Kalkulator Tangen Invers

θ = arctan x x ∈ ℝ θ ∈ (−90°, 90°) solusi lain dalam [0°, 360°) adalah θ + 180°

x

Nilai tangen, yang boleh berupa bilangan real apa pun. Tidak ada yang ditolak di sini, karena tangen mengambil setiap nilai real di suatu tempat pada lingkaran

θ

Sudut yang dikembalikan fungsi ini, selalu di antara minus sembilan puluh derajat dan sembilan puluh secara ketat. Kedua ujungnya dikecualikan, karena tangen tidak punya nilai di keduanya

θ + 180°

Sudut kedua di lingkaran yang tangennya sama. Tangen berulang setiap setengah putaran, jadi pasangannya dicari dengan menambahkan dan bukan dengan mencerminkan terhadap sebuah sumbu

Pakailah halaman ini setiap kali perbandingan yang Anda pegang adalah sebuah kemiringan — kenaikan dibagi jarak datar, gradien sebuah jalan atau atap, atau arah sebuah vektor di bidang. Mencari sudut dari nilai tangen juga merupakan jalan yang tepat ketika kedua sisi yang Anda ketahui adalah sisi-sisi yang bertemu di sudut siku-siku, sebab tangen sebuah sudut adalah sisi depan dibagi sisi samping, dan inilah fungsi invers yang tidak pernah menolak masukan karena terlalu besar. Dua tetangga perlu diperhatikan. Kalau perbandingan yang Anda pegang adalah sisi depan dibagi sisi miring, itu sinus invers, yang rentangnya menutupi paruh kanan lingkaran dan bukan pita tengahnya. Dan kalau yang Anda inginkan tangen pada sebuah sudut dan bukan sudutnya, halaman tangen berjalan ke arah sebaliknya, dan halamannya sendiri menjelaskan mengapa perbandingan itu meledak di sudut siku-siku.

1. Nilai tangen 1

   1. Nilainya diterima berapa pun, jadi ada sudut yang bisa dicari
   2. Empat puluh lima derajat adalah sudut dalam rentang yang tangennya 1, jadi halaman ini melaporkan empat puluh lima derajat
   3. Dalam radian, itu seperempat pi, yaitu 0,7854

   Nilai yang dimuat halaman ini sejak awal, sekaligus contoh terkecil dari pasangan setengah putaran. Tangen 1 juga menjadi milik dua ratus dua puluh lima derajat, yaitu empat puluh lima ditambah setengah putaran — kolom ketiga tabel berbunyi 225 pada baris itu. Perhatikan apa yang bukan merupakan pasangannya: ia bukan pencerminan empat puluh lima derajat terhadap salah satu sumbu, seperti halnya solusi kedua di halaman sinus invers dan kosinus invers. Tangen sekadar mengulang dirinya setengah putaran kemudian, dan itu pernyataan yang sama dengan tangen memiliki periode seratus delapan puluh derajat dan bukan tiga ratus enam puluh.

2. Nilai tangen negatif, minus 1

   1. Nilainya diterima, dan nilainya negatif, jadi jawabannya juga akan negatif
   2. Sudut dalam rentang yang tangennya minus 1 adalah minus empat puluh lima derajat
   3. Radiannya mengikuti tandanya: minus 0,7854

   Konvensi bertanda, seperti di halaman sinus invers dan berbeda dari halaman kosinus invers. Kemiringan yang negatif memberi sudut yang negatif, karena rentangnya adalah pita dari minus sembilan puluh ke sembilan puluh dan separuhnya berada di bawah nol. Pasangannya di sini adalah seratus tiga puluh lima derajat, yaitu minus empat puluh lima ditambah setengah putaran, dan ia sekaligus pencerminan empat puluh lima derajat terhadap sumbu vertikal — tetapi kebetulan itu milik nilai ini dan bukan milik halaman ini, dan ia berhenti berlaku begitu nilainya bukan tepat minus satu.

