Kalkulator Kosinus
Hasil
Kosinus
Kalkulator kosinus menghitung nilai kosinus sudut mana pun, yaitu perbandingan sisi samping sudut itu terhadap sisi terpanjang pada segitiga siku-siku yang dibangun di sekitarnya. Namun ada cara membaca yang lebih berguna: kosinus adalah salah satu koordinat sebuah titik. Gambarkan lingkaran berjari-jari satu yang pusatnya di titik asal, mulai dari sumbu x positif, lalu putar berlawanan arah jarum jam sebesar sudut Anda — titik tempat Anda berhenti punya koordinat x, dan koordinat x itulah kosinusnya. Sinus adalah koordinat yang satunya dan tangen adalah hasil bagi keduanya, tetapi kosinuslah yang memberi tahu seberapa jauh Anda sudah bergeser ke samping: berapa bagian dari perjalanan Anda yang mengarah ke kanan dan bukan ke atas. Dua sifat mengikuti gambaran itu, dan keduanya layak diketahui sebelum Anda memakai angkanya. Pertama, kosinus tidak pernah keluar dari rentang minus satu sampai satu, karena titik pada lingkaran berjari-jari satu tidak mungkin punya koordinat x di luar rentang itu; nilainya satu pada 0 derajat, nol pada sudut siku-siku, minus satu pada setengah putaran, dan kembali nol pada tiga perempat putaran. Kedua, kosinus adalah fungsi genap: memutar sudut negatif membawa Anda ke bawah sumbu, tetapi koordinat x-nya sama dengan yang akan Anda dapatkan bila memutar sudut yang sama ke arah sebaliknya, jadi kosinus minus 60 derajat dan kosinus 60 derajat adalah bilangan yang sama. Berbeda dari tangen dan kotangen, fungsi ini terdefinisi pada setiap sudut yang bisa Anda ketik — tidak ada sudut yang membuatnya tidak punya nilai, dan itulah sebabnya halaman ini tidak pernah menolak bacaan. Tabel di bawah memuat kosinus pada dua belas sudut mengelilingi lingkaran, empat per putaran, dan membaca satu kolom itu dari atas ke bawah adalah cara tercepat untuk melihat bentuk fungsi kosinus secara utuh.
Kosinus dua belas sudut mengelilingi lingkaran
| θ (derajat) | cos θ |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 30 | 0.866 |
| 45 | 0.7071 |
| 60 | 0.5 |
| 90 | 0 |
| 120 | -0.5 |
| 135 | -0.7071 |
| 150 | -0.866 |
| 180 | -1 |
| 210 | -0.866 |
| 270 | 0 |
| 330 | 0.866 |
Dua belas sudut, satu kolom, dan seluruh bentuk fungsinya dalam sekali pandang: satu pada 0 derajat, turun ke nol pada sudut siku-siku, melewati minus setengah pada 120 derajat, sampai minus satu pada setengah putaran, lalu naik lagi melewati nol pada 270 derajat hingga setengah pada 330 derajat. Empat dari bacaan itu eksak — satu, nol, minus setengah, dan minus satu — sedangkan sisanya bentuk akar yang dibulatkan ke empat tempat; polanya sama saja pada keduanya. Dua baris sengaja ada di tabel ini karena keduanya adalah negatif dari dua baris yang lain: 330 derajat memuat nilai yang sama dengan 30 derajat, dan 210 derajat memuat nilai yang sama dengan 150 derajat, sebab kosinus sebuah sudut dan kosinus negatifnya selalu bilangan yang sama.
Rumus
cos θ = sisi samping ÷ sisi miring cos θ = koordinat x titik tempat θ mendarat
- θ
- Sudut yang diukur, dalam derajat atau radian. Boleh negatif dan boleh lebih besar dari satu putaran penuh — yang penting hanya di mana sudut itu mendarat di lingkaran
- sisi samping
- Sisi yang berada di samping sudut θ pada segitiga siku-siku yang dibangun di sekitarnya: sisi yang bukan sisi di seberang θ dan bukan pula sisi miringnya
- sisi miring
- Sisi terpanjang, yang berada di seberang sudut siku-siku. Panjangnya selalu paling sedikit sama dengan sisi samping, dan itulah sebabnya perbandingannya tidak pernah melewati satu
Pakailah halaman ini ketika Anda ingin satu angka dan bukan tiga: kosinus sudut fase yang akan Anda uraikan menjadi komponen, bagian gaya yang bekerja sepanjang sebuah permukaan, atau koordinat x sebuah titik yang sedang Anda putar. Tabel nilai kosinus di bawah mencakup dua belas sudut, empat per putaran, dan itulah cara tercepat untuk melihat seluruh bentuk fungsi kosinus — dimulai dari satu, turun ke nol pada sudut siku-siku, mencapai minus satu pada setengah putaran, lalu kembali. Kalau Anda juga membutuhkan sinus dan tangen dari sudut yang sama, halaman trigonometri mencetak ketiganya bersamaan dan angkanya sepakat sampai desimal terakhir; kalau yang ingin Anda bayangkan justru titiknya sendiri, halaman lingkaran satuan dibangun tepat di sekitar hal itu. Dan kalau yang Anda punya adalah nilai kosinus sementara yang dicari sudutnya — kosinus 0,5 dimiliki lebih dari satu sudut, jadi pertanyaannya berbeda dan jawabannya sekumpulan angka, bukan satu — halaman kosinus invers yang mengerjakannya.
