Lewati ke konten utama
CalcMax

Kalkulator Sudut Referensi

Rentang: -1.000.000 – 1.000.000

Hasil

30,00 °

Sudut acuan

Kalkulator sudut referensi ini menerima sudut apa pun dan mengembalikan sudut acuannya: sudut lancip antara sisi terminal sudut itu dan sumbu mendatar terdekat, yang selalu berada di antara 0 dan 90 derajat. Inilah angka yang menjadi dasar trigonometri, karena sinus, kosinus, dan tangen sebuah sudut besar sama dengan nilai sudut acuannya sampai tanda di depannya, dan tandanya justru bagian yang mudah — ia datang dari kuadran tempat sudut itu berada. Jadi cara baku menghitung nilai fungsi trigonometri dari, misalnya, 210 derajat adalah menyadari bahwa sudut acuannya 30 derajat, bahwa sinus 30 derajat adalah setengah, dan bahwa 210 derajat berada di Kuadran III, tempat sinusnya negatif — hasilnya minus setengah. Halaman ini mengerjakan bagian pertamanya, dan lewat tabel rujukannya bagian kedua: kuadran setiap sudut tercetak di sebelahnya. Sudutnya boleh apa saja. Ia boleh negatif, dan di situ ia diukur searah jarum jam dari sumbu mendatar dan bukan berlawanan arah; ia boleh lebih besar daripada satu putaran penuh, dan putaran lebihnya dibuang sebelum apa pun dikerjakan; ia juga boleh berupa pecahan, dan jawabannya lalu berupa pecahan juga — sudut acuan dari 100,25 derajat adalah 79,75. Apa pun yang masuk, jawabannya keluar di antara 0 dan 90 derajat, dan sifat itulah yang membuat sudut acuan berguna: ia mengubah keluarga sudut yang tak berhingga banyaknya menjadi tabel kecil yang bisa dihafalkan. Cara mencari sudut referensi dari sudut mana pun karena itu hanya dua langkah: bungkus sudutnya ke dalam satu putaran, lalu lipat ke dalam setengah putaran pertama. Satu hal yang paling sering menjebak orang adalah sudut yang tepat terletak pada sumbu. Sudut acuan adalah jarak, bukan sudut yang diputar, dan titik di 180 derajat sedang berdiri di atas sumbu mendatar, jadi sudut acuannya 0 dan bukan 180. Hal yang sama berlaku untuk 90 dan 270 derajat, yang berdiri di atas sumbu tegak dan karena itu berjarak 90 derajat dari sumbu mendatar. Keempat sudut itu tidak termasuk kuadran mana pun, dan halaman ini mengatakannya, bukan memasukkannya ke kuadran sebelahnya. Tabel di bawah berjalan mengelilingi lingkaran: satu sudut dari tiap kuadran, kedua kasus pada sumbu di tengahnya, dan dua sudut yang memperlihatkan penormalan sedang bekerja — 400 derajat yang satu putaran lebih dari 40 dan memberi jawaban yang sama dengan 40, serta −45 derajat yang merupakan cerminan dari 45 dan juga memberi 45.

Sudut acuan di sekeliling lingkaran, termasuk keempat yang terletak pada sumbu

Sudut (°)KuadranSudut acuan (°)
30Kuadran I30
135Kuadran II45
210Kuadran III30
300Kuadran IV60
90Pada sumbu90
180Pada sumbu0
400Kuadran I40
-45Kuadran IV45

