Kalkulator Tangen

tan θ = sisi depan ÷ sisi samping tan θ = sin θ ÷ cos θ tan θ = kemiringan

θ

Sudut yang diukur, dalam derajat atau radian. Boleh negatif dan boleh lebih besar dari satu putaran penuh — yang penting hanya di mana sudut itu mendarat di lingkaran

sisi depan / sisi samping

Dua sisi tegak pada segitiga siku-siku yang memuat sudut θ: sisi di seberang θ dan sisi di sampingnya. Tangen adalah sisi pertama dibagi sisi kedua — sisi miring sama sekali tidak ikut berperan

sin θ ÷ cos θ

Perbandingan yang sama, dinyatakan lewat dua fungsi lainnya. Bentuk inilah yang menjelaskan kutubnya: di mana pun kosinusnya nol, pembagiannya tidak punya jawaban, dan kosinus bernilai nol pada 90 dan 270 derajat

kemiringan

Arti perbandingan itu pada lingkaran satuan: gradien garis dari titik asal ke titik tempat sudut itu mendarat. Tangen satu berarti garis 45 derajat, dan makin besar bacaannya makin curam garisnya

Pakailah halaman ini ketika besaran yang Anda cari adalah gradien dan bukan tinggi: kemiringan atap yang dinyatakan sebagai kenaikan dibagi jarak datar, kelandaian jalan dalam persen, sudut yang harus dipasang pada sebuah tangga atau tanjakan, atau arah sebuah garis yang melewati dua titik. Halaman ini juga yang dituju ketika Anda ingin tahu seberapa curam sesuatu dalam satu angka dan bukan dua, sebab sinus dan kosinus masing-masing hanya memberi tahu separuh arahnya. Dua hal perlu diingat saat membacanya. Kalau sudutnya sudah melewati 90 derajat, bacaannya menjadi negatif dan terus membesar di sisi yang lain, dan kalau Anda bekerja dari gambar dan bukan dari koordinat, tanda itu mengatakan garisnya miring ke arah sebaliknya, bukan bahwa kecuramannya berubah. Lalu kalau sudutnya mendekati sudut siku-siku, bacaannya tumbuh tanpa batas, dan itulah cara halaman ini memberi tahu bahwa garisnya sudah menjadi tegak lurus — pada tepat 90 derajat tidak ada bacaan yang bisa diberikan, karena garis tegak tidak punya jarak datar untuk dibagi. Kalau Anda ingin sinus dan kosinusnya di samping angka ini, halaman trigonometri mencetak ketiganya; kalau yang Anda inginkan kebalikan dari angka ini, itu fungsi lain dengan kutubnya di dua tempat yang berbeda.

1. Sudut 45 derajat, satu-satunya jawaban bilangan bulat

   1. Pada 45 derajat, kedua sisi tegak segitiga siku-sikunya sama panjang
   2. Tangen adalah sisi depan dibagi sisi samping
   3. Dua besaran yang sama dibagi menghasilkan tepat satu, jadi bacaannya 1 dan bukan 0,9999

   Sudut yang dimuat halaman ini sejak awal, dan satu-satunya sudut yang membuat fungsi ini menghasilkan bilangan bulat. Empat puluh lima derajat juga sudut yang garisnya berkemiringan satu, yang merupakan pernyataan sama dalam bahasa gradien: satu satuan ke atas untuk satu satuan ke samping. Setiap bacaan lain di halaman ini entah bentuk akar atau kebalikan darinya, dan itulah sebabnya tabel di bawah ditulis sampai empat angka di belakang koma.

2. Sudut 30 derajat

   1. Sisi di seberang sudut 30 derajat panjangnya setengah sisi miring
   2. Sisi sampingnya adalah sisi tegak yang lain, yaitu setengah dari akar tiga
   3. Setengah dibagi setengah akar tiga sama dengan satu per akar tiga, sekitar 0,5774

   Tangen 30 derajat adalah kotangen 60 derajat, dan itu aturan, bukan kebetulan: kedua sudut lancip pada segitiga siku-siku berjumlah 90 derajat, dan sisi di seberang sudut yang satu adalah sisi di samping sudut yang lain. Jadi tangen sebuah sudut selalu sama dengan kotangen penyikunya, dan pernyataan kebalikannya adalah separuh lain dari fakta yang sama.

3. Sudut di kuadran kedua, 135 derajat

   1. Seratus tiga puluh lima derajat adalah 45 derajat melewati sudut siku-siku
   2. Titiknya berada di kuadran kedua, jadi sisi sampingnya kini negatif sementara sisi depannya masih positif
   3. Positif dibagi negatif menghasilkan negatif, jadi tangennya −1

   Persis negatif dari bacaan 45 derajat, dan itulah polanya untuk seluruh kuadran kedua: besar tangennya tidak berubah dari sudut kuadran pertama yang dilipat ke situ, hanya tandanya yang bergeser. Ini juga kasus yang dilaporkan halaman sinus dengan hasil sebaliknya — pada 135 derajat sinusnya masih positif, yaitu 0,7071, karena titiknya berada di atas sumbu; sedangkan tangennya negatif, karena jarak datarnya sudah menyeberang ke kiri.

4. Sudut 210 derajat, setengah putaran melewati 30

   1. Dua ratus sepuluh derajat adalah 30 derajat ditambah sudut lurus
   2. Menambahkan 180 derajat membalik tanda sisi depan sekaligus sisi samping, jadi keduanya negatif
   3. Negatif dibagi negatif menghasilkan positif, dan besarnya tidak berubah, jadi bacaannya sama, 0,5774

   Peragaan paling jelas tentang periode setengah putaran, sekaligus titik tempat fungsi ini berpisah dari sinus dan kosinus: keduanya butuh satu putaran penuh untuk kembali ke bacaan yang sama, sedangkan fungsi ini sudah kembali setelah setengahnya. Sebabnya, sebuah perbandingan tidak peduli ketika kedua besaran di dalamnya berubah tanda bersamaan. Tabel di bawah memperlihatkan pasangan yang sama pada baris yang terpaut delapan baris.

