Kalkulator Lingkaran
Hasil
Jari-jari
- Diameter
- 10,0000 cm
- Keliling lingkaran
- 31,4159 cm
- Luas
- 78,5398 cm²
Kalkulator lingkaran mengambil salah satu saja dari empat besaran yang Anda ketahui, lalu memberi Anda tiga sisanya. Jari-jari, diameter, keliling, dan luas adalah lingkaran yang sama bila dijelaskan dengan empat cara, jadi salah satunya sudah memastikan ketiga yang lain: ketik 5 pada kotak jari-jari dan halaman ini mengembalikan diameter 10, keliling 31,4159, dan luas 78,5398. Hitungan di baliknya adalah dua rumus beserta kebalikannya. Keliling adalah π kali diameter, luas adalah π kali jari-jari dikuadratkan, dan membagi dengan dua, dengan 2π, atau dengan π akan mengembalikan Anda ke jari-jari dari salah satu dari ketiga besaran yang lain. Itulah sebabnya halaman ini meminta Anda mengisi tepat satu kotak dan bukan mewajibkan jari-jarinya. Mewajibkan jari-jari tidak akan menjadi masalah kalau jari-jari memang selalu yang Anda punya, tetapi lingkaran pada gambar kerja sering sampai kepada Anda sebagai luasnya atau sebagai panjang lis tepinya, dan halaman yang bersikeras meminta jari-jari akan membuat Anda membagi sendiri sebelum mau membantu. Jadi keempat kotaknya opsional dan salah satu saja cukup. Mengisi dua ditolak dan bukan diabaikan, karena dua di antara empat besaran itu tidak pernah mandiri — jari-jari dan diameter yang saling bertentangan tidak punya lingkaran di belakangnya, dan memilih salah satunya secara diam-diam hanya akan menyembunyikan pertentangan itu alih-alih menunjukkannya. Satu hal soal istilah perlu disinggung karena halaman ini memuat kotak luas. Secara ketat, luas itu milik daerah lingkaran — bidang datar yang dibatasi tepiannya — sedangkan lingkaran adalah lengkungan tepian itu sendiri. Dalam pemakaian sehari-hari tidak ada yang berbicara begitu, dan halaman ini mengikuti kebiasaan itu, tetapi di situlah alasannya satu di antara empat kotak isian memakai satuan persegi sementara tiga kotak lainnya memakai satuan panjang: kotak luas menerima sentimeter persegi, meter persegi, atau inci persegi, sedangkan ketiga kotak lainnya menerima sentimeter, meter, atau inci. Dua hal tentang jawabannya perlu diketahui sebelum Anda memakainya. Hasilnya dalam sentimeter dan sentimeter persegi, apa pun satuan yang ditinggalkan pada daftar pilihan di samping kotak isian. Itu pilihan yang disengaja dan bukan kelalaian: keempat keluarannya adalah satu set tetap yang dihitung dengan cara yang sama untuk semua orang, tabel acuan di bawah dihitung dalam satuan yang sama supaya halaman ini tidak bertentangan dengan dirinya sendiri, dan mengubah masukan ke inci hanya mengubah cara angka Anda dibaca saat masuk. Kalau Anda mengukur dalam inci, jawabannya tetap ditampilkan dalam sentimeter dan Anda perlu mengonversinya kembali. Dan keempat angka yang tercetak itu berasal dari nilai yang Anda ketik dan bukan dari satu sama lain. Keliling 20 memberi jari-jari 3,1831, sedangkan luas sebenarnya lingkaran itu adalah 31,8310; mengalikan jari-jari yang tercetak dengan dirinya sendiri lalu dengan π memberi 31,8309, karena 3,1831 sudah merupakan versi yang telah dibulatkan dari angka yang tidak pernah berhenti. Luas yang tercetak itulah yang benar — angkanya berasal dari jari-jari yang belum dibulatkan — dan selisihnya adalah sifat dari menuliskan bilangan irasional.
