Lewati ke konten utama
CalcMax

Kalkulator Panjang Busur

Rentang: 0 cm – 1.000.000.000 cm

Rentang: 0 ° – 360 °

Hasil

7,8540 cm

Panjang busur

Kalkulator panjang busur mengambil jari-jari sebuah lingkaran dan sudut di pusat lingkaran itu, lalu mengembalikan panjang potongan lingkaran itu dalam sentimeter. Busur adalah bagian melengkung dari lingkaran di antara dua titik pada lingkarnya, dan sudut yang menamainya adalah sudut di pusat antara dua jari-jari yang ditarik ke kedua titik tersebut. Hitungannya semata-mata sebuah perbandingan: satu lingkaran penuh adalah 360 derajat dan kelilingnya 2πr, jadi busur sebesar θ derajat adalah θ/360 bagian dari keliling itu. Berapa pun bagian lingkaran yang dicakup oleh sudutnya, busur mencakup bagian keliling yang sama besarnya. Alasan topik ini mendapat halaman sendiri, bukan sekadar diserahkan kepada kalkulator lingkaran penuh, adalah karena sebagian besar tempat munculnya lengkungan bukan lingkaran utuh. Tikungan jalan adalah busur; begitu pula lintasan gagang pintu, sapuan wiper kaca mobil, meja yang melengkung, sebuah gapura, dan pita yang direntangkan pada dial. Pada semuanya pertanyaannya adalah panjang bagian yang melengkung, karena itulah yang dipotong, dibayar, diaspal, atau dilalui. Ada satu jebakan pada topik ini dan jebakannya soal satuan. Rumus bentuk ringkasnya adalah L = rθ, dan pada bentuk itu θ dinyatakan dalam radian, bukan derajat — radian adalah satuan yang ada justru supaya baris itu keluar tanpa faktor pengali di depannya. Masukkan 60 derajat ke dalam L = rθ dan jawabannya kembali sekitar 57 kali terlalu besar. Jawaban itu pun tidak akan terlihat salah: ia hanya terlihat sebagai busur yang panjang. Halaman ini memakai derajat, karena 60 lebih mudah diketik daripada 1,0472, dan rumus yang dihitungnya ditulis dengan angka 360 di dalamnya supaya derajatnya sudah diperhitungkan sebelum perkalian berlangsung.

Panjang busur dari jari-jari dan sudut di pusatnya

Radius (cm)Sudut pusat (derajat)Panjang busur (cm)
5605.236
5907.854
518015.708
536031.4159
109015.708
612012.5664
1227056.5487
500

Delapan busur dan tiga kolom. Baris pertama adalah seperenam lingkaran, jari-jari 5 dengan sudut 60 derajat; pasangan yang sudah terisi saat halaman dibuka justru baris kedua, jari-jari yang sama pada 90 derajat. Baris keempat adalah baris yang menyelaraskan halaman ini dengan halaman lain di situs: pada 360 derajat busurnya sudah menutup menjadi lingkaran penuh, jadi panjangnya harus sama dengan kelilingnya, dan 31,4159 adalah yang dicetak halaman lingkaran dan halaman keliling untuk jari-jari 5. Baris kelima yang layak diperhatikan sejenak — jari-jari 10 pada 90 derajat memberi 15,708 yang sama dengan jari-jari 5 pada 180 derajat, karena menggandakan yang satu sambil membagi dua yang lain tidak mengubah hasil kalinya. Baris keenam satu-satunya baris yang jawabannya kelipatan π yang eksak: jari-jari 6 pada 120 derajat adalah 4π, yaitu 12,5664. Setiap nilai di sini dihitung ulang dari kedua masukannya saat halaman ini dibangun, dan karena halaman juring menghitung besaran yang sama dari dua angka yang sama, kolom panjang busur pada tabel ini dan pada tabel halaman itu seharusnya terbaca identik baris demi baris.

