Mengapa tangen tidak punya nilai pada 90 derajat?

Karena tangen adalah sinus dibagi kosinus, dan pada sembilan puluh derajat kosinusnya nol. Titiknya sudah berpindah ke puncak lingkaran, koordinat x-nya nol, dan tidak ada yang bisa dibagi. Cara yang jujur untuk mengatakannya adalah tangen di situ tidak punya nilai — bukan bahwa nilainya sangat besar. Sinus dan kosinus pada sudut itu keduanya terdefinisi dengan baik, satu dan nol, dan tabel di bawah tetap mencantumkan keduanya.

Sudutnya saya ketik dalam derajat atau radian?

Boleh keduanya — ada pemilih satuan di samping kotak isiannya, dan bacaannya adalah sudut yang sama entah satuannya apa. Tiga puluh derajat dan 0,5236 radian memberi tiga bilangan yang sama sampai empat tempat. Perbedaannya baru muncul ketika Anda membandingkannya dengan sumber yang mengandaikan salah satu satuan, dan itu hampir semua buku pelajaran: halaman yang mengatakan sinus tiga puluh adalah setengah sedang berbicara tentang derajat.

Tabel trigonometri di bawah itu untuk apa?

Dua belas sudut, empat sudut tiap putaran, dengan ketiga fungsinya pada setiap baris. Kedua belas sudut itu bersama-sama mencakup setiap kombinasi tanda yang bisa diambil ketiga fungsi ini, kedua kutub tangennya, dan keempat kuadran. Bacalah satu kolom pada satu waktu dan pola setiap fungsinya menjadi terlihat: sinusnya memanjat ke satu lalu turun kembali, kosinusnya berbentuk sama tetapi bergeser, dan tangennya berulang setiap setengah putaran dan bukan setiap putaran penuh.

Bisakah sudutnya negatif, atau lebih dari 360 derajat?

Bisa keduanya, dan tidak satu pun merupakan kasus khusus. Sudut negatif berputar searah jarum jam dan bukan berlawanan arah, sehingga mendarat di titik yang sama dengan pasangan positifnya setelah ditambah satu putaran penuh: minus tiga puluh derajat dan tiga ratus tiga puluh derajat adalah sudut yang sama dan memberi ketiga bacaan yang sama. Sudut yang melewati satu putaran penuh terus berputar — tiga ratus sembilan puluh derajat adalah tiga puluh derajat lagi. Hanya posisi akhirnya yang penting, jadi kalkulator ini mereduksi sudutnya lebih dulu lalu membaca perbandingan trigonometrinya dari situ.

Apa bedanya halaman ini dengan halaman lingkaran satuan?

Keduanya memakai satu kotak isian yang sama dan hasilnya sepakat sampai angka terakhir, dan itu memang disengaja — keduanya dimaksudkan untuk saling diperiksa. Bedanya ada pada apa yang ditampilkan. Halaman lingkaran satuan dibangun di sekitar gambarannya: sebuah titik pada lingkaran berjari-jari satu, koordinatnya, dan sudut-sudut istimewa beserta nilai eksaknya. Halaman ini dibangun di sekitar fungsinya dan sudut-sudut yang sulit digambar: sudut negatif, sudut yang melewati satu putaran penuh, dan kedua sudut tempat tangen sama sekali tidak punya nilai.

Mengapa empat angka di belakang koma dan bukan lebih banyak?

Karena empat sudah cukup untuk membedakan jawaban buku pelajaran dari jawaban yang salah, dan setelah itu angkanya berhenti berbicara tentang sudutnya. Nilai eksak pada sebagian besar sudut di tabel itu adalah akar dan pecahan, dan deret desimalnya tidak berhenti maupun berulang — kosinus tiga puluh derajat adalah akar tiga per dua, dan 0,8660254037844386 hanyalah pemotongan darinya, bukan bilangan yang lain. Mencetak lebih banyak angka hanya akan menyiratkan ketelitian yang tidak dimiliki sudut itu.