Lingkaran yang dicapai dari masing-masing keempat titik awal
| Diketahui | Radius (cm) | Diameter (cm) | Circumference (cm) | Area (cm²) |
|---|---|---|---|---|
| r | 5 | 10 | 31.4159 | 78.5398 |
| d | 6 | 12 | 37.6991 | 113.0973 |
| C | 3.1831 | 6.3662 | 20 | 31.831 |
| A | 5.6419 | 11.2838 | 35.4491 | 100 |
| r | 1 | 2 | 6.2832 | 3.1416 |
| r | 0.5 | 1 | 3.1416 | 0.7854 |
| r | 0 | 0 | 0 | 0 |
| A | 564.1896 | 1128.3792 | 3544.9077 | 1000000 |
Delapan lingkaran, dan kolom pertama menyebutkan dari mana setiap baris dimulai — r untuk jari-jari, d untuk diameter, C untuk keliling, dan A untuk luas. Kolom itu ada karena keempat angkanya tercetak pada setiap baris: begitu lingkarannya selesai dipecahkan tidak ada lagi yang kurang darinya, jadi tanpa kolom pertama Anda tidak dapat mengetahui mana di antara keempatnya yang diberikan. Keempat baris pertama mengambil keempat titik awal itu secara berurutan, dan yang pertama adalah masukan yang sudah terisi saat halaman dibuka. Baris ketiga yang perlu dicermati, karena ia mulai dari keliling dan memperlihatkan hitungan yang membuat angka-angka tercetak itu gagal saling mereproduksi: luas 31,831 adalah seratus dibagi π, sedangkan menguadratkan jari-jari yang tercetak akan memberi 31,8309. Baris keempat mulai dari luas seratus dan mendapat jari-jari 5,6419, yaitu akar kuadrat yang paling sering terlupa — membagi seratus dengan π akan memberi 31,831. Baris kelima dan keenam adalah lingkaran satuan dan setengahnya, dan keduanya bersama-sama membuat satu hal yang layak dilihat dua kali: luas lingkaran berjari-jari satu adalah 3,1416, yang persis sama dengan keliling lingkaran berjari-jari setengah yang tercetak satu baris di bawahnya. Empat digit yang sama berarti sebuah luas pada satu baris dan sebuah panjang pada baris lain, dan itulah pengingat paling tajam di tabel ini bahwa judul kolom membawa sebagian jawaban sama besarnya dengan angkanya. Baris ketujuh adalah lingkaran berjari-jari nol, yang setiap kolomnya nol dan jawabannya sungguhan dan bukan kosong. Baris kedelapan mulai dari luas satu juta sentimeter persegi dan memberi jari-jari 564,1896 sentimeter, sedikit di atas lima setengah meter, dan itulah jenis masukan yang memang disiapkan untuk kotak luas. Perhatikan juga bahwa kolom pertama tidak terbagi rata: empat dari delapan baris dimulai dari jari-jari, karena jari-jari adalah nilai yang menjadi acuan ketiga besaran lainnya, sedangkan diameter dan kelilingnya masing-masing muncul sekali. Setiap angka di sini dihitung ulang dari nilai awalnya saat halaman ini dibangun, dan semuanya dalam sentimeter.
Rumus
d = 2r C = 2πr = πd A = πr² dan sebaliknya: r = d ÷ 2 = C ÷ 2π = √(A ÷ π)
- Jari-jari
- Jarak dari pusat ke tepian, dalam sentimeter. Nol diperbolehkan dan menggambarkan lingkaran yang tidak berukuran, dan dalam hal itu keempat keluarannya nol
- Diameter
- Jarak melintang tepat melewati pusat, dua kali jari-jarinya. Mengisi kotak ini alih-alih jari-jarinya tidak mengubah jawabannya, karena halaman ini membaginya dua lebih dahulu
- Keliling lingkaran
- Jarak mengelilingi tepiannya, yaitu π kali diameternya. Inilah satu-satunya masukan yang memerlukan pembagian dengan 2π untuk kembali menjadi jari-jari, jadi di sinilah keempat digit yang tercetak tidak lagi cukup untuk mereproduksi besaran yang lain dengan tangan
- Luas
- Ruang di dalam lingkaran, yaitu π kali jari-jari dikuadratkan, dalam sentimeter persegi. Berjalan sebaliknya berarti membagi dengan π lalu menarik akar kuadratnya, dan itulah sebabnya kotak luas menerima nilai sampai angka yang jauh lebih besar daripada ketiga kotak panjang
- π
- Perbandingan keliling sebuah lingkaran terhadap diameternya, sekitar 3,14159. Halaman ini memakai nilai presisi penuh alih-alih memendekkannya menjadi tiga angka desimal, jadi hitungan tangan yang memakai 3,14 akan menyimpang dari jawaban yang tercetak
- Empat angka desimal