Contoh hitungan
Sudut 60 derajat
- Putar 60 derajat berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif
- Titik yang Anda datangi adalah (1/2, √3/2)
- Koordinat x-nya adalah kosinusnya, jadi kosinusnya 1/2 — angka √3/2 itu milik sinus
Sudut yang dimuat halaman ini sejak awal, dan sudut yang paling layak dibandingkan dengan halaman trigonometri: di sana sudut yang sama memberi kosinus 0,5 dan sinus 0,866, dan 0,5 memang persis yang Anda dapat di sini. Pasangan itu pengingat paling jelas bahwa kosinus 60 derajat dan sinus 30 derajat adalah angka yang sama, karena 60 dan 30 adalah dua sudut lancip pada satu segitiga siku-siku.
Sudut 0 derajat, nilai terbesar yang bisa dicapai kosinus
- Nol derajat berarti tidak ada putaran sama sekali: titiknya masih berada di sumbu x positif
- Koordinatnya adalah (1, 0)
- Koordinat x-nya 1, jadi kosinusnya 1
Satu adalah langit-langitnya. Kosinus tidak bisa melampauinya pada sudut mana pun, karena ia adalah koordinat x sebuah titik yang jaraknya satu satuan dari titik asal, dan tidak ada titik semacam itu yang lebih jauh ke kanan daripada satu. Nilai itu dicapai pada 0 derajat dan lagi pada setiap putaran penuh sesudahnya — 360, 720 — dan tidak di tempat lain di antaranya.
Sudut di kuadran kedua, 120 derajat
- Seratus dua puluh derajat adalah sepertiga putaran, jadi titiknya berada di kuadran kedua
- Koordinat x-nya kini di sebelah kiri titik asal, jadi nilainya negatif
- Besar bacaannya sama dengan pada 60 derajat, hanya tandanya yang berbalik
Setelah melewati sudut siku-siku, titiknya menyeberang ke kiri sumbu y dan kosinusnya menjadi negatif, dan tetap begitu sampai 270 derajat. Inilah hal paling berguna yang diberitahukan tanda kosinus: kosinus yang negatif berarti arah yang sedang Anda gambarkan menunjuk ke belakang, apa pun yang sedang dilakukan sinusnya.
Sudut negatif, minus 60 derajat
- Sudut negatif berputar searah jarum jam, bukan berlawanan arah
- Titiknya mendarat di bawah sumbu x, pada (1/2, −√3/2)
- Koordinat x-nya tetap 1/2, jadi kosinusnya tidak berubah
Kosinus adalah fungsi genap: ia memberi jawaban yang sama untuk sebuah sudut dan untuk negatifnya. Sinus dan tangen tidak begitu — keduanya berubah tanda di sini. Pada tabel dengan satu kolom hal ini mudah dilihat, dan itulah sebabnya dua belas sudut di bawah memuat dua sudut yang merupakan negatif dari sudut di seberangnya.
Batasan
Dua hal yang perlu diingat. Pertama, bacaannya diberikan sampai empat angka di belakang koma, dan untuk sebagian besar sudut di tabel nilai eksaknya adalah bentuk akar atau pecahan yang tidak bisa dihabiskan desimal mana pun: kosinus 30 derajat adalah akar tiga per dua, dan 0,866 adalah tempat angka itu mendarat setelah pembulatan, bukan angkanya sendiri. Sudut yang nilainya eksak — 0, 60, 90, 120, dan 180 derajat — adalah sudut yang bacaannya terlihat bersih, dan itu sifat sudut-sudut tersebut, bukan sifat kalkulatornya. Kedua, halaman ini tidak bisa dipakai ke arah sebaliknya. Kosinus 0,5 dimiliki oleh 60 derajat, oleh 300 derajat, dan oleh tak hingga sudut lain di luar keduanya, karena fungsinya berulang setiap putaran penuh dan bercermin terhadap nol; memulihkan satu sudut saja dari sebuah kosinus menuntut keputusan tambahan tentang rentang mana yang Anda inginkan, dan itulah tugas halaman kosinus invers.