Kalkulator Trigonometri

Hasil

0,5000

Sinus

Kosinus: 0,8660
Tangen: 0,5774

Kalkulator trigonometri menerima satu sudut lalu mengembalikan sinus, kosinus, dan tangennya. Ketik sudutnya, sebutkan apakah satuannya derajat atau radian, dan halaman ini mengembalikan ketiganya sekaligus — tiga bilangan yang menggambarkan ke mana sudut itu mendarat. Sinus dan kosinus adalah dua koordinat dari satu titik. Gambarlah lingkaran berjari-jari satu yang pusatnya di titik asal, mulai dari sumbu x positif, lalu putar berlawanan arah jarum jam sejauh sudut Anda: titik tempat Anda berhenti punya koordinat x dan koordinat y, dan kedua koordinat itulah kosinus dan sinusnya. Tangen adalah perbandingan antara keduanya, sinus dibagi kosinus, dan sekaligus kemiringan garis yang berjalan dari titik asal ke titik tersebut. Karena tangen adalah perbandingan dan bukan koordinat, ia melakukan sesuatu yang tidak pernah dilakukan kedua kerabatnya: ia bisa habis. Di tempat kosinusnya nol — pada sudut siku-siku, dan pada tiga per empat putaran — tidak ada yang bisa dibagi, jadi tangen di situ bukan bilangan yang sangat besar, melainkan bukan bilangan sama sekali. Halaman ini menolak sudut-sudut itu dan menyebutkannya, bukan mencetak nilai raksasa lalu membiarkan Anda menebak-nebak bahwa maksudnya sama. Ada satu hal lagi yang khas Indonesianya: ketiga perbandingan ini di sekolah dihafal lewat singkatan sinDeMi — sinus sama dengan sisi depan dibagi sisi miring, kosinus sama dengan sisi samping dibagi sisi miring, dan tangen sama dengan sisi depan dibagi sisi samping — dan ketiga perbandingan itulah yang dikembalikan halaman ini sekaligus, bukan satu per satu. Tabel di bawah menyusun ketiganya pada dua belas sudut, empat sudut tiap putaran, supaya polanya terlihat dan bukan sekadar dipercaya. Sudut yang melewati satu putaran penuh adalah masukan biasa di sini: tiga ratus sembilan puluh derajat adalah sudut yang sama dengan tiga puluh derajat, dan halaman ini membacanya begitu. Semua yang di bawah ditampilkan sampai empat angka di belakang koma — cukup untuk diperiksa terhadap buku pelajaran, dan jujur tentang kenyataan bahwa jawaban eksak di sini adalah akar dan pecahan yang tidak bisa diselesaikan oleh bilangan desimal mana pun. Halaman-halaman sinus, kosinus, dan tangen di sebelahnya memberi satu perbandingan saja pada satu waktu; halaman ini memberi ketiganya bersama-sama, dan nilainya sama persis di semua sudut yang dibaca oleh keduanya.

Sinus, kosinus, dan tangen pada dua belas sudut mengelilingi lingkaran

θ (derajat)	sin θ	cos θ	tan θ
0	0	1	0
30	0.5	0.866	0.5774
45	0.7071	0.7071	1
60	0.866	0.5	1.7321
90	1	0	—
120	0.866	-0.5	-1.7321
135	0.7071	-0.7071	-1
150	0.5	-0.866	-0.5774
180	0	-1	0
210	-0.5	-0.866	0.5774
270	-1	0	—
330	-0.5	0.866	-0.5774

Dua belas sudut, empat sudut tiap putaran, dan kedua tanda pisah di kolom tangen itulah inti tabel ini: pada sembilan puluh derajat dan pada dua ratus tujuh puluh derajat tangennya tidak punya nilai, dan halaman ini mengatakannya dengan tanda pisah dan bukan dengan bilangan yang besar. Bacalah kolom sinus dari atas dan nilainya naik dari nol ke satu pada seperempat putaran pertama, turun kembali ke nol pada setengah putaran, menjadi negatif, lalu kembali — satu gelombang penuh setiap putaran. Kolom kosinus adalah gelombang yang sama tetapi seperempat putaran lebih awal. Tangennya berbeda jenis: ia berulang setiap setengah putaran dan bukan setiap putaran penuh, dan itulah sebabnya empat baris dari nol sampai seratus delapan puluh derajat sudah memuat seluruh kisahnya. Perhatikan juga di mana kedua kolom yang positif itu memuncak: sinusnya mencapai satu di sembilan puluh derajat tepat di tempat kosinusnya mencapai nol, dan tangennya adalah perbandingan keduanya, dan itulah yang menjadikan sudut itu kutubnya.