Rumus

L = (θ ÷ 360) × 2πr

Jari-jari
Jarak dari pusat lingkaran ke busur, dalam sentimeter
θ (theta)
Sudut di pusat, dalam derajat — sudut antara dua jari-jari yang bertemu di kedua ujung busur. Bukan sudut yang tampak dilalui busur pada gambar, dan bukan pula sudut antara kedua ujungnya bila dilihat dari luar
360
Satu lingkaran penuh dalam derajat, dan alasan rumus ini ditulis dengan bentuk seperti ini. Membagi sudutnya dengan 360 mengubahnya menjadi bagian lingkaran yang dicakup busur
2πr
Keliling lingkaran — panjang seluruh lingkaran, yang darinya sebuah bagian diambil. π adalah tetapan yang sama pada setiap lingkaran, dan r adalah jari-jarinya
L
Panjang busur, dalam sentimeter. Bagian keliling yang besarnya sama dengan bagian sudut terhadap 360 derajat
L = rθ
Rumus yang sama dalam bentuk ringkasnya, yaitu bentuk yang dicetak buku pelajaran dan buku acuan. Pada bentuk ini θ dinyatakan dalam radian, bukan derajat — memakai 60 di sini alih-alih 1,0472 adalah kesalahan yang diperingatkan seluruh halaman ini
Empat angka desimal
Seberapa lebar jawabannya dituliskan. Jawabannya biasanya tidak dapat dituliskan dengan tepat, karena π juga tidak bisa — seperempat lingkaran berjari-jari 5 menghasilkan 7,8540 dan berhenti sampai di situ

Segala sesuatu yang merupakan bagian dari lingkaran dan panjangnya penting. Kasus paling sederhana adalah pengukuran: dinding melengkung, meja melengkung, jendela teluk, tikungan pada jalur, panjang pagar yang mengikuti lengkungan alih-alih garis lurus — panjang di sepanjang lengkungan itulah yang dipesan, dan nilainya lebih besar daripada jarak lurus antara kedua ujungnya. Bahan yang datang dalam bentuk pita lalu dibengkokkan adalah kasus kedua: lis tepi, jalur karet, selubung pipa, bagian melengkung dari pegangan tangga, dan potongan lembaran logam yang digiling mengikuti jari-jari. Menghitung panjang sebelum memotong adalah intinya, dan busur yang terpotong terlalu pendek langsung menjadi barang sisa. Kendaraan dan mesin adalah kasus ketiga: jarak yang disapu wiper, lintasan lengan robot, sabuk yang berjalan melewati pemandu melengkung, panjang rantai yang melingkari gir. Pada setiap kasus itu panjang busur adalah jarak yang benar-benar ditempuh, dan itulah yang menjadi dasar pemilihan motornya. Lalu ada penggunaan di ruang kelas. Perbandingannya mudah dilihat pada lingkaran yang digambar dengan jangka — busur 90 derajat adalah seperempat keliling, dan Anda dapat memeriksanya dengan rumus — dan bagian inilah yang membuka jalan ke juring, tembereng, dan akhirnya ke radian, yang tidak lebih rumit daripada perbandingan yang sama bila dinyatakan sebaliknya.

Contoh hitungan

  1. Jari-jari 5 dan sudut 90 derajat

    1. Sudut sebagai bagian lingkaran: 90 ÷ 360 = 1/4
    2. Keliling seluruhnya: 2 × π × 5 = 31,4159
    3. Seperempatnya: 31,4159 ÷ 4 = 7,854

    Seperempat lingkaran, dan pasangan angka yang sudah terisi saat halaman ini dibuka. Dua pembacaan yang perlu diingat bersama adalah 7,854 ini dan 31,4159 yang dihasilkan jari-jari yang sama pada 360 derajat — yang satu tepat empat kali yang lain, dan itu cara cepat untuk melihat bahwa sudutnya memang dipakai sebagai perbandingan dan bukan sebagai hal lain.