- Seberapa lebar setiap keluaran dituliskan. Jari-jari dan diameternya sering kali eksak dan tercetak dengan angka nol di belakang, sedangkan keliling dan luasnya hampir selalu irasional, sehingga untuk keduanya keempat digit itu adalah tempat jawabannya dipotong dan bukan tempat jawabannya berhenti
Halaman ini berguna justru karena sebuah lingkaran jarang datang sebagai jari-jari. Meja bundar dijual berdasarkan diameternya, panjang pagar di sekeliling petak bundar dijual per meter dan itu adalah kelilingnya, sekaleng cat menutupi sekian meter persegi sedangkan bidang yang Anda cat berbentuk lingkaran, dan roda sepeda disebut berdasarkan ukuran bannya. Masing-masing datang dengan salah satu dari empat angka yang berbeda, dan masing-masing dapat langsung masuk ke kotak yang bersesuaian. Arah sebaliknyalah tempat orang melakukan kesalahan saat mengerjakannya dengan tangan. Diberi luasnya, jari-jarinya bukan luas dibagi π — melainkan akar kuadrat dari hasil bagi itu, dan melupakan akarnya menghasilkan jari-jari yang meleset sebesar akar kuadrat dari angkanya sendiri, yang untuk taman berukuran sedang bukan kesalahan kecil. Diberi kelilingnya, jari-jarinya adalah keliling dibagi 2π, dan memakai 3,14 alih-alih nilai penuh sudah cukup untuk menggeser digit terakhir yang tercetak. Halaman ini mengerjakan keduanya dengan benar, sehingga cukup masuk akal dipakai untuk memeriksa hitungan tangan yang Anda ragukan. Satu kebiasaan perlu dibawa dari geometri di sekitar halaman ini: berapa pun yang Anda hitung, jawabannya seharusnya kira-kira sepertiga kelilingnya dan seperenam akar kuadrat luasnya, jadi kalau diameternya kembali lebih besar daripada kelilingnya, berarti masukan Anda masuk ke kotak yang salah.
Contoh hitungan
Jari-jari lima
- Diameter: 5 × 2 = 10
- Keliling: 2 × π × 5 = 31,415926…, yang dibulatkan menjadi 31,4159
- Luas: π × 5 × 5 = 78,539816…, yang dibulatkan menjadi 78,5398
- Jari-jarinya kembali tanpa berubah, karena itulah yang diberikan
Masukan yang sudah terisi saat halaman ini dibuka, dan yang paling mudah diperiksa: lingkaran berjari-jari lima punya diameter sepuluh dan luas sedikit di atas tiga perempat dari seratus, dan itu memang masuk akal karena π sedikit di atas tiga dan lima kuadrat adalah dua puluh lima. Jari-jarinya tercetak sebagai 5,0000 dan bukan 5, dan itu lebar tampilan dan bukan pernyataan tentang ketelitian — nilainya tepat lima.
Diameter dua belas
- Jari-jari: 12 ÷ 2 = 6
- Keliling: π × 12 = 37,699111…, yang dibulatkan menjadi 37,6991
- Luas: π × 6 × 6 = 113,097335…, yang dibulatkan menjadi 113,0973
- Diameternya tetap seperti yang diberikan
Bentuk yang sama yang dicapai dari ujung yang lain, sekaligus pengingat bahwa keluaran jari-jari dan diameternya eksak sedangkan dua yang lain tidak — membagi bilangan genap dengan dua tidak menimbulkan kesalahan sama sekali, sedangkan mengalikan dengan π selalu menimbulkannya. Luasnya yang sedikit di atas 113 adalah pemeriksaan yang wajar: enam kuadrat adalah tiga puluh enam dan tiga puluh enam kali π sedikit lebih dari seratus tiga belas.
Keliling dua puluh
- Jari-jari: 20 ÷ (2 × π) = 3,1830988…, yang dibulatkan menjadi 3,1831
- Diameter: jari-jari itu digandakan menjadi 6,3661977…, yang dibulatkan menjadi 6,3662
- Luas: π × jari-jari yang belum dibulatkan dikuadratkan, yaitu 100 ÷ π = 31,830988…, dan dibulatkan menjadi 31,8310
- Kelilingnya tetap seperti yang diberikan
Kasus yang memperlihatkan mengapa keempat angka yang tercetak tidak selalu dapat saling mereproduksi. Luasnya tepat seratus dibagi π, dan dihitung dari jari-jari yang belum dibulatkan dan bukan dari 3,1831 yang tampak di layar; menguadratkan jari-jari yang tercetak lalu mengalikannya dengan π memberi 31,8309. Angka yang tercetak itulah yang benar. Dibaca dari arah sebaliknya, luas lingkaran berkeliling 20 adalah sepertiga dari seratus, dan itulah pemeriksaan mental cepat yang mengatakan bahwa 31,83 berada di wilayah yang benar.
