakan sudut dan berhenti di situ. Kuadran tempat sebuah sisi akhir jatuh, dan sudut acuan antara sisi itu dengan sumbu terdekat, adalah pokok bahasan halaman sudut acuan dan halaman lingkaran satuan. Penyederhanaan yang dikerjakan halaman ini adalah langkah sebelum keduanya, dan itulah sebabnya ia menjadi halaman sendiri alih-alih satu baris di keluaran halaman lain.

Bisakah saya mengetik radian?

Tidak di halaman ini — halaman ini hanya menerima derajat, dan tidak ada tombol pengganti satuan. Sudut dalam radian harus diubah dulu, dengan mengalikannya dengan 180 lalu membaginya dengan π. Penyederhanaannya sendiri adalah gagasan yang sama pada satuan mana pun, tetapi halaman ini harus tahu satuan mana yang Anda maksud sebelum bisa memutuskan apa arti satu putaran penuh.

• Coterminal Angle — angles whose terminal sides coincide, with the definition this page implements and the n = 0 case that is coincident rather than coterminal — Wolfram MathWorld (United States)
• Angle — what an angle is, including angle standard position, from which the initial side and the terminal side are defined — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometry — why an angle is reduced into a single turn before a table of values can be used, which is the commonest reason to want this reduction — Wolfram MathWorld (United States)