  2. Jari-jari 5 dan sudut 60 derajat

    1. Sudut sebagai bagian lingkaran: 60 ÷ 360 = 1/6
    2. Keliling seluruhnya: 2 × π × 5 = 31,4159
    3. Seperenamnya: 31,4159 ÷ 6 = 5,236

    Seperenam lingkaran, yaitu sudut yang dibentuk segitiga sama sisi di pusat dan alasan 60 derajat muncul setiap kali sesuatu dibagi menjadi enam. Baris inilah yang juga dicetak halaman juring, sehingga kedua halaman dapat diletakkan berdampingan: berapa pun panjang busur di sini, halaman juring menunjukkan angka yang sama untuk jari-jari dan sudut yang sama.

  3. Jari-jari 5 dan satu putaran penuh

    1. Sudut sebagai bagian lingkaran: 360 ÷ 360 = 1
    2. Keliling seluruhnya: 2 × π × 5 = 31,4159
    3. Seluruhnya: 31,4159

    Kasus batas, sekaligus pemeriksaan untuk seluruh halaman: pada 360 derajat busurnya sudah berputar penuh dan menutup, jadi panjangnya adalah keliling, dan keliling lingkaran berjari-jari 5 adalah 31,4159. Kalau baris ini suatu saat mencetak angka lain, rumusnya salah — itulah yang membuatnya layak masuk tabel.

  4. Jari-jari 10 dan sudut 90 derajat

    1. Sudut sebagai bagian lingkaran: 90 ÷ 360 = 1/4
    2. Keliling seluruhnya: 2 × π × 10 = 62,8319
    3. Seperempatnya: 62,8319 ÷ 4 = 15,708

    Seperempat lingkaran yang sama dengan contoh pertama, dan panjang yang sama dengan busur 180 derajat berjari-jari 5. Menggandakan jari-jarinya sambil membagi dua sudutnya tidak mengubah panjang busur, karena panjang busur bergantung pada keduanya sekaligus dan bukan pada salah satu. Ini peragaan paling murah untuk menunjukkan mengapa rumusnya mengalikan dan bukan menjumlahkan.

  5. Jari-jari 5 dan sudut 0

    1. Sudut sebagai bagian lingkaran: 0 ÷ 360 = 0
    2. Keliling seluruhnya: 2 × π × 5 = 31,4159
    3. Tidak ada bagian yang diambil: 0

    Sudut nol berarti kedua jari-jarinya sudah berimpit dan busurnya menyusut menjadi satu titik pada lingkaran, sehingga panjangnya nol. Itu jawaban yang sah dan halaman ini melaporkannya, dan itu berbeda dari membiarkan kotak isian kosong — kotak kosong tidak punya apa pun untuk dikerjakan dan tidak menampilkan hasil sama sekali.

Batasan

Halaman ini mengembalikan panjang busurnya saja. Halaman ini tidak memberi luas juring, panjang tali busur lurus di antara kedua ujungnya, sudutnya, maupun jari-jarinya — halaman juring menangani dua yang pertama, sedangkan berjalan mundur dari panjang busur ke sudut adalah halaman lain. Sudutnya dalam derajat dan dibatasi 360: sudut pusat yang lebih besar daripada satu putaran penuh ditolak dan bukan dilipat, karena sudut pusat menurut definisinya tidak melebihi satu putaran. Nol diterima pada kedua kotak isian dan menghasilkan busur berpanjang nol, yang benar untuk sebuah titik dan tidak sama dengan kotak yang kosong. Kedua masukan diambil dalam satuan yang sama, jadi jari-jari dalam inci menghasilkan panjang busur dalam inci; tidak ada konversi yang dilakukan. Dua satuan terakhir pada daftar pilihan — inci dan kaki — hanya mengubah cara Anda mengetik, bukan satuan jawabannya, yang selalu sentimeter. Jawaban di sini adalah panjang di sepanjang busur lingkaran dan tidak mengatakan apa-apa tentang lengkungan jenis lain — gapura berbentuk elips, spiral, kurva katenari, atau tikungan yang bukan lingkaran sejati tidak akan keluar dengan benar, dan di antara semuanya elips adalah kasus yang paling sering disangka lebih mudah daripada kenyataannya.