Luas seratus sentimeter persegi
- Jari-jari: √(100 ÷ π) = 5,6418958…, yang dibulatkan menjadi 5,6419
- Diameter: angka itu digandakan menjadi 11,2837916…, yang dibulatkan menjadi 11,2838
- Keliling: 2 × π × jari-jari yang belum dibulatkan = 35,449077…, yang dibulatkan menjadi 35,4491
- Luasnya tetap seperti yang diberikan
Arah yang paling sering salah di atas kertas: jari-jarinya adalah akar kuadrat dari luas dibagi π dan bukan luas dibagi π, yang akan memberi 31,831. Seratus sentimeter persegi adalah bentuk yang lebarnya sekitar sebelas sentimeter, dan itu pemeriksaan kasar yang berguna — lingkaran berjari-jari 31,8 akan berluas tiga ribu, bukan seratus. Angka 31,831 itu sendiri adalah luas yang dihitung pada contoh di atas, dari keliling dua puluh; di sini ia justru angka yang akan dihasilkan hitungan yang keliru, dan itu kebetulan dari kedua masukan ini dan bukan sesuatu yang perlu dimaknai lebih jauh.
Jari-jari nol
- Diameter: 0 × 2 = 0
- Keliling: 2 × π × 0 = 0
- Luas: π × 0 × 0 = 0
- Keempat keluarannya nol, dan itu pembacaan yang benar untuk lingkaran yang tidak berukuran
Nol di sini adalah masukan yang sah dan bukan kotak yang kosong. Lingkaran berjari-jari nol adalah satu titik, dan keempat pengukurannya nol, jadi sederet angka nol adalah jawaban yang sungguhan. Halaman ini membedakannya dari membiarkan semuanya kosong, yang ditolak dengan pesan yang meminta Anda mengisi satu kotak — bedanya adalah beda antara bentuk yang telah menyusut menjadi tidak ada dan formulir yang belum diisi.
Batasan
Keluarannya selalu sentimeter dan sentimeter persegi, apa pun satuan yang dipilih pada daftar di samping kotak isian. Memilih inci pada daftar itu mengubah cara angka Anda ditafsirkan saat masuk dan tidak mengubah sama sekali cara jawabannya ditampilkan, sehingga lingkaran yang dimasukkan sebagai sepuluh inci kembali dengan jari-jari 25,4 sentimeter. Itu pilihan yang disengaja dan tabel acuan di bawah mengikuti aturan yang sama supaya halaman ini tidak pernah bertentangan dengan dirinya sendiri, tetapi itu memang berarti Anda harus mengonversi jawabannya sendiri kalau menginginkannya dalam satuan yang Anda ketik. Keempat nilai yang tercetak masing-masing diturunkan dari nilai yang Anda masukkan dan bukan dari satu sama lain, jadi keempatnya tidak selalu saling mereproduksi sampai digit terakhir: mengalikan jari-jari yang tercetak dengan π dapat berbeda dari keliling yang tercetak pada angka desimal keempat, dan keliling yang tercetak itulah yang dapat dipercaya. Keliling dan luas hampir selalu bilangan irasional, jadi empat angka desimal adalah pemotongan dan bukan jawaban lengkap, dan membulatkan dua kali — membaca nilai yang tercetak lalu memakainya pada hitungan berikutnya — adalah cara selisih itu muncul sejak awal. Jari-jari dan diameternya eksak setiap kali masukannya eksak, tetapi keduanya juga dibulatkan ketika berasal dari luas atau dari keliling. Paling banyak satu kotak boleh diisi: dua atau lebih ditolak, karena keempat nilai itu tidak mandiri dan sepasang yang saling bertentangan tidak menggambarkan lingkaran apa pun. Halaman ini tidak menerima nilai negatif pada kotak mana pun, dan tidak akan memberi tahu Anda bahwa lingkaran dengan luas tertentu punya jari-jari yang lebih cepat Anda temukan dengan menarik akar kuadrat alih-alih membagi.