Delapan sudut: satu dari tiap kuadran mengelilingi lingkaran, lalu kedua kasus pada sumbu, lalu dua sudut yang memperlihatkan langkah pembungkusan sedang bekerja. Baris-baris pada sumbu adalah yang paling layak dibaca dengan teliti. Sudut 180 derajat punya sudut acuan 0 dan bukan 180: sudut acuan adalah jarak ke sumbu mendatar, dan sisi terminal pada 180 derajat justru berbaring di atas sumbu itu. Sudut 90 derajat memberi 90, karena sisi terminalnya berdiri di atas sumbu tegak dan karena itu berjarak 90 derajat dari sumbu mendatar. Sudut 270 derajat mengikuti aturan yang sama, setengah putaran lebih jauh, dan itulah sebabnya jawaban sebuah soal sudut acuan tidak pernah lebih besar daripada 90. Kedua baris sumbu itu tidak termasuk kuadran mana pun, dan itulah sebabnya kolom kuadrannya berbunyi Pada sumbu alih-alih menyebut kuadran tetangganya. Dua baris terakhir adalah penormalannya: 400 derajat adalah satu putaran lebih dari 40 dan memberi sudut acuan yang sama dengan 40, sedangkan −45 adalah cerminan dari 45 dan juga memberi 45. Perhatikan bahwa jawabannya tidak pernah lebih besar daripada 90 dan tidak pernah negatif, apa pun yang masuk ke kolom pertama — itulah sifat yang menjadi tumpuan seluruh gagasan ini. Setiap sel dihitung ulang dari barisnya saat halaman dibangun, dalam derajat. Tabel ini memakai titik sebagai pemisah desimal, sesuai standar sistem.

Rumus

a = ((θ mod 360) + 360) mod 360 a > 180° → a = 360° − a sudut acuan = min(a, 180° − a)

θ
Sudut yang Anda isikan, dalam derajat. Ia boleh bilangan real apa pun: positif atau negatif, kurang dari satu putaran atau beberapa putaran lebih, bilangan bulat atau pecahan. Sudut negatif diukur searah jarum jam dari sumbu mendatar, yaitu kesepakatan yang dipakai pada pengukuran tanah dan pada apa pun yang berputar ke arah sebaliknya
a
Sudut yang sudah dilipat ke dalam setengah putaran pertama: baris pertama rumusnya membungkus masukan ke dalam rentang 0 sampai kurang dari 360, dan baris kedua melipat apa pun yang melewati 180 kembali ke bawah. Setelah keduanya, sudutnya berada di antara 0 dan 180, dan itu semua keterangan yang dibutuhkan sebuah sudut acuan, karena kedua belahan lingkaran adalah cerminan satu sama lain
Sudut acuan
Sudut lancip antara sisi terminal dan sumbu mendatar, dalam derajat, selalu di antara 0 dan 90. Ia jarak dan bukan putaran, dan itulah sebabnya sudut 180 derajat punya sudut acuan 0: sisi terminalnya sedang berbaring tepat di atas sumbu yang menjadi acuannya. Dicetak dua angka desimal, sama seperti halaman sudut koterminal, supaya sudut yang diberikan sampai seperempat derajat memberi jawaban pada ketelitian yang sama
mod 360
Sisa hasil pembagian dengan satu putaran penuh, dan itulah yang membuang putaran-putaran lebih. Penggandaan — tambahkan 360, lalu ambil sisanya sekali lagi — diperlukan karena operator sisa pada kebanyakan bahasa pemrograman mengembalikan hasil negatif untuk masukan negatif, sehingga −45 tanpa langkah itu akan keluar sebagai −45 dan bukan sebagai 315, dan setiap sudut negatif akan terlipat ke cabang yang salah
min(a, 180° − a)
Jarak ke bagian sumbu mendatar yang terdekat: pada lingkaran berjari-jari satu, sudut itu dan titik yang berjarak 180 derajat darinya adalah dua tempat sisi terminalnya bertemu sumbu, jadi sudut acuannya adalah yang lebih dekat di antara keduanya. Ditulis sebagai satu ungkapan dan bukan sebagai empat aturan kuadran, ia sekaligus menangani kasus-kasus pada sumbu tanpa cabang khusus — dan itulah seluruh alasan rumusnya ditulis begitu
Kuadran
Seperempat lingkaran mana yang ditempati sisi terminalnya setelah sudutnya dibungkus dan dilipat: Kuadran I adalah 0 sampai 90 derajat, Kuadran II adalah 90 sampai 180, Kuadran III adalah 180 sampai 270, dan Kuadran IV adalah 270 sampai 360. Keempat sudut yang tepat terletak pada sumbu tidak termasuk kuadran mana pun, dan halaman ini mencetaknya begitu, bukan memasukkannya ke kuadran tetangganya