3. Nilai tangen 0,5, yang bukan sudut istimewa

   1. Setengah bukan tangen sudut mana pun di tabel yang biasa dihafal, jadi jawabannya akan berupa desimal
   2. Sudut yang tangennya 0,5 adalah 26,57 derajat
   3. Dalam radian sudut yang sama adalah 0,4636

   Sebagian besar kemiringan mendarat di baris seperti ini dan bukan di sudut istimewa. Baris ini juga tempat paling jelas untuk melihat bentuk jawabannya: saat nilainya bertambah, sudutnya memanjat menuju sembilan puluh dan tidak pernah menyentuhnya, dan saat nilainya menyusut menuju nol, sudutnya turun menuju nol. Tangen sudut kecil sangat dekat dengan sudut itu sendiri dalam radian — 0,4636 berhadapan dengan 0,5 — yang merupakan pendekatan sudut kecil yang sama seperti yang muncul di halaman sinus invers, dan di sini lebih longgar daripada di sana.

4. Nilai tangen satu juta, di tepi rentang

   1. Satu juta adalah masukan yang biasa saja di sini, karena tidak ada batas yang berlaku
   2. Sudut yang tangennya satu juta adalah 89,99994 derajat, sedikit sekali di bawah sembilan puluh
   3. Dua angka di belakang koma tidak cukup untuk menunjukkan selisihnya, jadi halaman ini mencetak sembilan puluh derajat

   Baris yang membuat halaman ini ada, yaitu peringatannya. Sembilan puluh derajat tidak berada di dalam rentang dan tidak akan pernah masuk — tangen sama sekali tidak punya nilai di sana — tetapi masukan sebesar ini mendarat cukup dekat sehingga jawaban yang tercetak membulat ke angka itu. Angka yang tercetak itu jujur mengenai dirinya sendiri: sudutnya adalah sembilan puluh derajat sampai ketelitian yang ditampilkan. Yang keliru adalah membacanya sebagai nilai eksak, atau lebih buruk lagi, membacanya sebagai tangen sembilan puluh derajat sama dengan satu juta dan bukan tak terdefinisi. Dorong masukannya lebih jauh, ke seratus juta, dan sudut sebenarnya bergerak lebih dekat ke sembilan puluh tanpa bacaannya ikut berubah.

Tiga hal yang tidak dilakukan halaman ini. Pertama, kedua ujung rentangnya tidak pernah dikembalikan. Sembilan puluh derajat dan minus sembilan puluh dikecualikan, karena tangen tidak punya nilai di sana, jadi jawabannya mendekati keduanya tanpa pernah tiba; untuk masukan yang cukup besar sehingga selisihnya jatuh di bawah dua angka di belakang koma, halaman ini tetap mencetak ujung itu, dan bacaan tersebut adalah bacaan yang dibulatkan dan bukan bacaan yang eksak. Kedua, jawabannya hanya nilai utama. Tangen berulang setiap setengah putaran, jadi setiap nilai di halaman ini menjadi milik dua sudut dalam satu putaran penuh dan tak hingga sudut di seberang putaran, dan halaman ini mengembalikan yang berada secara ketat di antara minus sembilan puluh dan sembilan puluh; kolom ketiga tabel memuat pasangannya, yang berjarak setengah putaran. Ketiga, radiannya dicetak sampai empat angka di belakang koma dan derajatnya sampai dua, jadi nilai yang setelah pembulatan mendarat di dekat sudut istimewa akan tercetak sebagai sudut itu — tangen invers dari 1,7321 tercetak sebagai enam puluh derajat, padahal tangen eksak dari enam puluh derajat sedikit lebih besar.

Mengapa semua nilai boleh masuk di sini, sementara dua halaman lain menolak nilai di atas 1?