Tiga batas yang perlu dinyatakan terus terang. Bacaannya diberikan sampai empat angka di belakang koma dan sebagian besarnya irasional: tangen 30 derajat adalah satu per akar tiga, jadi 0,5774 adalah pemotongan dan bukan jawaban, dan 45 derajat adalah satu-satunya baris di halaman ini yang nilainya eksak dan berhenti. Kedua, tangen tidak punya nilai pada 90 derajat, pada 270 derajat, dan pada setiap sudut yang menyederhana ke salah satunya — termasuk sudut negatif dan sudut yang melewati satu putaran penuh, sehingga minus 90 dan 450 derajat ditolak dengan alasan yang sama seperti 90. Di tempat bacaan tetangganya akan sangat besar, halaman ini memberi pesan kesalahan dan bukan angka raksasa, karena barisannya tidak menuju apa pun: nilainya tumbuh tanpa batas saat sudutnya didekati dari satu sisi dan datang dari dasar rentang saat didekati dari sisi lain. Ketiga, halaman ini tidak bisa dibalik. Diberi tangen satu, sudutnya bisa 45 derajat, bisa 225 derajat, atau bisa salah satu dari tak hingga sudut lain yang terpaut setengah putaran, dan memilih di antara mereka menuntut keputusan yang tidak diambil halaman ini.

Mengapa tangen tak terdefinisi pada 90 derajat?

Karena tangen adalah sisi depan dibagi sisi samping, dan pada sudut siku-siku sisi sampingnya sudah menyusut jadi nol. Membagi dengan nol tidak punya jawaban, jadi tidak ada yang bisa dicetak. Bukan karena nilainya raksasa — bacaannya memang tumbuh tanpa batas ketika sudutnya mendekati 90, tetapi pada 90 itu sendiri tidak ada angkanya, dan kedua sisi pendekatannya bahkan tidak menuju tempat yang sama. Dua ratus tujuh puluh derajat adalah kegagalan yang sama setengah putaran kemudian, dan setiap sudut yang menyederhana ke salah satunya juga ditolak.

Apakah tangen sekadar sinus dibagi kosinus?

Ya, dan itu deskripsi terpendeknya. Ia juga sisi depan dibagi sisi samping dan kemiringan garis yang digambar sudutnya, dan ketiganya mengatakan hal yang sama. Bentuk yang paling banyak menjelaskan adalah pembagiannya: di mana pun kosinusnya nol, pecahan itu tidak punya jawaban, dan kosinus bernilai nol pada 90 dan 270 derajat — tepat di tempat tabel di bawah punya kedua tanda pisahnya.

Mengapa tangen 135 derajat negatif padahal sinusnya positif?

Karena tangen memperhatikan jarak datarnya, bukan hanya kenaikannya. Pada 135 derajat titiknya masih di atas sumbu horizontal, jadi sinusnya tetap positif, yaitu 0,7071, tetapi titiknya sudah menyeberang ke kiri sumbu vertikal, jadi sisi sampingnya menjadi negatif dan pembagiannya ikut menjadi negatif. Tanda tangen sebenarnya pernyataan tentang apakah kedua sisi tegaknya searah, bukan tentang seberapa tinggi titiknya — itulah sebabnya tanda itu berbalik seperempat putaran lebih awal daripada sinus.

Apa arti tangen yang sangat besar?

Artinya garisnya nyaris tegak. Bacaannya adalah kemiringan, jadi tangen sepuluh berarti sepuluh satuan ke atas untuk setiap satu satuan ke samping, dan angka itu tumbuh tanpa batas saat sudutnya mendekati 90 derajat dari bawah. Di sisi lain dari 90, garis yang sama muncul kembali di dasar rentang dan memanjat balik ke arah nol, jadi nilai di kedua sisi kutubnya sama sekali tidak berdekatan — jarak mereka sejauh mungkin untuk dua buah angka.

Seberapa sering tangen berulang?

Setiap setengah putaran, yaitu dua kali lebih sering daripada sinus dan kosinus. Menambahkan 180 derajat pada sebuah sudut membalik tanda sisi depan sekaligus sisi samping, dan perbandingan dua besaran yang keduanya berganti tanda tidak berubah, jadi 30 derajat dan 210 derajat berbagi tangen 0,5774. Sinus dan kosinus, sebaliknya, butuh satu putaran penuh untuk kembali ke nilai yang sama.

Bisakah sudutnya dimasukkan dalam radian?

Bisa — kotak isiannya punya pemilih satuan di sebelahnya dan bacaannya tetap sudut yang sama. Empat puluh lima derajat dan 0,7854 radian memberi tangen yang sama, yaitu satu. Seperti biasa, yang perlu diperiksa adalah satuan apa yang dipakai sumber pembanding Anda, karena kebanyakan tabel cetak ditulis dalam derajat.

• Tangent — the opposite-over-adjacent ratio, its period of half a turn, and its poles at ninety and two hundred and seventy degrees — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions, ranges and domains of all six ratios, including the angles at which each of them is undefined — Wolfram MathWorld (United States)
• Cotangent — the reciprocal of this function, whose own poles sit at zero and one hundred and eighty degrees instead — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — a first-principles walk through the three ratios in a right triangle, with the special angles worked out rather than asserted — Math is Fun (United Kingdom)