Pakai halaman ini ketika Anda sedang menghitung nilai fungsi trigonometri dengan tangan, karena itulah gunanya sudut acuan, dan ketika Anda sekaligus membutuhkan kuadrannya. Keduanya berjalan bersama: sudut acuan memberi besar sinus, kosinus, atau tangen, sedangkan kuadran memberi tandanya, dan halaman yang hanya memberi salah satunya akan menyisakan separuh pekerjaan untuk Anda kerjakan dari ingatan. Sudut yang paling sering ditemui adalah sudut buku pelajaran — 120, 135, 150, 210, 225, 240, 300, 315, 330 — dan semuanya bermuara pada daftar pendek yang sama: 30, 45, dan 60 derajat. Itulah inti gagasannya. Sudutnya tak berhingga banyaknya, tetapi sudut acuan yang layak dihafal hanya beberapa, sehingga tabel sembilan sudut bisa diringkas menjadi tabel tiga sudut dan sisanya hanya pembukuan tanda. Halaman ini juga berguna sendirian, tanpa trigonometri apa pun, sebagai cara menyelaraskan sebuah arah. Kalau seorang juru ukur memberi Anda azimut 315 derajat, sudut acuan 45 memberi tahu bahwa arahnya menyimpang 45 derajat dari sumbu terdekat, dan kuadrannya memberi tahu sumbu yang mana; bacaan yang sama menjawab pertanyaan tentang arah angin, koordinat layar, dan apa pun yang diukur sebagai sudut dari arah tetap. Dua kasus layak dicoba sebelum Anda membutuhkannya. Isikan 180 dan lihat jawabannya 0 — sisi terminalnya sedang berbaring di atas sumbu, dan jarak ke sumbu itu tidak ada. Isikan −45 dan lihat jawabannya 45 — sudut negatif dibungkus dan bukan ditolak, dan sudut acuan sebuah sudut searah jarum jam sama dengan sudut acuan cerminannya yang berlawanan arah. Dan kalau Anda membandingkan halaman ini dengan kalkulator sudut koterminal, keduanya menerima masukan yang sama dan menjawab pertanyaan yang berbeda: halaman itu memberi sudut lain dengan sisi terminal yang sama, halaman ini memberi jarak sisi terminal itu ke sumbu terdekat. Keduanya bersama-sama adalah yang biasanya dibutuhkan sebuah soal trigonometri.

Contoh hitungan

  1. Sudut 210 derajat

    1. Bungkus: 210 mod 360 = 210, sudah di dalam satu putaran
    2. Lipat: 210 lebih dari 180, jadi 360 − 210 = 150
    3. Jarak ke sumbu terdekat: min(150, 180 − 150) = min(150, 30) = 30

    Sudut yang dimuat halaman ini, sekaligus kasus buku pelajaran: 210 derajat berada di Kuadran III, tempat sinus dan kosinusnya sama-sama negatif, dan sudut acuannya 30. Jadi sinus 210 derajat adalah minus sinus 30, yaitu minus setengah, dan kosinusnya minus kosinus 30, yaitu minus setengah akar tiga. Dua keterangan yang dibutuhkan untuk itu ada di halaman ini dan di tabelnya: besarnya dari sudut acuan, tandanya dari kuadran.

  2. Sudut 135 derajat

    1. Bungkus: 135 mod 360 = 135
    2. Lipat: 135 tidak lebih dari 180, jadi tetap 135
    3. Jarak ke sumbu terdekat: min(135, 180 − 135) = min(135, 45) = 45

    Kuadran II, dan sudut acuan yang layak dihafal di samping 30 dan 60. Sudut 135 derajat berada 45 derajat melewati sumbu tegak, jadi sudut acuannya 45 dan sinus serta kosinusnya sama besar — setengah akar dua — dengan sinusnya positif dan kosinusnya negatif. Perhatikan bentuk kedua langkahnya: pelipatan yang memindahkan sudut ke paruh kedua lingkaran, dan jarak yang membawanya sampai ke sumbu. Keduanya diperlukan untuk apa pun yang berada di Kuadran II, III, atau IV.

  3. Sudut 100,25 derajat

    1. Bungkus: 100,25 mod 360 = 100,25
    2. Lipat: tidak lebih dari 180, jadi tetap 100,25
    3. Jarak ke sumbu terdekat: 180 − 100,25 = 79,75

    Baris yang membenarkan adanya dua angka desimal. Sudut yang seperempat derajat melewati 100 memberi sudut acuan yang seperempat derajat kurang dari 80, dan halaman yang membulatkan jawabannya ke derajat bulat akan mencetak 80 dan salah seperempat derajat. Sudut pada rentang ini biasa ditemui pada pengukuran tanah dan astronomi, tempat sudut diukur sampai menit busur dan bukan sampai derajat bulat, dan 79,75 adalah jenis jawaban yang harus selamat melewati halaman ini tanpa berubah.