Pertanyaan yang sering diajukan

Sudutnya dalam derajat atau radian?
Derajat. Rumus yang dihitung halaman ini adalah (θ ÷ 360) × 2πr, yang ditulis sedemikian rupa sehingga derajatnya dibagi lebih dahulu sebelum apa pun terjadi. Bentuk ringkas yang mungkin Anda temui di tempat lain, L = rθ, memakai radian, dan itu perlu diketahui karena memasukkan 60 ke dalamnya menghasilkan jawaban sekitar 57 kali terlalu besar — dan jawaban yang sekadar panjang tidak terlihat salah.
Sudut yang mana pada gambar yang disebut sudut pusat?
Sudut yang titik sudutnya di pusat lingkaran, di antara dua jari-jari yang ditarik ke kedua ujung busur. Bukan sudut antara kedua ujungnya bila diukur dari suatu tempat pada busurnya, dan bukan pula sudut yang tampak dilalui lengkungan itu pada gambar. Kalau gambar Anda menandai beberapa sudut, sudut pusatnya adalah yang titik sudutnya berada di pusat.
Apa bedanya dengan kalkulator juring?
Halaman juring memberi tiga pembacaan dari dua masukan yang sama — luas potongan, panjang busurnya, dan tali busur lurus di antara kedua ujungnya — karena orang yang mengerjakan juring biasanya memerlukan lebih dari satu di antaranya. Halaman ini memberi panjang busurnya saja. Keduanya menghasilkan angka yang sama persis untuk satu besaran itu, jadi kalau Anda hanya perlu panjangnya, halaman ini jalan yang lebih pendek.
Bisakah sudutnya lebih dari 360 derajat?
Tidak, dan halaman ini menolaknya alih-alih melipatnya. Sudut pusat menurut definisinya adalah sudut di pusat lingkaran, dan tidak dapat melebihi satu putaran penuh; 400 derajat berarti busur yang lebih panjang daripada kelilingnya, dan itu bukan busur. Batasnya disengaja dan sama dengan halaman juring, sehingga pasangan angka yang sama diterima atau ditolak dengan cara yang sama di kedua halaman.
Apakah panjang busur bergantung pada jari-jarinya?
Ya, dan ketergantungannya berupa perkalian dan bukan penjumlahan. Menggandakan jari-jarinya menggandakan panjang busurnya, dan menggandakan sudutnya juga menggandakannya, sehingga busur 180 derajat berjari-jari 5 dan busur 90 derajat berjari-jari 10 panjangnya sama. Itulah sebabnya rumusnya mengalikan kedua besaran itu dan bukan melakukan hal lain terhadapnya.
Bagaimana kalau lengkungannya bukan lingkaran?
Maka halaman ini tidak akan memberi jawaban yang benar, dan ia juga tidak akan memperingatkan Anda. Setiap busur di sini adalah potongan lingkaran sejati. Gapura berbentuk elips, tangga spiral, kurva katenari, dan lintasan benda yang dilempar semuanya punya panjang yang memerlukan matematika berbeda, dan di antara semuanya elips adalah yang paling sering disangka sebagai bagian sederhana dari lingkaran padahal bukan.

Referensi

Kalkulator terkait

Kalkulator Sudut PusatSudut yang dibentuk busur di titik pusat lingkaran.Kalkulator Luas JuringLuas, panjang busur, dan tali busur dari sudut pusat.Kalkulator Keliling LingkaranKeliling lingkaran dari jari-jari atau diameternya.Kalkulator LingkaranJari-jari, diameter, keliling, dan luas dari salah satunya.