Rumus

sin θ = depan ÷ sisi miring cos θ = samping ÷ sisi miring tan θ = sin θ ÷ cos θ

θ: Sudutnya, dalam derajat atau radian. Nilainya boleh negatif dan boleh lebih besar daripada satu putaran penuh — yang penting hanya di mana sudut itu mendarat di lingkaran
depan / samping: Kedua sisi tegak pada segitiga siku-siku yang memuat sudut θ: sisi di hadapan θ dan sisi di sampingnya. Di atas sisi miring yang panjangnya satu, keduanya menjadi dua koordinat yang dibaca oleh sinus dan kosinus
sisi miring: Sisi terpanjang pada segitiga siku-siku, yaitu sisi di hadapan sudut siku-sikunya. Membagi dengan sisi inilah yang menjaga sinus dan kosinus tetap berada di antara minus satu dan satu

Halaman ini menjawab satu pertanyaan dengan tiga cara: diberi sebuah sudut, berapa sinus, kosinus, dan tangennya? Pakailah ketika sudutnya sudah Anda punya — kemiringan atap yang Anda ketahui dalam derajat dan ingin Anda ubah menjadi angka kemiringan, sebuah fase yang Anda ketahui dalam radian, atau sebuah arah yang sebentar lagi Anda uraikan menjadi komponen-komponennya — dan Anda ingin ketiga perbandingan trigonometrinya bersama-sama dan bukan satu per satu. Tabel nilai fungsi trigonometri pada dua belas sudut ada untuk alasan yang sama: sebagian besar sudut yang benar-benar ditemui orang adalah salah satu dari kedua belas itu, dan menempatkan ketiga fungsinya berdampingan adalah cara Anda menyadari bahwa sinus tiga puluh derajat dan kosinus enam puluh derajat adalah bilangan yang sama. Pakailah halaman lingkaran satuan kalau yang ingin Anda bayangkan justru titiknya sendiri, dan halaman segitiga siku-siku kalau yang Anda ketahui dua sisi dan bukan sebuah sudut. Dan kalau yang Anda punya sebuah perbandingan dan Anda ingin sudutnya kembali, itu arah yang terbalik — sinus, kosinus, dan tangen sebuah sudut tidak memberi tahu Anda sudutnya, dan halaman-halaman invers yang mengerjakan pekerjaan itu.