  4. Sudut 180 derajat

    1. Bungkus: 180 mod 360 = 180
    2. Lipat: 360 − 180 = 180
    3. Jarak ke sumbu terdekat: min(180, 180 − 180) = min(180, 0) = 0

    Kasus yang menjebak orang, dan alasan langkah terakhirnya ditulis sebagai jarak dan bukan sebagai sudut yang diputar. Sudut acuan mengukur berapa jauh sisi terminal dari sumbu mendatar, dan pada 180 derajat sisi terminalnya justru berbaring di atas sumbu itu, jadi jaraknya nol. Jawabannya 0 dan bukan 180, dan sudut ini tidak termasuk kuadran mana pun — tabelnya mencetaknya sebagai Pada sumbu, bukan memasukkannya ke Kuadran II atau Kuadran III, yang keduanya akan salah.

  5. Sudut −45 derajat

    1. Bungkus: −45 menjadi −45 + 360 = 315
    2. Lipat: 315 lebih dari 180, jadi 360 − 315 = 45
    3. Jarak ke sumbu terdekat: min(45, 180 − 45) = min(45, 135) = 45

    Sudut negatif, diukur searah jarum jam dari sumbu mendatar, dan baris yang memperlihatkan langkah pembungkusan menghasilkan sesuatu: −45 punya sisi terminal yang sama dengan 315 derajat, yaitu di Kuadran IV, dan sudut acuannya 45 — sama dengan sudut positif 45. Sudut searah dan berlawanan jarum jam yang besarnya sama berbagi satu sudut acuan, dan keduanya hanya berbeda kuadran, dan itulah tepatnya pembagian kerja antara kedua kolom tabel rujukan.

Batasan

Halaman ini bekerja dalam derajat, dan sudut acuan yang dicetaknya juga dalam derajat; radian tidak diterima di kotaknya dan tidak dicetak, jadi sudut yang diberikan dalam radian harus Anda ubah dulu — kalikan dengan 180 lalu bagi dengan pi. Jawabannya selalu berada di antara 0 dan 90 derajat, yang berarti dua sudut yang sangat berbeda bisa berbagi satu jawaban: 30, 150, 210, dan 330 semuanya bersudut acuan 30, dan sudut acuan saja tidak bisa memberi tahu Anda yang mana yang tadi Anda isikan. Untuk itu Anda memerlukan kuadran, dan halaman ini memberikannya di tabel tetapi tidak mencetaknya di panel hasil, karena tiap kuadran tidak ada yang lebih baik atau lebih buruk dan lencana di situs ini baru berarti ketika muncul. Keempat sudut yang tepat terletak pada sumbu tidak termasuk kuadran mana pun, dan halaman ini mengatakannya alih-alih menetapkannya ke kuadran terdekat; pembaca yang membutuhkannya berkelompok dengan sebuah kuadran harus memutuskan sendiri konvensi buku pelajarannya. Kotak sudutnya menerima apa pun sampai satu juta derajat ke kedua arah, jauh melewati kebutuhan nyata mana pun, tetapi putaran lebihnya dibuang, jadi halaman ini bukan alat untuk menghitung jumlah putaran. Keluarannya adalah lebar tampilan dua angka desimal dan bukan klaim ketelitian: lebar itu pas untuk sudut yang diukur sampai seperempat atau seperseratus derajat, dan terlalu longgar untuk sudut yang diukur sampai derajat terdekat. Halaman ini tidak menghitung nilai fungsi trigonometri — ia memberi sudut acuan dan, di tabelnya, kuadrannya, yaitu kedua bahannya, tetapi nilai sinus, kosinus, atau tangennya adalah langkah terpisah yang tidak diambil halaman ini. Ia juga tidak berbicara tentang sudut dalam ruang tiga dimensi, koordinat bola, atau perputaran yang tidak mengelilingi sumbu tetap pada sebuah bidang, yang semuanya memakai gagasan serumpun tetapi bukan gagasan yang satu ini.