Karena tangen tidak punya batas atas. Sinus invers dan kosinus invers menerima perbandingan dua sisi dengan sisi terpanjang berada di bawah, sehingga masukannya tidak bisa melebihi satu; tangen adalah sisi depan dibagi sisi samping, dan tidak ada di antara keduanya yang merupakan sisi terpanjang, jadi perbandingannya bisa sebesar apa pun selama segitiganya makin tegak. Tangen satu juta adalah kemiringan sebuah dinding yang sejuta kali lebih tinggi daripada lebarnya.

Mengapa nilai yang sangat besar memberi tepat 90 derajat?

Sebenarnya tidak, kalau dipikirkan secara ketat — yang diberikannya adalah sudut sedikit di bawah sembilan puluh yang membulat ke angka itu. Sembilan puluh derajat tidak berada di dalam rentang, karena tangen tidak punya nilai di sana: perbandingannya akan membagi dengan nol. Saat masukannya bertambah, jawabannya memanjat menuju sembilan puluh dan tidak pernah tiba, jadi untuk apa pun di atas kira-kira sepuluh ribu, jawaban yang tercetak adalah sembilan puluh derajat sampai dua angka di belakang koma yang ditampilkan. Bacaannya benar pada ketelitian itu dan salah kalau Anda memperlakukannya sebagai nilai eksak.

Mengapa sudut keduanya setengah putaran jauhnya dan bukan sebuah pencerminan?

Karena tangen berulang setiap seratus delapan puluh derajat dan bukan setiap tiga ratus enam puluh. Menambahkan setengah putaran pada sebuah sudut membuat sisi depan sekaligus sisi sampingnya berganti tanda, sehingga perbandingannya tidak berubah. Halaman sinus invers dan kosinus invers mencari solusi keduanya dengan mencerminkan terhadap sebuah sumbu, sebab sinus dan kosinus dibagi bersama oleh bayangan cermin; tangen tidak begitu, jadi pasangannya datang dari penjumlahan dan bukan pengurangan.

Bagaimana cara mencari sudut dari nilai tangen dengan tangan?

Ingatlah bahwa tangen 1 adalah empat puluh lima derajat dan tangen 1,7321 adalah enam puluh, kerjakan sisanya dari tabel atau kalkulator, lalu tambahkan seratus delapan puluh derajat kalau Anda menginginkan sudut yang lain di lingkaran. Ini fungsi invers yang dipakai untuk sebuah kemiringan — kenaikan dibagi jarak datar — dan yang dipakai ketika kedua sisi yang Anda ketahui adalah dua sisi yang bertemu di sudut siku-siku.

Mengapa jawabannya negatif untuk nilai yang negatif?

Karena rentangnya berjalan dari minus sembilan puluh derajat sampai sembilan puluh, dan separuhnya terletak di bawah nol. Tangen yang negatif berarti sisi depan dan sisi sampingnya berbeda tanda, yang berarti kemiringan yang menurun dan bukan menanjak, dan halaman ini melaporkannya sesuai tanda yang disarankan masukannya. Sudut pasangannya, setengah putaran jauhnya, bernilai positif — minus empat puluh lima dan seratus tiga puluh lima adalah kemiringan yang sama dengan arah yang berlawanan.

Apakah tangen invers sama dengan satu dibagi tangen?

Tidak. Tangen invers membatalkan tangen: beri ia 1 dan ia mengembalikan empat puluh lima derajat. Satu dibagi tangen memberi 1 jawaban 1, yang merupakan kotangen dari empat puluh lima derajat — sebuah perbandingan dan bukan sebuah sudut. Keduanya hanya berimpit pada empat puluh lima derajat, dan kebetulan semacam itulah yang membuat kekeliruan ini begitu sulit hilang.

• Inverse Tangent — the function this page computes, with the open range and the behaviour at large values — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Trigonometric Functions — the three inverse functions together, and why only this one accepts every real number — Wolfram MathWorld (United States)
• Tangent — the definition of the ratio, its period of half a turn, and the angles at which it has no value — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Sine, Cosine, Tangent — the same three functions in plain language, with the range diagrams side by side — Math is Fun (United Kingdom)