Contoh hitungan

Sudut 30 derajat
1. Sudutnya berada di kuadran pertama, jadi ketiga bacaannya positif
2. Titik pada 30 derajat di lingkaran berjari-jari satu adalah (√3/2, 1/2)
3. Jadi kosinusnya √3/2 dan sinusnya 1/2, sedangkan tangennya perbandingan keduanya, yaitu √3/3
Sudut yang dipakai halaman ini saat dibuka, sekaligus baris pertama tabel di bawah. Nilai eksaknya adalah setengah, akar tiga per dua, dan akar tiga per tiga; angka desimal yang ditampilkan adalah ketiganya yang dibulatkan ke empat tempat, dan 0,5774 adalah yang paling layak diperhatikan — sepertiga dari sebuah akar, bukan bilangan desimal yang berulang.
Sudut 45 derajat
1. Pada 45 derajat titiknya berada di garis y = x, jadi kedua koordinatnya sama besar
2. Koordinat yang sama besar berarti sinus dan kosinusnya bilangan yang sama, yaitu √2/2
3. Perbandingan dua bilangan yang sama besar tepat 1, dan itulah sebabnya tangennya eksak di sini
Satu-satunya sudut di bawah sembilan puluh derajat yang tangennya eksak — 1, bukan 0,9999. Sinus dan kosinusnya sama-sama 0,7071, dan itu nilai tertinggi yang dicapai salah satu dari keduanya di kuadran pertama setelah 45 derajat: melewati sudut ini sinusnya terus naik sedangkan kosinusnya mulai turun. Ini juga satu-satunya sudut tempat tangen sama dengan sinus dibagi kosinus dan jawabannya keluar bersih.
Sudut di kuadran kedua, 135 derajat
1. 135 derajat adalah 45 derajat setelah sudut siku-siku, jadi titiknya berada di kuadran kedua
2. Koordinat y-nya masih positif, jadi sinusnya masih 0,7071
3. Koordinat x-nya kini negatif, jadi kosinusnya −0,7071
4. Tangennya adalah perbandingan bilangan positif terhadap bilangan negatif, jadi nilainya negatif
Tanda inilah gunanya contoh ini. Sinus 135 derajat tepat sama dengan sinus 45 derajat, kosinusnya sudah berbalik tanda, dan tangennya ikut berbalik. Kalau tabel di bawah dibaca dari atas ke bawah, kolom sinusnya positif pada dua kuadran pertama dan negatif pada dua kuadran terakhir; kolom kosinusnya berubah di sembilan puluh derajat; dan kolom tangennya juga berubah di sembilan puluh derajat, yaitu tempat yang sama dengan tempat ia habis.

Batasan

Ada tiga hal yang tidak dilakukan halaman ini. Halaman ini membaca sudut lalu memberi perbandingan; ia tidak berjalan ke arah sebaliknya. Kalau Anda punya 0,5 dan ingin tahu sudut yang sinusnya sebesar itu, tidak ada apa pun di sini yang akan memberitahukannya — halaman-halaman invers yang mengerjakan itu, dan itu pertanyaan yang benar-benar berbeda dengan himpunan jawaban yang benar-benar berbeda pula, sebab sinus 0,5 dimiliki oleh lebih dari satu sudut. Kedua, tangen pada sudut siku-siku atau pada tiga per empat putaran ditolak dan bukan didekati, dan penolakan yang sama mencakup setiap sudut yang menyusut menjadi salah satu dari kedua sudut itu, termasuk sudut negatif dan sudut yang melewati satu putaran penuh. Itu perlakuan yang jujur, tetapi konsekuensinya sebuah sudut 450 derajat mengembalikan kesalahan padahal 450 derajat adalah sudut yang sepenuhnya wajar bagi sinus dan kosinusnya. Ketiga, bacaannya diberikan sampai empat angka di belakang koma. Untuk kedua belas sudut di tabel itu tidak cukup untuk melihat jawaban eksaknya — kosinus tiga puluh derajat di sini 0,866 sedangkan nilai eksaknya √3/2 — dan tidak ada deret desimal yang cukup, karena nilai eksak pada sudut-sudut itu irasional. Tabel di bawah mencetak angka desimalnya; kalau Anda membutuhkan akarnya sendiri, akar-akar itu ada di tabel nilai eksak yang baku.