Pertanyaan yang sering diajukan

Bagaimana cara mencari sudut referensi sudut yang berada di Kuadran III?
Kurangkan 180 darinya. Sudut 210 derajat di Kuadran III punya sudut acuan 30; sudut 240 punya 60; sudut 225 punya 45. Aturan umumnya untuk seluruh lingkaran adalah: kurangkan 180 untuk sudut antara 180 dan 270, kurangkan sudutnya dari 360 untuk sudut antara 270 dan 360, kurangkan dari 180 di Kuadran II, dan biarkan apa adanya di Kuadran I. Halaman ini menerapkan keempat aturan itu lewat satu ungkapan, dan karena itulah ia sekaligus menangani kasus-kasus pada sumbu yang justru salah kalau dihitung dengan keempat aturan tadi.
Kenapa sudut acuan dari 180 derajat bukan 180?
Karena sudut acuan adalah jarak dan bukan putaran. Ia mengukur berapa jauh sisi terminal dari sumbu mendatar, dan pada 180 derajat sisi terminalnya justru berbaring di sepanjang sumbu itu — jaraknya nol. Penalaran yang sama memberi 90 untuk 90 dan 270 derajat, karena kedua sisi terminal itu berdiri di atas sumbu tegak dan berjarak 90 derajat dari sumbu mendatar. Keempat sudut itu terletak pada sumbu dan tidak termasuk kuadran mana pun, dan tabel halaman ini mencetaknya begitu alih-alih memasukkannya ke kuadran terdekat.
Bisakah sudut acuan bernilai negatif?
Tidak. Jawabannya selalu antara 0 dan 90 derajat, apa pun yang masuk. Sudut negatif tidak ditolak: −45 derajat diukur searah jarum jam dari sumbu mendatar, yang sisi terminalnya sama dengan 315 derajat, dan sudut acuannya 45. Sudut searah dan berlawanan jarum jam yang besarnya sama berbagi satu sudut acuan dan hanya berbeda kuadran tempat keduanya berakhir.
Sudut referensi mana saja yang perlu dihafal?
Tiga: 30, 45, dan 60 derajat. Setiap sudut yang ditanyakan buku pelajaran bermuara pada salah satunya — 120, 135, 150, 210, 225, 240, 300, 315, dan 330 semuanya turun ke salah satu dari ketiganya — dan sisa pekerjaannya adalah memilih tanda dari kuadran. Peringkasan itulah seluruh inti sudut acuan: sudutnya tak berhingga banyaknya, tetapi hanya segelintir yang nilai trigonometrinya perlu Anda ketahui.
Apa bedanya sudut acuan dengan sudut koterminal?
Sudut koterminal adalah sudut lain yang berakhir di tempat yang sama: 400 derajat dan 40 derajat punya sisi terminal yang sama, dan kalkulator sudut koterminal adalah halaman untuk itu. Sudut acuan adalah berapa jauh sisi terminal itu dari sumbu mendatar terdekat, selalu di antara 0 dan 90 derajat. Keduanya menerima masukan yang sama dan menjawab pertanyaan yang berbeda, dan sebuah soal trigonometri biasanya membutuhkan keduanya: sisi terminalnya diketahui letaknya, dan jaraknya ke sumbu.
Apakah sudut −45 derajat punya sudut acuan yang sama dengan 45 derajat?
Ya, keduanya 45. Kedua sudut itu cerminan satu sama lain terhadap sumbu mendatar, jadi jaraknya ke sumbu itu sama, dan keduanya hanya berbeda di sisi mana dari sumbu itu mereka berada — 45 derajat ada di Kuadran I dan −45, atau 315, ada di Kuadran IV. Inilah sebabnya jawaban sebuah pertanyaan sudut acuan tidak pernah cukup sendirian untuk memastikan sudut yang tadi Anda isikan.

Referensi

Kalkulator terkait

Kalkulator Sudut KoterminalSudut koterminal dengan sudut Anda, positif atau negatif.Kalkulator Lingkaran SatuanSinus, kosinus, dan tangen suatu sudut dari lingkaran satuan.Kalkulator Panjang BusurPanjang busur antara dua titik pada sebuah lingkaran.Kalkulator Sudut PusatSudut yang dibentuk busur di titik pusat lingkaran.