Pertanyaan yang sering diajukan
- Kotak mana yang harus saya isi?
- Tepat satu, mana pun yang kebetulan Anda ketahui. Keempatnya opsional dan salah satu saja cukup: halaman ini mengambil nilai yang Anda berikan, menghitung jari-jarinya, lalu menurunkan tiga besaran lainnya dari situ. Mengisi dua kotak ditolak dan bukan diselesaikan, karena keempat pengukuran itu tidak mandiri satu terhadap yang lain — jari-jari 5 dan diameter 12 tidak mungkin keduanya menggambarkan lingkaran yang sama, dan halaman ini lebih memilih mengatakannya daripada diam-diam memilih salah satunya.
- Mengapa jawabannya dalam sentimeter padahal saya mengetik dalam inci?
- Karena keempat keluarannya adalah satu set tetap dalam sentimeter dan sentimeter persegi, yang dipilih supaya panel hasil selalu sepakat dengan tabel acuan di bawahnya. Daftar pilihan itu mengubah cara angka Anda dipahami saat masuk, bukan cara jawabannya dituliskan, sehingga jari-jari yang dimasukkan sebagai 10 inci kembali sebagai 25,4 sentimeter. Kalau Anda memerlukan jawabannya dalam inci, bagilah keluaran panjangnya dengan 2,54 dan keluaran luasnya dengan 6,4516.
- Mengapa luasnya tidak cocok dengan jari-jari yang ditampilkan?
- Karena jari-jari yang tercetak sudah dibulatkan sedangkan luasnya tidak dihitung dari angka itu. Halaman ini menghitung luasnya dari jari-jari dengan presisi penuh dan baru membulatkan tampilannya di akhir, sehingga untuk keliling 20 luasnya adalah 31,8310, sedangkan menguadratkan jari-jari tercetak 3,1831 lalu mengalikannya dengan π memberi 31,8309. Luas yang tercetak itulah yang benar. Hal yang sama terjadi sebaliknya setiap kali Anda mengambil angka dari layar lalu memasukkannya kembali ke dalam hitungan.
- Apakah halaman ini memakai 3,14 untuk pi?
- Tidak. Halaman ini memakai presisi penuh yang tersedia pada aritmetika presisi ganda, yaitu π sampai sekitar lima belas angka penting, dan hanya membulatkan hasil yang ditampilkan. Itu berpengaruh pada angka desimal keempat: keliling yang dihitung dengan tangan memakai 3,14 biasanya akan berbeda dari jawaban yang tercetak pada satu atau dua digit terakhir, dan selisihnya berasal dari tetapan yang dipendekkan dan bukan dari kesalahan hitungan. Untuk pemeriksaan mental cepat, 3,14 sudah cukup, dan itu yang sebaiknya dipakai kebanyakan orang.
- Bagaimana cara mendapat jari-jari dari luasnya?
- Bagi luasnya dengan π lalu tarik akar kuadratnya. Akar kuadrat itulah langkah yang paling sering terlupa: tanpa akar itu Anda mendapat angka sebesar luasnya sendiri, yang untuk seratus sentimeter persegi adalah 31,831 dan bukan 5,6419 yang benar. Periksa hasilnya dengan menguadratkannya lalu mengalikannya dengan π — Anda semestinya kembali ke luas yang Anda mulai, sebatas pembulatan digit yang tercetak.
- Bisakah jari-jarinya nol?
- Bisa, dan keempat keluarannya kembali sebagai nol, dan itu gambaran yang jujur tentang lingkaran yang tidak berukuran. Nol diperlakukan sebagai masukan yang sungguhan dan bukan sebagai kotak kosong, sehingga sederet angka nol pada panel hasil bukan tanda bahwa ada sesuatu yang gagal terisi. Formulir yang benar-benar kosong berbeda: kalau tidak ada satu pun dari keempat kotak itu yang berisi nilai, halaman ini meminta Anda mengisi satu, karena tidak ada apa pun untuk dikerjakan.
Referensi
- Circle — the set of points at a fixed distance from a centre, with the relations between radius, diameter, circumference and area that this page solves in both directions — Wolfram MathWorld (United States)
- Circumference — the distance around a circle, π times the diameter, which is the relation the circumference box inverts — Wolfram MathWorld (United States)
- Pi — the ratio of a circle's circumference to its diameter, and the constant that makes the circumference and area outputs irrational for almost every input — Wolfram MathWorld (United States)