Pertanyaan yang sering diajukan

Mengapa tangen tidak punya nilai pada 90 derajat?: Karena tangen adalah sinus dibagi kosinus, dan pada sembilan puluh derajat kosinusnya nol. Titiknya sudah berpindah ke puncak lingkaran, koordinat x-nya nol, dan tidak ada yang bisa dibagi. Cara yang jujur untuk mengatakannya adalah tangen di situ tidak punya nilai — bukan bahwa nilainya sangat besar. Sinus dan kosinus pada sudut itu keduanya terdefinisi dengan baik, satu dan nol, dan tabel di bawah tetap mencantumkan keduanya.
Sudutnya saya ketik dalam derajat atau radian?: Boleh keduanya — ada pemilih satuan di samping kotak isiannya, dan bacaannya adalah sudut yang sama entah satuannya apa. Tiga puluh derajat dan 0,5236 radian memberi tiga bilangan yang sama sampai empat tempat. Perbedaannya baru muncul ketika Anda membandingkannya dengan sumber yang mengandaikan salah satu satuan, dan itu hampir semua buku pelajaran: halaman yang mengatakan sinus tiga puluh adalah setengah sedang berbicara tentang derajat.
Tabel trigonometri di bawah itu untuk apa?: Dua belas sudut, empat sudut tiap putaran, dengan ketiga fungsinya pada setiap baris. Kedua belas sudut itu bersama-sama mencakup setiap kombinasi tanda yang bisa diambil ketiga fungsi ini, kedua kutub tangennya, dan keempat kuadran. Bacalah satu kolom pada satu waktu dan pola setiap fungsinya menjadi terlihat: sinusnya memanjat ke satu lalu turun kembali, kosinusnya berbentuk sama tetapi bergeser, dan tangennya berulang setiap setengah putaran dan bukan setiap putaran penuh.
Bisakah sudutnya negatif, atau lebih dari 360 derajat?: Bisa keduanya, dan tidak satu pun merupakan kasus khusus. Sudut negatif berputar searah jarum jam dan bukan berlawanan arah, sehingga mendarat di titik yang sama dengan pasangan positifnya setelah ditambah satu putaran penuh: minus tiga puluh derajat dan tiga ratus tiga puluh derajat adalah sudut yang sama dan memberi ketiga bacaan yang sama. Sudut yang melewati satu putaran penuh terus berputar — tiga ratus sembilan puluh derajat adalah tiga puluh derajat lagi. Hanya posisi akhirnya yang penting, jadi kalkulator ini mereduksi sudutnya lebih dulu lalu membaca perbandingan trigonometrinya dari situ.
Apa bedanya halaman ini dengan halaman lingkaran satuan?: Keduanya memakai satu kotak isian yang sama dan hasilnya sepakat sampai angka terakhir, dan itu memang disengaja — keduanya dimaksudkan untuk saling diperiksa. Bedanya ada pada apa yang ditampilkan. Halaman lingkaran satuan dibangun di sekitar gambarannya: sebuah titik pada lingkaran berjari-jari satu, koordinatnya, dan sudut-sudut istimewa beserta nilai eksaknya. Halaman ini dibangun di sekitar fungsinya dan sudut-sudut yang sulit digambar: sudut negatif, sudut yang melewati satu putaran penuh, dan kedua sudut tempat tangen sama sekali tidak punya nilai.
Mengapa empat angka di belakang koma dan bukan lebih banyak?: Karena empat sudah cukup untuk membedakan jawaban buku pelajaran dari jawaban yang salah, dan setelah itu angkanya berhenti berbicara tentang sudutnya. Nilai eksak pada sebagian besar sudut di tabel itu adalah akar dan pecahan, dan deret desimalnya tidak berhenti maupun berulang — kosinus tiga puluh derajat adalah akar tiga per dua, dan 0,8660254037844386 hanyalah pemotongan darinya, bukan bilangan yang lain. Mencetak lebih banyak angka hanya akan menyiratkan ketelitian yang tidak dimiliki sudut itu.

Referensi

Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, their domains, and why the tangent is undefined where the cosine is zero — Wolfram MathWorld (United States)
Sine — the function the unit circle reads off as the y-coordinate, its period, and the values it takes at the special angles — Wolfram MathWorld (United States)
Tangent — the ratio the other two functions produce, its period of half a turn rather than a whole one, and its poles at ninety and two hundred and seventy degrees — Wolfram MathWorld (United States)
Sine, Cosine and Tangent — a first-principles walk through the three ratios in a right triangle, with the special angles worked out rather than asserted — Math is Fun (United Kingdom)

Kalkulator terkait

Kalkulator Lingkaran SatuanSinus, kosinus, dan tangen suatu sudut dari lingkaran satuan.Kalkulator Segitiga Siku-sikuHitung segitiga siku-siku dari dua nilai: sisi, sudut, luas.Kalkulator KosinusKosinus suatu sudut dalam derajat atau radian, plus tabelnya.Kalkulator KotangenKotangen sudut dengan tabel tangen sebagai pembandingnya.