Pertanyaan yang sering diajukan
- Adakah sudut yang kosinusnya tidak ada?
- Tidak ada. Kosinus terdefinisi pada setiap sudut, termasuk sudut-sudut yang membuat tangen tidak punya nilai: pada 90 derajat kosinusnya nol dan pada 270 derajat kosinusnya nol lagi, keduanya angka yang sepenuhnya biasa. Itulah perbedaan kedua fungsi itu dalam satu kalimat — tangen adalah perbandingan yang bisa terbagi nol, sedangkan kosinus tidak pernah. Karena itu halaman ini tidak pernah menolak bacaan.
- Mengapa kosinus 60 derajat sama dengan sinus 30 derajat?
- Karena 60 dan 30 adalah dua sudut lancip pada satu segitiga siku-siku. Pada segitiga itu, sisi di samping sudut 60 derajat adalah sisi di seberang sudut 30 derajat, jadi perbandingan yang memberi kosinus sudut yang satu adalah perbandingan yang memberi sinus sudut yang lain. Tabel di bawah memperlihatkan hal yang sama dari sisi lingkaran: kolom kosinus dan kolom sinus memuat angka yang sama, hanya bergeser seperempat putaran.
- Apa arti kosinus yang bernilai negatif?
- Artinya arah yang sedang Anda gambarkan menunjuk ke kiri sumbu y — lebih dari seperempat putaran dari titik awal, dan kurang dari tiga perempat putaran. Itu bukan kesalahan dan bukan nilai yang lebih kecil: minus setengah lebih besar daripada minus satu, dan kosinus mencapai nilai terkecilnya pada setengah putaran. Antara 90 dan 270 derajat setiap kosinus bernilai negatif, dan di luar rentang itu setiap kosinus bernilai positif.
- Bisakah saya memasukkan sudut dalam radian?
- Bisa — ada pemilih satuan di samping kotak isiannya, dan sudutnya dibaca dengan cara yang sama mana pun yang Anda pilih. Enam puluh derajat dan 1,0472 radian memberi kosinus yang sama, yaitu setengah. Satu-satunya yang perlu diperhatikan adalah satuan apa yang dipakai sumber pembanding Anda, karena secara bawaan hampir semuanya memaksudkan derajat.
- Mengapa kosinus 90 derajat tampil sebagai nol padahal sinus sudut yang sama persis satu?
- Karena pada sudut siku-siku titiknya berada di sumbu y: koordinat x-nya nol dan koordinat y-nya satu. Kosinus adalah koordinat x, jadi nilainya nol, sedangkan sinus adalah koordinat y, jadi nilainya satu. Keduanya eksak, dan pasangan itu ilustrasi paling jelas tentang apa kedua fungsi ini — kosinus mengukur seberapa jauh ke kanan titiknya berada, dan pada sudut itu titiknya sama sekali tidak berada di kanan.
- Mengapa halaman ini memberi satu angka sementara halaman trigonometri memberi tiga?
- Karena memang itu kegunaan keduanya. Halaman trigonometri ada supaya ketiga perbandingan bisa dibandingkan satu sama lain, dan tabelnya punya satu kolom untuk masing-masing. Halaman ini ada untuk pembaca yang menginginkan kosinusnya saja, dan kolom tunggalnya itulah yang membuat bentuk fungsinya terlihat: satu pada nol, nol pada sudut siku-siku, minus satu pada setengah putaran, nol lagi pada tiga perempat putaran, lalu kembali ke satu. Kedua halaman sepakat sampai desimal terakhir pada setiap sudut, jadi pilihannya soal penyajian, bukan soal aritmetikanya.
Referensi
- Cosine — the function the unit circle reads off as the x-coordinate, its even symmetry, and the values it takes at the special angles — Wolfram MathWorld (United States)
- Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, their ranges, and why the cosine is defined everywhere while the tangent is not — Wolfram MathWorld (United States)
- Unit Circle — the circle of radius one, and why the coordinates of a point on it are the cosine and the sine — Wolfram MathWorld (United States)
- Sine, Cosine and Tangent — a first-principles walk through the three ratios in a right triangle, with the special angles worked out rather than asserted — Math is Fun (United Kingdom)